Vorobyev_Volnovaya_optika_Difraktsia

координаты максимумов при дифракции на щели.

где n = 1, 2, 3,..

11. Дифракции Фраунгофера на нескольких щелях

Дифракционная решетка

Совокупность параллельных щелей называют дифракционной решёткой. Рассмотрим, для простоты, дифракцию от двух параллельных щелей одинаковой ширины a и разделённых непрозрачным участком шириной b. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости линзы Л (рис.11.1а). Пусть на экран со щелями падает плоская монохроматическая волна длиной . Положение дифракционных максимумов и минимумов от одной щели не зависит от ее положения, а определяется направлением дифрагированных лучей. Это значит, что перемещение щели параллельно самой себе не приводит к изменению дифракционной картины. Следовательно, картины, создаваемые каждой щелью в отдельности будут совершенно одинаковыми.

Результирующую картину можно определить путем сложения этих двух дифракционных картин с учётом интерференции когерентных волн, идущих от каждой из щелей в соответствии с принципом ГюйгенсаФренеля. Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей света не дает света, не будет света и при двух параллельных щелях. Усло-

вие минимума интенсивности (10.8) asin m , где m = ±1, 2, 3, ..., вы-

полняется и в данном случае. Кроме того, возможны направления, в которых колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются и воз-

никают добавочные минимумы. Такие направления определяются условием минимума при интерференции – разность хода для таких волн равна не чётному числу полуволн:

2

где m = ± 0,1, 2, 3....

31

Л

Рис. 11.1

Таким образом, на дифракционной картине от двух щелей для минимумов возникают два характерных пространственных периода в плоскости экрана (рис.11.1б):

первый период - дифракционный (главный)

sin 1min m

а

где m = ± 0,1, 2, 3.... – число зон Френеля укладывающихся в щели шириной a при угле дифракции 1min ;

второй период - интерференционный (дополнительный)

где m = ± 0,1, 2, 3 – порядок минимума; d a b - расстояние между центрами щелей. В первом случае, при m 0 синус угла, под которым наблю-

дается минимум, обратно пропорционален ширине щели (sin 1min : ), во

а

трами щелей (рис. 11.1б). Так как d всегда больше a второй период всегда меньше, это значит, что интерференционные минимумы располагаются ближе к центру.

Вследствие той же интерференции в некоторых направлениях действие одной щели усиливает действие другой. Эти направления для волн опреде-

32

описывает интерференцию излучения, приходящего от различных щелей, и

шись предельным переходом, можно получить, что для этих значений угла функция (11.5) имеет одинаковое максимальное значение, равное N2 . Таким образом, для этих значений угла интенсивность будет максимальной. Между этими максимумами, называемыми главными, располагаются (N-1) добавочных минимумов, соответствующих нулевым значениям числителя в формуле (11.5). Так как между любыми двумя соседними добавочными минимумами имеется добавочный максимум, интенсивность которого существенно меньше интенсивности ближайших главных максимумов, то общее число добавочных максимумов между главными равно (N-2).

Таким образом, получив на экране дифракционную картину от решетки и подсчитав число добавочных минимумов или максимумов между главными максимумами, можно определить число щелей решетки (когда число щелей не велико).

На рис. 11.2 показан ход лучей для дифракционной решётки, состоящей из трёх щелей (N 3), для случая, когда разность хода волн от двух соседних щелей . В этом случае координата x на экране Э соответствует главному максимуму первого порядка (k 1).

Так как между главными минимумами, например, первого порядка (m 1), содержится не один, а несколько главных максимумов, то формула (11.4) характеризует «огибающую наибольших значений интенсивности света» этих нескольких главных максимумов, показанную на рис.8.2 пунктирной линией. Из формулы (11.5) видно, что дифракционная решетка позволяет резко (в N2 раз) усилить интенсивность света в области максимумов по сравнению с картиной дифракции на одной щели.

34

b а

а)

б)

Рис. 11.2. (а) - Ход лучей дифрагированного света от N щелей (N 3); (б) - Поперечное сечение распределения интенсивности света на экране

Главные максимумы разделены между собой не только главными минимума, но и рядом “дополнительных минимумов”, которые образуются вследствие интерференции N лучей при колебаниях вектора напряженности электрического поля в противофазе. Такие лучи гасят друг друга. Между «дополнительными минимумами» располагаются очень слабые «вторичные максимумы», число которых между соседними главными максимумами равно:

втор N 2.

На рис.8.2 при числе щелей N = 3 число вторичных максимумов втор 1.

При k 0 к 0 в точке x 0 экрана против центра линзы располо-

жен «центральный главный максимум». Симметрично относительно него расположены менее интенсивные главные максимумы высших порядков.

Между главными минимумами первого порядка число главных максимумов

а между главными минимумами возрастающих порядков число главных максимумов

35

гл' d 1. a

Ширина главных максимумов зависит от числа N щелей, участвующих в дифракции, и определяется формулой

для одиночной щели и формулы (11.13) видно, что x x0 (см. рис.8.2). При увеличения числа щелей ширина главных интерференционных мак-

симумов уменьшается т.к. x : 1 , а интенсивность возрастает (I N2I0 )

N

(рис. 11.3)

Рис. 11.3

Таким образом, дифракционная решетка создает эффект резкого разделения и усиления максимумов интенсивности света.

При малых углах дифракции координаты минимумов или максимумов на экране наблюдения можно найти из геометрических соображений по приближённой формуле:

x F tg F sin

где F - фокусное расстояние линзы. Отсюда sin x и из условий (11.1а)

F

и (11.2а) получим:

координаты главных минимумов для дифракционной решетки:

a

где m 0, 1, 2, 3,... - порядок минимума и

36

координаты главных максимумов для дифракционной решетки

где k 0, 1, 2, 3,... - порядок максимума.

При больших расстояниях L от решетки до экрана суперпозиция (наложение) параллельных дифрагированных лучей осуществляется на экране и без собирающей линзы в точке x Lsin , когда координаты главных минимумов и максимумов соответствуют формулам:

координаты главных минимумов для дифракционной решетки

где k 0, 1, 2, 3,... - порядок максимума.

Дифракция на двух и на четырех щелях может рассматриваться как частный случай дифракции на решетке (N = 2 и N=4 соответственно). При этом характер дифракционной картины соответствует рассмотренной на рис.11.2, где для дифракции на двух щелях

12. Наклонное падение лучей на дифракционную решетку

Если плоская монохроматическая волна падает на решётку, работающую на пропускание, под углом (рис. 12.1), тогда разность хода двух соседних лучей, дифрагировавших под углом равна:

В этом случае условие (11.2а), при котором наблюдаются главные максимумы интенсивности света, для дифракционной решетки запишется в виде:

где k 0, 1, 2, 3......– порядок главного максимума.

37

Рис. 12.1

Распределение интенсивности дифрагированного света для решетки, состоящей из N элементов с шириной щели a и периодом решетки d в случае падения на неё излучения под углом будет иметь вид:

где I0 – интенсивность не дифрагированного излучения ( 0).

При малых углах дифракции k условие максимумов (11.2а) для нормального падения света ( 0) на дифракционную решетку можно переписать в виде:

где k 0, 1, 2, 3......

Сравнение формул (12.4) и (12.5) показывает, что угол дифракцииk при наклонном падении вычисляется так же, как при нормальном падении света, но с уменьшенным значением периода решетки

Следовательно, при довольно большом наклоне 90 падающего луча кажущаяся постоянная решетки d становится весьма малой и на решётке с d ? при таком освещении можно будет наблюдать чёткую дифракционную картину [4]. Это свойство используется при исследовании дифракции рентгеновских лучей.

38

13. Дифракция на двумерной решетке

Двумерная решетка представляет собой скрещенные перпендикулярно друг другу решетки с периодами d1 и d2 , причем часто d1 d2 . Пусть ось Х перпендикулярна щелям первой решетки. Ось Y – щелям второй, а ось Z направлена перпендикулярно плоскости двумерной решетки. Углы между падающими и дифрагированными лучами и осями Х, Y, Z обозначим, соответственно, через 0, 0, 0 и , , . Очевидно, что , , - углы, дополняющие углы дифракции до 90о (рис. 10.1). Пусть на двумерную решетку

никновения главных максимумов для излучения с длиной волны имеют вид:

Рис.13.1

Углы , , связаны между собой соотношением

cos2 cos2 cos2 1;

(13.2)

k1,k2 0, 1, 2, 3,...

Выражения (13.1) и (13.2) позволяют, при известных d1 , d2 и , определить углы , , характеризующие направление дифрагированного луча для максимумов того или иного порядка. Если в каждой решетке число щелей N1 и N2 достаточно велико, то максимумы будут очень острыми и в них сосредоточится практически вся световая энергия дифрагировавших волн. В результате на экране, расположенном за двумерной решеткой получится дифракционная картина в виде четких, симметрично расположенных световых пятен, каждому из которых соответствуют два целочисленных индекса k1 и k2 (рис. 13.2).

39

Рис. 13.2

ность света в данном направлении I ~ N12 N22 . Если только одно из этих чисел (k1 или k2 ) целое, т.е. выполняется условие возникновения главного максимума лишь для одной из решеток, то его интенсивность оказывается много меньше.

Одна система максимумов (соответствующая условию d2 cos 0)

располагается вдоль оси Х, а вторая ( d1 cos 0) – вдоль оси Y. В центре

картины находится максимум нулевого порядка, который лежит в направлении o , o.

Если углы дифракции малы, координаты главных максимумов вдоль оси Х и вдоль оси Y определятся соответственно как:

При больших расстояниях L от решетки до экрана, суперпозиция параллельных дифрагированных лучей осуществляется на экране и без собирающей линзы и выражения (13.3) примут вид:

40