Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vorobyev_Volnovaya_optika_Difraktsia

.pdf
Скачиваний:
55
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
27.62 Mб
Скачать

Разобьём волновую поверхность Ф на кольцевые зоны, такого размера,

чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на . Так как

2

связь между разностью фаз разностью хода определяется выражение

2

 

,

(3.1)

 

 

 

 

то при разности хода разность фаз равна . Поэтому вторичные вол-

2

ны, излучаемые с краёв зон, приходят в точку P в противофазе и гасят друг друга.

Можно показать, что площади всех зон Френеля одинаковы и приближённо равны:

 

ab

 

(3.2)

 

 

a b

 

где a - длина отрезка SO- радиус сферы Ф , b - длина отрезка OP расстояние от поверхности волнового фронта до точки наблюдения, поэтому вклад в суммарную амплитуду каждой зоны будут примерно одинаковы.

Ф

О

φ

Рис. 3.1. Схема построения зон Френеля

Угол между нормалью к поверхности волнового фронта и направлением на точку Р растёт с ростом m , поэтому амплитуда колебаний возбу-

ждаемых m -ной зоной убывает с ростом m , и при 2

число зон

m и тогда A 0. Это значит, что амплитуды колебаний,

возбуждае-

мые зонами Френеля, образуют слабо убывающую последовательность

A1 A2 A3 Am 1 Am Am 1

......A 0

(3.3)

Поскольку разность хода от краёв зон равна

2 то, фазы колебаний,

возбуждаемых соседними зонами, отличаются на , т.е. находятся в противофазе. Это значит что колебания, возбуждаемые первой зоной, будут

11

подавляться колебания возбуждаемыми второй зоной, колебания второй зоны колебаниями третьей зоной и т.д. Амплитуда результирующего колебания, при m ? 1 , может быть представлена в виде:

A A1 A2 A3 A4 A5 ........ Am .... 0

(3.4)

Последний член равен нулю, потому что угол между нормалью к излучающей волновой поверхности и направлением на точку наблюдения ста-

новится равным и угловой коэффициент K( ) 0, т. е. этот элемент по-

2

верхности не излучаете волн в направлении на точку наблюдения. Заметим, что в выражении (3.4) все амплитуды от нечётных зон входят

со знаком плюс, а от чётных зон со знаком минус. Пусть открытыми у нас будет m зон. Перепишем выражение (3.4) в другом виде:

 

A

 

A

 

A

 

 

A

 

A

 

 

A A

 

A

A

1

 

1

A2

 

3

 

 

3

A4

 

5

 

......

m

 

1

 

m

(3.5)

 

2

2

2

2

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

где Am амплитуда последней открытой зоны. Поскольку амплитуда возбуждаемых колебаний монотонно убывает Am 1 Am Am 1 можно при-

ближённо считать что:

 

Am

 

Am

 

Am 1

 

Am 1

 

 

A

 

 

 

 

.

(3.6)

 

 

 

 

m

2 2

2

2

 

 

Тогда выражения в скобках равны нулю и если m нечётное число, то в

центре будет светлое пятно за счёт дополнительно вклада Am , а если m

2

чётное – то в центре тёмное пятно из–за вычитания амплитуды создавае-

мой последней открытой зоны Am .

2

При m>>1, угловой коэффициент K 0, поэтому Am 0 и из формулы (3.5) следует:

A

A1

.

(3.7)

 

2

Из формулы (3.7) следует глобальный вывод: когда волновой фронт полностью открыт (m >>1) результирующая амплитуда, от всего волнового фронта, равна половине амплитуде создаваемой первой зоной. Это значит, что при свободном распространении волны волновое возмущение от всего волнового фронта составляет половину возмущения, даваемого только первой зоной Френеля. Дело происходит так, как если бы из всего волнового фронта действующей осталось только часть первой зоны Френеля.

Рассмотренные выше рассуждения, выполненные Френелем, можно расценивать как алгебраический способ определения амплитуды световой волны. Кроме этого существует более наглядный графический способ, основанный на методе вращающего вектора амплитуды или методе векторных диаграмм.

12

4. Векторные диаграммы Спираль Френеля

Введение зон Френеля позволяет графически анализировать дифракционные явления. Вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля (2.1), по сути дела сводится к суммированию световых колебаний, возбуждаемых элементарными вторичными источниками. С математической точки зрения задача сводится к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну и же частоту, но разные амплитуды и фазы. Это можно сделать графическим способом с помощью построения спирали Френеля.

Рассмотрим графический метод сложения амплитуд. В этом простом и наглядном методе полуволновую зону Френеля мысленно разбивают на весьма узкие кольцевые подзоны. Амплитуду колебаний, создаваемых ка-

ждой из таких подзон, изобразим элементарным вектором dAi . Вследствие увеличения расстояния r и уменьшения коэффициента K , амплитуда

колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой зоной, будет убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора dAi против часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в точке Р.

На рис. 4.1а показан результат действия 1-й зоны Френеля. Здесь амплитуда колебаний dAn от узкого кольца, прилегающего к границе 1-й зоны Френеля, отстает по фазе на от амплитуды колебаний, приходящих в точку P из центра 1-й зоны — от dA1 поэтому соответствующие этим амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению.

Рис. 4.1. Рис. 4.2.

Продолжая построение, получим векторную диаграмму для результирующей амплитуды колебаний в точке Р от действия первых двух зон Френеля (рис. 4.1б), затем от первых трех зон Френеля (рис. 4.1в) и т. д. Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон будет закручиваться в спираль. В результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой

13

поверхности) будет равна вектору A , соединяющему начало первой зоны с точкой F – фокусом спирали (рис. 4.2). Длина этого вектора, т.е. амплитуда колебаний в точке Р от полностью открытой волновой поверхности, согласно представлениям Френеля, равна A A12, а интенсивность

I~A2 в четыре раза меньше, чем при наличии экрана с круглым отверстием, открывающем только 1-ю зону Френеля.

Эту спираль называют спиралью Френеля. Забегая вперед, отметим, что в эксперименте дифракция Френеля связана с действием лишь нескольких первых витков спирали.

Таким образом, амплитуда колебаний и интенсивность света в точке P по мере увеличения радиуса отверстия в экране изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда в точке P увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне (см. рис. 4.1а). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний в точке P убывает, и при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (рис. 4.1б). Затем амплитуда увеличивается снова (рис.4.1в) и т. д. То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения отверстия приближать к нему точку наблюдения P вдоль прямой РО (см. рис. 3.1). Это легко понять из данного рисунка: при этом число открываемых зон Френеля в отверстии экрана Э будет увеличиваться.

На первый взгляд эти результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса - Френеля, выглядят парадоксальными. Однако они хорошо подтверждаются опытом. В то же время согласно геометрической оптике интенсивность света в точке P не должна зависеть от радиуса отверстия. Особенно неожиданным в методе Френеля представляется тот удивительный вывод, что при отверстии в экране, открывающем для точки P две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля, хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше (рис. 9б).

Таким образом, как следует из рис. 4.2 амплитуда результирующего по-

ле в точке F (фокусе спирали Френеля) при m ?

1 равна:

A

 

A1

.

(4.1)

 

 

2

 

 

5. Расчёт радиуса зон Френеля

Для наблюдения дифракции необходимо иметь источник света, экран с отверстием и экран для наблюдения. Пусть у нас будет точечный монохроматический источник S . В этом случае, как и на рис. 3.1, волновая поверхность будет сферой радиуса a. Разобьём эту волновую поверхность на полуволновые зоны Френеля и рассчитаем радиус rm произвольной m -ой

зоны (rm OM ). Из треугольника АBC (рис. 5.1):

r2

a2 a h 2 2ah h2 .

(5.1)

m

 

 

14

А из треугольника CBP:

r2

 

b m

2

b h 2

2b m

 

2bh .

(5.2

 

 

 

m

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.1.

Так как a ? h и b ? h при решении полученной системы уравнений

можно пренебречь малыми членами m2 2 и h2 . 4

Выразим из первого уравнения h , подставим во второе, и решим его относительно rm .

r

2

b m 2b

r2

 

r

2

1

b

 

b m

r

2

 

b m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

2a

 

 

m

 

 

a

 

 

m

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Отсюда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

ab

m ,

 

 

 

 

(5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы получили очень важную формулу, которой будем часто пользоваться при решении задач по дифракции.

Заметим, если падающая на данное отверстие волна плоская (a ), то радиус зоны рассчитывается по формуле:

rm m b ,

(5.4)

так как lim ab b.

a a b

Отсюда также следует (из формулы (5.4)), формула для числа полуволновых зон Френеля m при заданном расстоянии от поверхности волновой поверхности до экрана b:

15

r2

(5.5)

m m

b

Таким образом, число полуволновых зон пропорционально квадрату радиуса отверстия (m : r2 ) и обратно пропорционально расстояния от отвер-

стия до экрана (m : 1 ). Это значит, что число зон увеличивается при уве- b

личении радиуса отверстия, но уменьшается при увеличении расстояния от отверстия до экрана.

Сделаем оценку размера зон Френеля. При a b 10см и 500нм радиус первой зоны r = 0,158 мм. Следовательно, распространение света от S к Р происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SР, т.е. прямолинейно.

Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.

6. Зонные пластинки - фазовые и амплитудные

Если в экране открыть только нечётные зоны Френеля (1-ю, 3-ю,...), то векторы-амплитуды от этих зон будут сонаправлены, и в сумме дадут вектор A mA1, в m раз превосходящий по модулю вектор A1. Такой экран называют зонной пластинкой (Рис. 6.1).

Рис. 6.1. Амплитудная зонная пластинка и синусоидальная фазовая решётка, так называемая голограмма Габора

Аналогично можно изготовить зонную пластинку, где открыты только чётные зоны Френеля. Зонная пластинка, содержащая m открытых зон, создает в точке наблюдения P интенсивность приблизительно в m2 раз большую (при малом m ), чем отверстие в первую зону Френеля:

I m2I1

(6.1)

где m - число открытых зон зонной пластинки; I1 - интенсивность создаваемая на экране, когда радиус отверстия совпадает с радиусом первой зоны Френеля.

16

Ещё большего эффекта можно достичь, не перекрывая чётные (или нечётные) зоны, а изменяя фазы колебаний на . Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих чётным или нечётным зонам, от отличаются на надлежащим образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей амплитудной зонной пла-

стинкой фазовая даёт дополнительное увеличение амплитуды в два раз, а интенсивности света - в четыре раза

Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы. Расстояния от зонной пластинки до источника PO и его изображения P связаны таким же соотношением, как и соответствующие расстояния для линзы. Чтобы в этом убедиться, достаточно

переписать формулу (4.3) r

 

 

ab

m в виде

 

 

 

 

 

 

m

a b

 

 

1

 

1

 

m

 

(6.2)

a

 

r2

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

где выражение в правой части равенства можно рассматривать как величину обратную фокусному расстоянию

 

 

 

f

 

 

r2

r2

 

 

 

 

 

 

 

m

 

1

,

 

(6.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

 

m

 

 

 

 

где r2

 

, поскольку r

2

~m, т.к. r2

m r2

из (4.3).

a b

 

1

 

m

 

 

 

m

1

 

Но в отличие от линзы, зонная пластинка — система не таутохронная: колебания, приходящие в фокус F от соседних открытых зон, различаются по фазе на 2 (разность хода ). Кроме этого фокуса (основного), зонная пластинка имеет и другие, а именно те точки F , в которые колебания от соседних открытых зон приходят с разностью хода 2 , З . и т. д. Эти другие фокусы оказываются более слабыми по сравнению с основным.

Интенсивность света в главном фокусе F зонной пластинки можно увеличить еще в четыре раза, если изменить на фазы вторичных волн, исходящих из всех зон Френеля с чётными (или нечётными) номерами. Тогда векторы-амплитуды от всех зон будут сонаправлены, и результирующая амплитуда возрастёт ещё вдвое. Такая пластинка была изготовлена Вудом путем травления в соответствующих зонах тонкого лакового покрытия. Ее действие вполне эквивалентно действию линзы, так как в обоих случаях вторичные волны от всех точек волновой поверхности приходят в точку F в одинаковых фазах.

7. Ближняя и дальняя зоны дифракции

Дифракция возникает при любом локальном изменении волнового фронта, амплитудном или фазовом. Подобные изменения могут вызывать-

17

ся присутствием непрозрачных или частично прозрачных преград на пути волны (экранов), или участков среды с иным показателем преломления (фазовых пластинок). Характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра m (число зон Френеля укладывающихся в отверстии пре-

пятствия радиуса r ). Из формулы (4.3) r

ab

m следует, что число

 

m

a b

зон m при rm r равно:

m

r2

(7.1)

f

где r - размер неоднородности, вызвавшей дифракцию, - длина волны, и

обозначено f ab - расстояние, по порядку величины равное расстоя- a b

нию от неоднородности до точки наблюдения. Легко показать, что для плоской гармонической волны когда a , случай наиболее часто используемый на практике, f b, и формулу (7.1) можно переписать в виде:

r2

(7.2)

m m

b

Если параметр m много меньше единицы, наблюдается дифракция Фраунгофера, если он порядка единицы — дифракция Френеля; наконец, если этот параметр много больше единицы, оказывается применимым приближение геометрической оптики. Для удобства сопоставления представим сказанное в следующем виде:

 

r2

<<1 дифракция Фраунгофера

 

 

 

 

m

 

1 10 дифракция Френеля

(7.3)

b

 

 

 

 

 

>>1 геометрическая оптика

 

Несмотря на то, что явление дифракции в оптике имеет место всегда, для наблюдения дифракции требуется постановка специальных экспериментов, в которых реализуется условие m ~ 1 ÷ 10.

Рассмотрим теперь, как меняется интенсивность света I на оси отверстия по мере увеличения расстояния b от экрана с отверстием. Зафиксируем радиус отверстия r . По мере удаления от отверстия число зон Френеля

на отверстии уменьшается (m : 1 ), а интенсивность в центре экрана ос- b

циллирует: при нечётном числе открытых зон - увеличивается при чётном - уменьшается пока наконец, в пределах отверстия не останется одна первая зона Френеля. В этот момент интенсивность света I в точке наблюдения достигает максимума (рис. 7.1), после чего монотонно убывает с ростом расстояния b.

18

Расстояние между отверстием и экраном bd , при котором радиус первой зоной Френеля r1 совпадает с радиусом отверстие r , называют ди-

фракционной длиной светового пучка или дистанцией Релея.

Из формулы (4.5) m

r2

 

 

 

 

m

следует, что:

 

 

 

 

b

r2

 

 

b

 

 

 

1

 

(7.4)

 

 

 

 

d

 

 

Дифракционная длина bd определяет границу между двумя различными видами дифракции: дифракция в ближней зоне (или дифракция Френеля) и дифракция в дальней зоне (дифракция Фраунгофера) для заданного радиуса отверстия r .

Дифракционная длина связана с числом зон Френеля. Из сравнения

формулы (7.4) и формулы (4.5) m

r2

видно, что

b

 

bd

 

 

m

.

(7.5)

 

 

b

 

Отсюда и следует соотношения (7.3), когда b = bd m >>1, а когда

b ? bd m <<1.

Зона, для которой b = bd , называется ближней зоной дифракции. В ближней зоне световой пучок сохраняет структуру, заданную формой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерно равна интенсивности исходной световой волны.

Рис. 7.1. Зависимость интенсивности света на оси отверстия от расстояния до экрана. bd - дифракционная длина светового пучка (дистанция Релея)

Для точек ближней зоны в пределах отверстия помещается множество зон Френеля, и поперечный профиль пучка поддерживается постоянным за счет интерференции элементарных вторичных волн, идущих от разных зон Френеля и его можно считать параллельным.

Зона, для которой b ? bd называется дальней зоной дифракции. В этой зоне интенсивность света на оси пучка много меньше интенсивности ис-

19

ходной волны, и при больших значениях интенсивность I b слабо зави-

сит от b.

В дальней зоне световой пучок расширяется. Для точек дальней зоны в пределах отверстия помещается только центральная часть первой полуволновой зоны Френеля. Интерференция элементарных вторичных волн выражена слабее. Она уже не в состоянии поддерживать исходный поперечный профиль пучка, поэтому пучок становится расходящимся. Характер изменения поперечного размера светового пучка в процессе дифракции показан на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Дифракция светового пучка и угол дифракционной расходимости d .

Оценим дифракционную Расходимость пучка d (рис.7.3), исходя из представлений об интерференции элементарных вторичных волн. Полагая, что положение границы светового пучка определяется деструктивной интерференцией лучей, приходящих от противоположных границ отверстия,

т.е. условием , где — разность хода.

2

Рис. 7.3. К расчету дифракционной расходимости светового пучка.

20