Глава 2. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ*

a = P

, a =

Pk

, k = 2,3,....

1 1

k

Pk−1

n - 3

!

n + 3

!

(

4! )

×

(

10! )

5

(n + 3)

1

=

=

®

.

(n - 2)!×

(n + 2)!

10(n - 2)

2

5!

9!

∞

2

- 9

∏

k

= lim Pn

= 1 .

2

- 4

k=8

k

n→∞

2

∞

∏ak сходится, то

k=1

∞

lim ak

=1,

limQn = lim ∏ ak

=1.

k→∞

n→∞

n→∞

k=n+1

∞

Пусть

P = ∏ak , P ¹ 0. Тогда lim Pk−1 = lim Pk = P ¹ 0, следова-

k=1

k→∞

k→∞

тельно:

lim P

Pk

P

1) lim ak

= lim

=

k→∞ k

=

=1,

P

lim P

P

k→∞

k→∞

k−1

k→∞ k−1

∞

∞

∏ak

P

P

P

2) limQn = lim ∏ ak = lim

k=1

= lim

=

=

=1.

n

n

lim P

P

n→∞

n→∞

k=n+1

n→∞

∏ak

n→∞

∏ak

n→∞

n

k=1

k=1

∞

то åln ak = ln P .

k =1

n

n

Пусть Sn = åln ak , Pn

=∏ak , тогда Sn =ln Pn , а значит, Pn =eSn .

k=1

k=1

ся последовательность {S

} , причем если lim S

n

= S , то

lim P = eS

,

n

n→∞

n→∞

n

и наоборот, если lim Pn = P , то lim Sn = ln P .

n→∞

n→∞

При исследовании БП оказывается удобным представить его в виде

∞

∏(1+ ak ) = (1+ a1 )(1+ a2 )L(1+ a3 )L,

(2.1)

∞

åln (1+ ak ).

(2.2)

∞

∞

I. Пусть ряд åak

знакопостоянный. Тогда для БП ∏(1+ ak ),

k=1

k=1

∞

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд åak .

∞

k=1

II. Пусть ряд åak

знакопеременный. Тогда:

k=1

∞

∞

1) если ряд åak сходится абсолютно, то сходится и БП ∏(1+ ak );

k=1

∞

k=1

∞

∞

2) если оба ряда åak , åak2

сходятся, то сходится и БП ∏(1+ ak );

k=1

k =1

k=1

∞

∞

3) если один из рядов åak , åak2 сходится, а другой расходится,

∞

k=1

k =1

то расходится и БП ∏(1+ ak );

k=1

k =1

∞

∏(1+ ak ) ничего сказать нельзя.

k=1

∞

∞

(1+ ak )

Согласно теореме

1.2,

БП ∏(1+ ak )

и ряд åln

k=1

k=1

сходятся и расходятся одновременно, поэтому докажем все утвер-

∞

(1+ ak ).

ждения теоремы для ряда åln

k=1

Условие lim ak = 0 является необходимым и для сходимости ряда

∞

k→∞

∞

åak

и для сходимости ряда åln (1+ ak ), а значит, невыполнение

k=1

k=1

этого условия гарантирует расходимость обоих рядов.

∞

– знакопостоянный. Из того, что lim ak = 0, следует,

I. Если åak

k=1

k→∞

∞

∞

ряды åak

и åln (1+ ak ) сходятся и расходятся одновременно.

k=1

k=1

∞

– знакопеременный. Так как lim ak

= 0, то

II. åak

k=1

k→∞

ln(1+ ak ) = ak - ak2 / 2 + o(ak2 ).

/ 2 + o (ak2 ))

∞

∞

В силу

теоремы сравнения

ряды åak2

и å(-ak2

сходятся и расходятся одновременно.

k =1

k =1

∞

∞

Таким образом, если оба ряда åak

и åak2

сходятся, то сходится и

∞

k=1

k =1

∞

их сумма, если из рядов åak и

åak2

один сходится, а второй расхо-

k=1

k =1

дится, то их сумма – расходящийся ряд.

∞

1) Если

åak сходится абсолютно, то для него выполняется

k=1

поэтому "k ³ k0

ak2 <

ak

<1,

необходимое условие сходимости,

ì

-

1

, n

= 2k -1;

ï

ï

k

. Тогда

∙ Пусть ak = í

1

1 +

1

ï

+

, n = 2k.

ï

k

k k

k

∞

î

Ряд åak

расходится, так как

k=1

∞

∞

∞

æ

1

1

ö

∞

1

åak = å(a2m−1 + a2m ) = åç

k

+

÷ >

å

k

k k

k 1

m 1

k 1

è

ø

k 1

∞

=

=

=

=

расходятся, так как ak2 :

1

при k → ∞.

Ряд åak2

k =1

k

∞

) сходится, так как

Ряд åln (1+ ak

k=1

∞

∞

(1+ a2m−1 )ln (1+ a2m ) =

åln(1+ ak ) = åln

∞

æ

k=1

m=1

öö

∞

æ

1

öæ

1

1

1

æ

1 ö

ålnç

ç1-

֍1

+

+

+

÷÷

= ålnç1-

÷.

m

m

2

m

m

m m

m 1

è

è

øè

øø

m 1

è

ø

=

=

1

∞

∞

1

∞

∞

1

∙ Пусть ak

=

,

тогда ряды åak

= å

и

åak2

= å

1/ 6

1/ 6

1/3

расходятся.

k

k=1

k=1

k

k=1

k=1

k

1

1

1

∞ æ

2

ö

Так

как

-

:

при

k → ∞,

то

ряд

åçak

-

ak

÷

,

k

1/ 6

1/3

k

1/ 6

∞

2k

k=1 è

2

ø

а значит, и ряд åln (1+ ak ), расходится.

k=1

∞

З а м е ч а н и е .

Из сходимости ряда åak

в общем случае не сле-

∞

k=1

n

(-1)

дует сходимость ряда åak2 , и наоборот. Например, если ak

=

,

k

k 1

∞

=

∞

1

то ряд

сходится,

а

расходится,

а

если

ak =

,

åak

ряд åak2

k=1

∞

k =1

∞

k

то наоборот, ряд åak2

сходится, а ряд åak

расходится.

k =1

k=1

∞

Следствие

1. Если

k −1< ak < 0

и

ряд

åak

расходится,

то БП (2.1) расходится к нулю.

k=1

∞

Так как все члены расходящегося ряда

åak

отрицательны,

∞

∞

ì ∞

ü

k=1

= 0

то åak

= -¥ , а значит, Õ(1+ ak ) = exp

íåak ý

k =1

k=1

î k=1

þ

∞

∞

Следствие 2. Если åak сходится условно,

а ряд åak2

расхо-

k=1

k =1

дится, то БП (2.1) расходится к нулю.

∞

Так как все члены расходящегося ряда åak2

положительны,

∞

-a2

k =1

, а значит,

то å

2

k = -¥

k=1

ì ∞

ü

∞

ì

∞

ü

æ

a

2

ï

k

+ o(ak2 )

öï

Õ(1+ ak ) = exp íåln (1+ ak )ý = exp íåç ak -

÷ý

=

2

k=1

î k=1

þ

ï k=1

è

øï

î

þ

ì ∞

∞

æ

a

2

ü

ï

k

+ o(ak2 )

öï

= exp íåak

+

åç

-

÷ý = exp{A - ¥} = 0.

2

ï k=1

k=1

è

øï

î

þ