Глава 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

6.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

Простейшей из периодических функций (если не считать посто- янной) является функция Asin(wt + j) , где A,ω,ϕ – постоянные.

Эту функцию называют гармоникой с амплитудой A , частотой ω

и начальной фазой ϕ. Период гармоники – T = 2π / ω.

Свойства периодических функций.

1. Если T – период функции, то величина Tk , k = ±1,±2,... также является периодом этой функции.

2. Если T1 и T2 – периоды функции, то T1 ± T2 также периоды этой функции.

3.Константа является периодической функцией с произвольным периодом.

4.Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с одним и тем же периодом T – периодические функции

стем же периодом.

5.Если j(t) – периодическая с периодом T интегрируемая на

любом конечном промежутке функция, то

"aΡ α+òT j(t)dt = Tòj(t)dt.

α0

6.Сумма конечного числа гармоник с общим периодом T

З а м е ч а н и е . Применив к равенству (5.1) формулу синуса суммы

и, соответственно, тригонометрического ряда:

89

функции j(t), вообще говоря, не означает, что функция-сумма j% (t) этого ряда будет совпадать с j(t), поэтому договоримся о следую- щем обозначении: запись

стоящий справа. Знак «~» можно заменить знаком «=» только тогда, когда будет доказана сходимость ряда и равенство его суммы функ- ции j(t).

З а м е ч а н и е 2 . Если в качестве новой независимой переменной

поэтому, не нарушая общности, при изложении теории можно рас- сматривать лишь 2π -периодичные функции.

90

Определение коэффициентов тригонометрического ряда по методу Эйлера-Фурье

определена на сегменте [-p,p], абсолютно интегрируема на нем, а

сам ряд допускает почленное интегрирование. Тогда этот ряд явля-

ется тригонометрическим рядом Фурье своей суммы, т.е.

2 Эти соотношения легко доказываются непосредственным интегрированием с

использованием известных формул тригонометрии

sin (kx)sin (nx)= 12 éëcos((k -n) x)-cos((k + n) x)ùû , cos(kx)cos(nx)= 12 éëcos((k - n) x)+ cos((k + n) x)ùû , sin (kx)cos(nx) = 12 éësin ((k - n) x)+ sin ((k + n) x)ùû .

91

Для нахождения ak (bk ) умножим обе части равенства (5.11) на cos(kx) (sin(kx)) и проинтегрируем почленно по тому же проме- жутку. Учитывая (5.9), (5.10), получим:

Из полученных соотношений непосредственно вытекают фор-

мулы (5.12), (5.13).

Следствие 1. Если равенство (5.11) выполняется всюду за исключением, быть может, конечного числа значений (для одного периода), то утверждение теоремы остается справедливым.

Следствие 2. Пусть сумма тригонометрического ряда (5.11) определена на сегменте [-p,p], причем сам ряд сходится равномерно

на этом сегменте. Тогда этот ряд является тригонометрическим рядом Фурье своей суммы.

Утверждение теоремы основывается на том, что равномерная

сходимость является достаточным условием сходимости ряда к непрерывной, а значит абсолютно интегрируемой функции, и возможности его почленного интегрирования.

å∞ 12 . Следовательно, является рядом Фурье своей суммы.

k=1 k

92

Теорема Римана. Если функция f (t) абсолютно интегрируема на (a,b), конечном или бесконечном, то3

Следствие. Коэффициенты Фурье ak ,bk абсолютно интегриру-

емой на [a,b] функции при k → ∞ стремятся к нулю.

Четные и нечетные функции.

Если функция f (x) нечетная, то коэффициенты ak , как интегралы

от нечетных функций по симметричному промежутку, равны нулю, а значит, разложение в ряд Фурье содержит только синусы:

6.3.СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ

6.3.1.Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации

Для того чтобы исследовать поведение ряда Фурье 2π -периодичной функции f (x) в какой-нибудь определенной точке x = x0 , составим удобное выражение для его частичной суммы:

Функция Dn (a) = 1 + ån cos(ka) называется ядром Дирихле.

2 k =1

3 Доказательство можно прочесть в [4]

93

Лемма (о свойствах ядра Дирихле).

1)Ядро Дирихле – четная непрерывная 2π -периодическая функ- ция, причем Dn (0) = n + 1 / 2 ,

2)òπ Dn (t)dt = 2òπ Dn (t)dt = p ;

δ

Первые два свойства непосредственно следуют из определе- ния ядра Дирихле, поэтому их доказывать не будем. Третье свой- ство доказано в параграфе 1.3.3. Последнее свойство следует

из леммы Римана, если взять f (t) = (1 ) , p = n +1/ 2. sin t / 2

Учитывая 2π -периодичность ядра Дирихле, для частичной сум-

так как предел ядра Дирихле при n → ∞ не существует.

94

Теорема 6.2 (теорема Римана, принцип локализации). Пове-

дение ряда Фурье 2π -периодической функции f (x) , абсолютно ин- тегрируемой на [-p,p] , в некоторой точке x0 зависит исключительно

от значений, принимаемых этой функцией в непосредственной близо- сти рассматриваемой точки, т.е. в сколь угодно малой ее окрестности.

Взяв произвольное 0 < δ < π, разобьем интеграл в (5.16) на два

1

функция 2sin (t / 2) – непрерывна, а значит, ограничена.

Согласно лемме Римана, интеграл (5.17) при n → ∞ стремится к нулю. Следовательно, и существование предела для частичной сум- мы ряд Фурье Sn (x0 ), и величина этого предела целиком определя-

Но в этот интеграл входят лишь значения функции f (x), отве- чающие изменению аргумента в промежутке от x0 − δ до x0 + δ .

Следствие. Если значения двух функций в некоторой окрестно- сти x0 совпадают, то независимо от их значений вне этой окрестно-

сти, соответствующие им ряды Фурье ведут себя в точке x0 одина-

ково: либо оба сходятся (к одной и той же сумме), либо оба расхо- дятся, причем сами коэффициенты Фурье этих рядов могут оказать- ся совершенно различными.

95

6.3.2. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке

Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 6.3. Для 2π -периодической функции f , абсолютно ин- тегрируемой на [−π,π] , интегралы

сходятся и расходятся одновременно.

96

Теорема 6.4 (признак Дини). Пусть f (x) – 2π -периодическая функция, абсолютно интегрируемая на [-p,p] . Тогда, если x явля- ется точкой непрерывности или точкой разрыва первого рода функ- ции f (x) и при некотором dÎ(0,p) сходится интеграл