лекции термодинамика и теплопередача

ресекаться. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении,

перпендикулярном изотермической поверхности. Скорость изменения температуры по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температу-

ры.

мально к изотермической поверхности.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на по-

верхности тела для любого момента времени.

t0 = ƒ( x, y, z, τ ).

В частном случае, когда температура на поверхности тела постоянна

t0 = const

Граничные условия второго рода. Задается распределение теплового потока по поверхности тела для любого момента времени

q0 =(x, y, z, τ)

в частном случае плотность теплового потока на поверхности не меняется qп = q 0 = const

Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды и за-

кон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

101

Граничные условия четвертого рода. Задаются условия теплообмена тел с окру-

жающей средой по закону теплопроводности. Они применяются для решения задач методами моделирования или тепловых аналогий.

Теория теплопроводности. Закон Фурье

Теория теплопроводности рассматривает тело как непрерывную среду. Со-

гласно основному закону теплопроводности - закону Фурье - вектор плотности теп-

лового потока, передаваемого теплопроводностью, пропорционален вектору гради-

ента температуры:

t q .grad.t n0 n. ,

где - коэффициент теплопроводности, Вт/(м К). Он характеризует способ-

ность вещества, из которого состоит рассматриваемое тело, проводить теплоту.

Знак «-» указывает на противоположное направление вектора теплового пото-

ка и вектора градиента температуры. Вектор плотности теплового потока q всегда направлен в сторону наибольшего уменьшения температуры.

скалярная величина вектора плотности теплового потока:

q t ,n

Из формулы следует, что коэффициент теплопроводности определяет плотность теплового потока при градиенте температуры 1 К/м.

коэффициент теплопроводности является физическим параметром и зависит от химической природы вещества и его физического состояния (плотности, влажно-

сти, давления, температуры). Диапазоны изменения для различных материалов приведены на рисунке 8.2.

102

Газы

Жидкости

Огнеупоры

Металлы

Рисунок 8.2 - Теплопроводность при стационарном режиме

Плоская стенка

ной , на поверхностях которой поддерживаются тем-

q t tR ,

где t tc1 tc2 , причем tс1>tс2;

R / - внутреннее термическое сопротивление теплопроводности

стенки, (м2 К)/Вт.

Распределение температур в плоской однородной стенке - линейное.

103

В большинстве практических задач приближенно предполагается, что коэф-

фициент теплопроводности не зависит от температуры и одинаков по всей тол-

щине стенки. значение находят в справочниках при средней температуре

tcp 0,5 (tc1 tc2 ).

Тепловой поток (мощность теплового потока) определяется по формуле:

Q q F (tc1 tc2 ) F ,

где n - число слоев многослойной стенки;

tc1 и tc(n+1) - температуры на внешних границах многослойной стенки;

n

R i - полное термическое сопротивление многослойной плоской стенки.

i 1

Плотность теплового потока, проходящего через все слои, в стационарном ре-

жиме одинакова. А так как коэффициент теплопроводности различен, то для пло-

ской многослойной стенки распределение температур - ломанная линия.

Рассчитав тепловой поток через многослойную стенку, можно найти темпера-

туру на границе любого слоя. Для к-го слоя можно записать:

104

k

tc (k 1) tc1 q R i ,

i 1

Цилиндрическая стенка

Задача о распространении тепла в цилиндрической стенке также одномерная,

если ее рассматривать в цилиндрических координатах. температура изменяется только вдоль радиуса r, а по длине и по ее периметру остается неизменной.

В соответствии с законом Фурье, тепловой поток через однородную цилинд-

сти трубы.

При значениях d2/d1 близких к единице расчеты Rl должны производиться с высокой точностью, т.к. при округлении d2/d до одного знака после запятой погреш-

ность вычисления логарифма будет больше 10%. С точностью до 4% при d2/d1 < 2 в

практических расчетах рекомендуется пользоваться формулой для плоской стенки:

105

где dcp=0,5(d1+d2) - средний диаметр трубы.

В толще однородной цилиндрической стенки температура изменяется по лога-

рифмическому закону.

Аналогично многослойной плоской стенке, полное термическое сопротивле-

ние многослойной цилиндрической стенки можно записать:

где di и di+1 - соответственно внутренний и внешний диаметры iго слоя.

Тогда линейная плотность теплового потока будет:

Для многослойной цилиндрической стенки распределение температур - лома-

ная логарифмическая линия.

106

ЛЕКЦИЯ 9

Теплопередача

В технике часто приходится рассчитывать стационарный процесс переноса те-

плоты от одного теплоносителя другому через разделяющую стенку. Такой процесс называется теплопередачей.

Плоская стенка

Рассмотрим теплопередачу между двумя жидкостями через разделяющую их многослойную плоскую стенку. Здесь передача теплоты делится на три процесса:

1) В начале теплота передается от горячего теплоносителя tж1 к поверхно-

сти стенки путем конвективного теплообмена, который может сопровождаться из-

лучением. Интенсивность процесса теплоотдачи характеризуется коэффициентом теплоотдачи 1.

При стационарном режиме плотность теплового потока во всех трех процессах одинакова и может быть записана следующим образом:

1. по закону Ньютона - Рихмана

1

q 1 (tж1 tc1 ) R 1 (tж1 tc1 ),

107

2. по закону Фурье

соответственно от горячего теплоносителя к стенке и от стенки к холодному тепло-

носителю.

Из вышеприведенных уравнений составив систему уравнений:

tж1 tc1 q R 1

i 1

и сложив правые и левые части, получим уравнения теплопередачи через мно-

гослойную плоскую стенку:

108

Коэффициент теплопередачи К характеризует интенсивность процесса тепло-

передачи от горячего теплоносителя к холодному через разделяющую их стенку.

Тогда уравнение теплопередачи можно записать:

i 1

Очевидно, что для однослойной плоской стенки формулы справедливы, где

Цилиндрическая стенка

Рассмотрим теплопередачу между двумя жидкостями через разделяющую их многослойную цилиндрическую стенку.

аналогично теплопередаче через плоскую стенку, линейную плотность тепло-

вого потока через многослойную цилиндрическую стенку при стационарном режиме можно записать:

1. по закону Ньютона - Рихмана

109

ренней и внешней теплоотдачи на единицу длины.

Аналогично получим линейную плотность теплового потока:

t ql Kl (tж1 tж2 ) Rlk ,

где Rlk - линейное термическое сопротивление, (м К)/Вт.

Kl - линейный коэффициент теплопередачи, Вт/(м К)

Граничные температуры цилиндрической стенки определяются как

tc1 tж2 ql Rl 1 , tc (n 1) tж2 ql Rl 2

Интенсификация теплопередачи

Согласно уравнению теплопередачи:

q tж1 tж2 , Rk

для интенсификации теплопередачи нужно либо увеличить числитель (tж1-tж2) либо уменьшить термическое сопротивление теплопередачи Rk. Температуры теплоноси-

телей обусловлены требованиями технологического процесса, поэтому изменить их обычно не удается.

Термическое сопротивление теплопередачи Rk, можно уменьшить, воздейст-

вуя на любую из составляющих R 1, R , R 2. Однако, эффективнее уменьшить наи-

большее из слагаемых:

Значит, если R намного меньше R 1 и R 2, то для существенного уменьшения

Rk необходимо уменьшить R той жидкости, которая имеет меньший коэффициент

110