Глава 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пусть {an } – последовательность действительных чисел, x0 ¡. Степенным рядом (СР) называется функциональный ряд
∞ |
|
åan (x - x0 )n , xΡ. |
(4.1) |
n=0
Числа an , n = 0,1, 2,..., называются коэффициентами степенного
ряда. Поскольку исследование сходимости ряда (4.1) эквивалентно
исследованию сходимости ряда
∞ |
|
åan xn , xΡ, |
(4.2) |
n=0
в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (4.2).
Отметим, что частичные суммы СР являются многочленами.
|
|
|
5.1. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННОГО РЯДА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Любой степенной ряд (4.2) при x = 0 сходится абсолютно. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Лемма Абеля. Пусть |
{an } , |
x% ¹ 0 , |
таковы, |
что последователь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность {an x%n } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ограничена. |
Тогда ряд |
åan xn сходится абсолютно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для |
|
x |
|
< |
|
x% |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
< |
|
x% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Возьмем |
любое |
|
для |
которого |
|
|
|
|
|
, |
|
и составим |
ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{an x%n } |
|
|
|
|
|
||||||||||||
å |
|
an xn |
|
. Так как по условию последовательность |
|
ограниче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
на, можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a xn |
|
= |
|
a x%n |
|
× |
|
|
£ C |
|
, C Ρ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
x%n |
|
|
|
|
|
x%n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, члены ряда |
å |
|
an xn |
|
оказываются |
меньшими |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x |
|
n |
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
соответствующих членов сходящегося ряда åC |
|
|
|
|
(так как |
|
|
<1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x% |
|
x% |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а значит, ряд |
å |
|
an xn |
|
|
|
сходится. |
|
Следовательно, |
|
ряд åan xn |
схо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||
Следствие. Для каждого СР åan xn существует некоторое r |
|||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
< r ряд сходится |
||
(конечное или бесконечное), такое что при |
|
|
x |
|
|||||
|
|
||||||||
абсолютно, а при |
|
x |
|
> r – расходится. Такое r |
называют радиусом |
||||
|
|
сходимости СР. Если r < ∞, то интервал (−r,r) называют интер-
валом сходимости СР. Так как согласно теореме множество схо-
димости СР может отличаться от интервала сходимости СР лишь в граничных точках последнего, то для нахождения промежутка
сходимости СР достаточно найти радиус сходимости СР и выяснить сходится ли СР на границах интервала сходимости.
Теорема 5.1 (теорема Коши – Адамара). Положим |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 ≤ ρ ≤ +∞ ; r :=1/ ρ. |
(4.3) |
||||
r := |
|
n |
|
an |
|
|
|||||||||||
lim |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда: |
|
|
|
|
|||||||||||||
а) при r = 0 ряд (4.2) расходится "x ¹ 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||
б) при r = +∞ ряд (4.2) сходится абсолютно; |
|
|
|
< r и |
|||||||||||||
в) при 0 < r < +¥ ряд (4.2) сходится абсолютно для "x |
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
расходится для x |
|
x |
|
> r . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
* а) r = 0 lim n an = +¥ .
n→∞
Следовательно, существует подпоследовательность
которой nk |
an |
® +¥ при k ® +¥ , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"e > 0 $k0= k0 (e) "k ³ k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> e . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть x – |
фиксировано. Учитывая, что по условию |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
. |
|||||||
e = |
|
|
можно утверждать, что |
$k |
0 |
"k ³ k |
0 |
|
nk |
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
"x ¹ 0 $e = |
|
1 |
$k |
0 |
"k ³ k |
0 |
|
a xnk |
|
|
>1, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ank }, для
x¹ 0 , для
поэтому an xn ® 0 при n → ∞ , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости.
70
б) r = +∞ |
lim |
n |
|
an |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так |
|
|
как |
|
an |
|
> 0 , |
|
|
из |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
= 0 следует, что |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= 0 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim n |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
"e > 0 $n0= n0 (e) "n ³ n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
an |
|
|
|
< e. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть x – |
фиксировано, тогда для e = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
можно утверждать, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
что $n "n ³ n |
|
|
n |
|
|
a |
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"x ¹ 0 |
|
$n |
(x) "n ³ n |
|
a xn |
|
< |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из признаков сравнения, учитывая сходимость геометрического ря-
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
да å |
, получаем абсолютную сходимость ряда åan xn . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|||
|
|
в) |
0 < r < +∞ Û 0 < r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< +¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1. Пусть |
|
x |
|
> r , т.е. r > |
|
|
|
1 |
|
|
|
. Тогда существует такая подпоследо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательность {an }, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Û |
|
a xnk |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"k ³1 nk |
|
a |
|
|
> |
|
|
|
>1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, a xn |
® 0, n → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Пусть теперь |
|
x |
|
< r , |
|
|
т.е. ρ |
|
x |
|
< 1. Рассмотрим α такое, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ρ |
|
|
|
< α < 1. Поскольку r < |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
Û |
|
a xn |
|
|
|
< an . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$n "n ³ n |
|
|
n |
|
a |
|
< |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда, как и выше (учитывая, |
|
что α <1), |
|
получаем абсолютную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимость ряда åan xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0
71
∞
З а м е ч а н и е . Радиус сходимости СР åan xn может быть вычис-
n=0
лен как по формуле (4.3), так и по следующей формуле:
r = lim an .
n→+∞ an+1
∞
По признаку Даламбера для ряда å an xn получим
|
|
|
|
|
|
|
|
an+1xn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 1x |
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
+ |
|
= |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
an xn |
|
|
|
|
|
r |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→+∞ |
|
|
|
n→+∞ |
|
an |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, ряд |
|
åan xn |
сходится абсолютно для всех x |
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таких, что |
|
|
|
<1, и расходится при |
|
|
|
|
|
>1.. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
З а м е ч а н и е . Для степенных рядов общего вида åan (x - x0 )n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
радиус сходимости не зависит от x0 , его значение определяют коэф-
фициенты an . Интервалом сходимости СР общего вида будет интервал, симметричный относительно x0 , длинной 2r : (x0− r, x0+ r).
П р и м е р 5.1. |
|
Вычислим |
радиусы |
|
и |
|
|
множества сходимости |
||||||||||||||||||||||||||||
следующих рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2 + |
|
|
|
-1 |
k |
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
+ |
(-3) |
|
|
xk |
; 2) |
|
|
|
( |
|
) (x +1)k . |
|||||||||||||||||||||||
1) å |
k |
|
|
å( |
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k=1 |
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- |
; |
ö |
, так как |
|
|
|
||||||||||||
1. Ряд сходится на интервале ç |
5 |
5 |
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r = lim |
|
|
|
an |
|
|
|
= lim |
5n |
+ |
(-3)n |
|
|
× |
|
|
|
n + 2 |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
5n+1 + |
( |
|
) |
n+1 |
||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
1+ |
( |
-3/ 5 |
) |
n |
|
|
× |
1+ 2/ n |
= |
1 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+1/ n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n→+∞ 5(1- 3(-3/5)n ) |
|
|
5 |
|
|
|
72
Для нахождения множества сходимости исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ (-3/ 5) |
|
|
|
|||||
При |
|
x = 1 получим числовой ряд å |
, который расхо- |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k +1 |
|
|
|
|
|
|||
дится, так как: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
1+ (-3/ 5)k |
: |
1 |
|
при k → ∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k +1 |
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ряд å |
|
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
k |
+ (3/ 5) |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При |
|
x = - 1 |
получим числовой ряд |
å |
(-1) |
|
|
, который |
|||||||||
|
|
k +1 |
|
||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
можно представить как сумму сходящихся рядов: ряда Лейбница
∞ |
(-1) |
k |
|
|
|
|
∞ |
(3/ 5) |
k |
|
|
|
||
å |
|
и сходящегося по признаку Абеля ряда å |
|
|
, а значит, |
|||||||||
k=1 |
k +1 |
|
|
|
|
k=1 |
k +1 |
|
|
|
|
|||
этот ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (-3) |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Таким образом, |
множеством сходимости ряда |
å |
5 |
|
|
xk |
|||||||
|
|
|
k +1 |
|
||||||||||
|
|
|
é |
|
1 |
|
1 ö |
k=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
будет промежуток ê- |
5 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ë |
|
|
5 ø |
|
|
|
|
|
|
|
2. Предел отношения |
|
|
|
|
an |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
||
lim |
|
|
|
a2k |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
||||||||
k→∞ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2k +1 |
|
lim a2k −1
k→∞ a2k
при n → ∞ не существует, так как:
= lim |
|
32k (2k +1) |
|
= ∞ , |
|
|
2k |
||||
k →∞ |
|
|
|
||
= lim |
|
2k |
|
= 0. |
|
(2k -1)×32k |
|
||||
k→∞ |
|
|
Поэтому радиус сходимости вычислим по теореме Коши –Адамара:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 + (−1)n )n |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
3n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim n |
an |
= lim |
= lim n |
= 3 . |
||||||||||
r |
|
n |
n |
|||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
73
Следовательно, ряд å∞ |
(2+(-1)k )k |
(x +1)k |
сходится при |
|
x +1 |
|
< |
1 |
|
|
|||||||
k |
|
|
3 |
|||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
и расходится при x +1 > 13 . Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.
При |
x = - |
4 |
∞ |
(2 + (-1)k )k |
æ |
- |
1 ök |
|
3 |
получим числовой ряд å |
k |
ç |
÷ |
. Этот |
|||
|
|
k=1 |
è |
|
3 ø |
|
ряд расходится, так как |
(2 + (-1)k )k |
|
|
|
|
∞ |
æ |
- |
1 ök |
||
å |
k |
ç |
÷ |
= |
|
k=1 |
è |
|
3 ø |
|
∞ (2 + (-1)2m )2m æ |
1 ö2m |
|
∞ |
(2 + (-1)2m−1 )2m−1 æ |
1 |
ö2m−1 |
|
|||||||||||||
= å |
|
2m |
ç - |
|
÷ |
+ å |
|
|
2m -1 |
ç - |
|
÷ |
= |
|||||||
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||
m=1 |
|
è |
|
3 ø |
|
m=1 |
|
|
è |
ø |
|
|||||||||
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
∞ |
(-1) |
2m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= å |
|
|
- |
å |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m 1 2m |
|
m 1 (2m -1)3 |
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый ряд в сумме расходится, а второй сходится по признаку |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
(2 + (-1)k )k |
æ |
1 |
ök |
расходится. |
|
|||||||||
Абеля, следовательно, ряд å |
|
k |
|
|
ç - |
3 |
÷ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
||||||
При x = - |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(2 + (-1)k )k |
æ |
1 ök |
расхо- |
|||
3 |
получим числовой ряд å |
|
|
|
k |
ç |
÷ , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
è |
3 ø |
|
димость которого доказывается аналогично доказательству расхо-
∞ |
(2 + (-1)k )k |
æ |
- |
1 ök |
димости числового ряда å |
k |
ç |
÷ . |
|
k=1 |
è |
|
3 ø |
|
Таким образом, |
|
множеством сходимости степенного ряда |
||||||
∞ |
(2 + (-1)k )k |
(x +1) |
k |
æ |
- |
4 |
;- |
2 ö |
. |
å |
k |
|
будет интервал ç |
3 |
÷ |
||||
k=1 |
|
|
è |
|
|
3 ø |
|
74
5.2. СВОЙСТВА СТЕПЕННОГО РЯДА
Теорема 5.2 (теорема Абеля о равномерной сходимости). Сте-
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пенной ряд |
åak xk |
сходится |
равномерно на любом отрезке |
|||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вида [−q,q] , содержащемся во множестве сходимости. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||||
Пусть r |
– радиус сходимости ряда åak xk и |
|
q |
|
< r . Так как |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числовой ряд |
åak qk сходится абсолютно (в силу теоремы 5.1), |
|||||||||||
|
k =0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
являясь мажорантой ряда åak xk |
на отрезке [−q,q], то по признаку |
|||||||||||
|
∞ |
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вейерштрасса ряд åan xn |
сходится равномерно на [−q,q]. |
|||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ряд åak xk |
сходится и в точках x0 = ±q , то равномерную |
|||||||||||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимость ряда на промежутке, |
содержащем точку x0 , получаем |
|||||||||||
с помощью признака Абеля с учетом равенства |
||||||||||||
|
|
∞ |
|
k |
∞ |
k æ x |
ök |
|||||
|
|
åak x |
|
= åak x0 ç |
|
÷ . |
||||||
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
k=0 |
|
|
k=0 |
è 0 |
ø |
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . Согласно теоремам 5.1 и 5.2 степенной ряд на лю- бом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости, сходится абсолютно и равномерно.
Теорема 5.3. Сумма степенного ряда непрерывна на его множе- стве сходимости.
Пусть x – произвольная точка множества сходимости A. Выберем некоторый отрезок, такой что
x [α,β] и [α,β] A .
На [α,β] члены ряда непрерывны, а сам ряд сходится равномерно
в силу предыдущей теоремы. Тогда, согласно теореме 4.6, его сумма непрерывна на [α,β], а значит, и в точке x. Таким образом, мы до-
казали, что сумма ряда непрерывна в произвольной точке множе- ства сходимости, т.е. на всем множестве сходимости.
75
∞
Теорема 5.4. Пусть åak xk = S (x), xÎ A, – степенной ряд с ра-
|
k=0 |
|
|
|
|
диусом сходимости r |
и множеством сходимости A. Тогда: |
||||
1) S (x)ÎC(1) ((-r,r)) и "xÎ(-r,r) |
∞ |
||||
S¢(x) = åkak xk−1 , |
|||||
|
|
|
|
|
k=1 |
x |
∞ |
a |
|
|
|
2) "x Î A òS (u)du = å |
k |
|
xk+1 , |
|
|
k +1 |
|
||||
0 |
k=0 |
|
|
причем радиус сходимости полученных рядов равен r.
Доказательство следует из теоремы Абеля 5.2 и теорем 4.9 и 4.8
опочленном дифференцировании и интегрировании ФР. Утверждение
орадиусе сходимости следует из теоремы Коши – Адамара 5.1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ék |
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(k +1)a |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
k −1 |
|
a |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
k −1 |
= |
|
|
|
|
k |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
lim |
k |
|
|
|
|
lim |
k |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
k→∞ |
|
|
k +1 |
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k→∞ |
ë |
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
û |
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
k |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ak −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ék |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
k |
|
a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
k +1 |
|
a |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
k +1 |
|
|
|
= |
|
k |
|
a |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
k |
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k→∞ |
|
|
k |
|
|
|
k →∞ |
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
k |
|
|
|
|
k→∞ ë |
|
|
k |
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
k →∞ |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. На множестве сходимости степенной ряд можно ин- тегрировать и дифференцировать почленно произвольное число раз.
Полученные при этом степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННОЙ РЯД
Говорят, что функция f (x) на интервале (x0 − r, x0 + r ) может
∞
быть разложена в СР, если существует СР åak (x - x0 )k , сходящий-
k=0
ся к f (x) в указанном интервале.
Теорема 5.5 (необходимое условие разложимости функции в степенной ряд). Для того чтобы функция f (x) могла быть разло-
жена в степенной ряд на интервале (x0 − r, x0 + r ) , необходимо, что-
бы эта функция имела на указанном интервале производные любого порядка.
76
Теорема 5.6. Пусть степенной ряд
∞ |
|
(x) |
|
||
åak (x - x0 )k = S |
(4.4) |
||||
k=0 |
|
|
|
|
|
имеет радиус сходимости r . Тогда |
S(k ) (x0 ) |
|
|
||
"k ³ 0 a = |
. |
(4.5) |
|||
|
|
||||
k |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
= S (x0 ). После |
||
Подставляя x = x0 в формулу (4.4), получим a0 |
почленного дифференцирования получим
∞
S¢(x) = åkak (x - x0 )k−1 .
k=1
Следовательно, a1 = S′(x0 ) и т.д.
Теорема 5.7. Если функция f (x) на интервале (−r, r ) может быть разложена в степенной ряд, то этот ряд единственен.
Эта теорема является следствием теоремы 5.6, так как коэф- фициенты степенного ряда (если он существует) однозначно опре- деляются формулой (4.5).
Следствие. Разложение четной (нечетной) функции в степенной ряд может содержать лишь четные (нечентные) степени x .
∞
З а м е ч а н и е 1 . СР åak (x - x0 )k , коэффициенты которого опре-
k=0
деляются |
формулой |
a |
= |
f (k ) (x0 ) |
, называется |
рядом Тейлора |
|
|
|
||||||
|
|
k |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) может быть |
|
функции |
f (x). Таким образом, |
если функция |
|||||
разложена на интервале |
(x0 − r, x0 + r ) в СР, то этот ряд является |
||||||
рядом Тейлора функции f (x). |
|
|
|
З а м е ч а н и е 2 . Теорема позволяет строить разложения в СР для
функций являющихся суперпозициями некоторых более прострых функций с известным разложением, а также использовать свойства
степенных рядов как функциональных для построения разложения одних функций по известным разложениям других. Более подробно эти приемы будут рассмотрены в примерах: 5.3, 5.5 – 5.9.
77
З а м е ч а н и е 3 . Существуют функции, имеющие на интервале
(x0 − r, x0 + r ) непрерывные |
производные любого порядка, но не |
|||||||||||
разложимые на этом интервале в степенной ряд, например♦, |
||||||||||||
|
|
|
ì |
−1/ x2 |
, x ¹ 0, |
|
|
|
||||
|
|
f (x) = íïe |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ï0, |
x = 0. |
|
|
|
|||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Функция f (x) непрерывна, так как lim e−1/ x2 = 0 . Для x ¹ 0 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
x→0 |
|
4 |
|
|
f ¢(x) = |
e−1/ x2 , |
f ¢¢(x) = - |
e−1/ x2 |
+ |
e−1/ x2 , |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
x4 |
|
x6 |
f ¢¢¢(x) = 24x5 e−1/ x2 - 36x7 e−1/ x2 + x89 e−1/ x2 .
Продолжая операцию дифференцирования, получим, что при
x ¹ 0 производная |
f (n) (x), есть сумма выражений вида |
A |
e−1/ x2 . Из |
||||
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
xm |
||
равенства lim |
e−1/ x2 |
= 0 и непрерывности функции f |
в нуле сле- |
||||
|
|||||||
x→0 |
xm |
f ′ |
|
|
|
||
дует, что функция |
в нуле существует и равна нулю, и таким обра- |
зом, непрерывна. Точно так же получаем, что функция f ′′ в нуле су- ществует, равна нулю и непрерывна. Продолжая эти рассуждения, получим, что функция f имеет в любой точке x R производные всех порядков, причем в нуле все ее производные равны нулю. Сле- довательно, ряд Тейлора функции f в нуле имеет вид
∞ |
∞ |
åak xk = å0× xk . |
|
k=0 |
k=0 |
Согласно теореме Коши – Адамара радиус сходимости этого ряда r = +∞, т.е. ряд сходится при любом x ¡, но сумма его есть тождественный нуль и ни в какой точке, кроме нуля, не равна f (x).
А поскольку единственным степенным рядом, представляющим в некоторой окрестности нуля функцию f (x), может быть только ее
ряд Тейлора в точке x0 = 0 , то, следовательно, функция f (x) не представляется степенным рядом в окрестности нуля.
♦ Пример взят из книги В.А. Ильина, Э.Г. Позняка «Основы математического анализа».
78
Теорема 5.8 (достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Пусть x0 ¡, 0 < r ≤ +∞ . Тогда, если функция
f (x) удовлетворяет условиям:
1) |
f (x)Σ(∞) ((x0 - r, x0 + r)) ; |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
$C Î ¡ "k ³ 1 "x Î(x0 - r, x0 + r) |
|
|
f (k ) (x) |
|
£ Ck , |
|
|||
|
|
|
||||||||
то |
∞ |
(k ) |
(x0 ) |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
x (x0 − r, x0 + r ) f (x) = å |
f |
|
(x - x0 )k , |
(4.6) |
|||||
|
|
k! |
||||||||
|
k=0 |
|
|
причем для r < +∞ сходимость ряда равномерна на (x0 − r, x0 + r ),
а для r = +∞ сходимость равномерна на любом сегменте вида
[x0 − r%, x0 + r%], r% < +∞ .
* Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, n x (x0 − r, x0 + r )
|
|
|
|
|
|
(k ) |
(x0 ) |
|
f (x) = Sn (x) + Rn (x), |
|
|
|
|
(4.7) |
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где Sn (x) |
= å |
f |
|
|
|
(x - x0 )k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Rn (x) = |
|
f (n+1) (x + θ(x − x |
)) |
(x − x0 ) |
n 1 |
|
|
(0,1). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+ |
, |
θ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
n +1 ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для x (x0 − r, x0 + r ), учитывая условие 2, имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn (x) |
|
£ |
|
Cn+1 |
|
|
x - x0 |
|
n+1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
n +1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Cn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
|
x - x |
|
n+1 |
® 0 |
при n → ∞ , формула (4.6) следует из |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n +1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) при n → ∞ .
Докажем теперь утверждение о равномерной сходимости. Пусть
r ¡. Так как x (x0 − r, x0 + r ) |
|
x − x0 |
|
|
< r , то |
(Cr)n+1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
sup |
|
|
|
Rn (x) |
|
≤ lim |
|
Cn+1 |
rn+1 = lim |
= 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( |
|
) |
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|||||||||||
|
x0 |
− |
r, x0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n→∞ |
x |
|
r |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n +1 ! |
|
|
n→∞ |
|
n +1 ! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. остаток степенного ряда равномерно сходится к нулю, значит, сам ряд сходится тоже равномерно. Аналогичным образом доказы-
вается равномерная сходимость ряда на отрезке [x0 − r%, x0 + r%], r% < +∞ , в случае r = +∞
79
Приведенная теорема дает метод разложения функций в ряд Тейлора. Однако условия этой теоремы не всегда выполняются или не могут быть просто проверены. Тогда эффективным методом по- лучения разложения является использование свойств СР.
П р и м е р 5.2. Разложим в ряд функцию f (x) = ex .
Так как f (n)(x)= ex , то "h >0 x (−h,h) "n ³0 0< f (n)(x)< eh . Таким образом, условия теоремы 5.8 выполнены ( x0 = 0 ), поэтому
функция ex раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале, а значит, и на всей действительной оси.
Так как f (n) (0) = e0 |
=1, согласно формуле (4.6) |
разложение ex |
|||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ex = å |
|
. |
|
|
|
|
(4.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р 5.3. Разложим в ряд функции shx и chx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Заменив в формуле (4.8) x на −x , получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
k |
x |
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
e−x = å |
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
||
Складывая и вычитая формулы (4.8) и (4.9), получим |
|
|
|
||||||||||||||||
|
ex |
+ e− x |
|
∞ |
x2k |
|
|
|
|
|
|
ex − e− x |
∞ |
|
x2k+1 |
|
|||
chx = |
|
|
= |
å |
|
|
, |
shx = |
|
|
= å |
|
|
|
. |
||||
|
2 |
(2k )! |
|
2 |
( |
2k +1)! |
|||||||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
В силу единственности разложения функций в СР правые части этих формул являются рядами Тейлора функций sh x и ch x.
П р и м е р 5.4. Разложим в ряд функции sin x и cos x .Пусть f (x) = sin x . Тогда f (k ) (x) = sin (x + πk / 2) ≤ 1.
Согласно теореме 5.8 отсюда следует, что функция sin x раскла- дывается в СР на всей действительной оси. Аналогично функция cos x раскладывается в СР на всей действительной оси. Таким обра- зом, получаем
∞ |
(−1) |
k |
x |
2k+1 |
∞ |
(−1) |
k |
x |
2k |
|
|
sin x = å |
|
|
, cos x = å |
|
|
. |
(4.10) |
||||
k=0 |
(2k +1)! |
k=0 |
(2k )! |
|
|
80
Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тей- лора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды.
П р и м е р 5.5. Разложим в ряд функцию f (x) = ln (1+ x) .
Заметив, что f ¢(x) = |
|
1 |
|
, |
разложим |
f ′(x) |
в ряд по формуле |
|||||||
1 |
+ x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для суммы членов геометрической прогрессии |
|
|
|
|||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ¢(x) = å(-1)k xk, |
|
x |
|
<1. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
k=0 |
|
<1, получим |
|
|
|
|||||||
Интегрируя этот ряд от 0 до x, |
|
x |
|
|
k |
k+1 |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
x |
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
f (x) = ln(1+ x) = |
|
|
|
|
|
|
( |
-1) x |
||||||
|
çæå(-1)k tk ÷ödt = å |
. |
||||||||||||
|
ò0 è k=0 |
ø |
|
|
|
k=0 |
|
k +1 |
Рассмотрим теперь полученный ряд в граничных точках интерва-
ла сходимости. При x =1 мы получаем сходящийся ряд Лейбница, а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x = −1 – расходящийся ряд å |
|
. Таким образом, множе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
k +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1) |
k |
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ством сходимости ряда å |
|
|
является множество −1< x ≤1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
непрерывна при x =1, поэтому согласно теореме 5.3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
-1 k xk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
] |
|
||||||||||||
сумма ряда |
|
å |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
, являясь непрерывной функцией на |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1,1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
k=0 |
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
совпадает с ней и в точке x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
П р и м е р 5.6. Разложим в ряд функцию f (x) = arc tgx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Поступая при |
|
x |
|
<1 аналогично предыдущему примеру, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
x |
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
x |
2k +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
arctg x = |
ò0 |
|
|
|
|
|
= |
çæ |
å(-1)k |
t2k ÷ödt =å(-1)k |
|
|
|
. |
|
|
(4.11) |
|
||||||||||||||||||
1 |
+ t |
2 |
2k +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0 è k =0 |
|
|
|
ø |
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отметим, что полученный ряд при |
|
x = ±1 по признаку Лейбница |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(-1) |
k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сходится, поскольку сходится знакопеременный ряд å |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2k +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
||||||||
|
непрерывна при x = ±1, поэтому согласно теореме 5.3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
å( |
|
|
) |
|
|
|
|
x2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
|
|||||||
сумма ряда |
|
∞ |
|
-1 k |
|
, являясь непрерывной функцией на |
|
−1,1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
2k +1 |
|
|
|
|
|
|
x = ±1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
совпадает с ней и в концевых точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
Отметим, что хотя функция |
f (x) = arc tgx |
определена на всей |
||||||||||||||||||||||
действительной числовой оси, ее разложение в степенной ряд (4.11) |
||||||||||||||||||||||||
справедливо |
|
только на отрезке |
[ |
−1,1 . |
Вне |
этого отрезка |
ряд |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
x |
2k+1 |
|
расходится согласно теореме Коши – Адамара. |
|
|||||||||||||||||||
å(−1)k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k=0 |
2k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е . |
Так как разложение в степенной ряд функции f (x) |
|||||||||||||||||||||||
определяется единственным образом, его радиус сходимости может |
||||||||||||||||||||||||
быть вычислен как по теореме Коши – Адамара, так и с помощью |
||||||||||||||||||||||||
теорем, сформулированных для определения сходимости функцио- |
||||||||||||||||||||||||
нальных |
рядов, |
примененных к |
ряду |
|
Тейлора |
|
данной |
функции |
||||||||||||||||
(см. примеры 5.7 и 5.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приведем некоторые наиболее часто используемые при решении |
||||||||||||||||||||||||
задач разложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Разложения со множеством сходимости ¡ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
k |
∞ |
(−1) |
k |
x |
2k+1 |
|
|
|
|
|
∞ |
( |
−1) |
k |
x |
2k |
|||
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= å x |
|
sin x = å |
|
|
|
|
cos x = å |
|
|
|||||||||||||||
|
|
k=0 |
k! |
k=0 |
(2k +1)! |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
(2k )! |
|||||||||||
|
Разложения со множеством сходимости −1< x ≤1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
k+1 |
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ln (1+ x) = å(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Разложения со множеством сходимости −1< x <1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(1+ x)α |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, −1< x <1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
=1+ åα(α −1)L(α − k +1) xk |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= å(−1)k xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
åxk |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1+ x |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
=1+ |
|
∞ |
−1)k (2k −1)!! xk |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
å( |
|
|
|
|
|
|
=1+ å(2k −1)!! xk |
|
||||||||||||||||
1+ x |
|
|
k 1 |
(2k )!! |
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
k 1 |
(2k )!! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(2k −1)!!xk+1 |
||||||
1+ x =1+ å(−1)k−1 (2k −1)!!xk+1 |
|
|
|
|
1− x =1− å |
|
||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
(2k + 2)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
(2k + 2)!! |
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 5.7. Разложим в ряд функцию f (x) = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 + 2)(9 - x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Представим функцию f (x) |
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
1 |
æ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
|
|
|
x |
2 |
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83è x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 - x ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
å( |
-1)k |
|
x |
|
при |
|
|
|
|
<1, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
2 k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ök |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
æ x |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
åç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
= |
|
å |
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
<1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 k=0 |
è 9 |
|
ø |
|
|
|
|
|
k=0 9 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
x |
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ù |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) = |
ê |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ å |
x |
|
ú = |
åak xk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
83 |
êk=0 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 9 |
+ |
ú |
k=0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
||
при |
|
x |
|
< |
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
é |
9×(-1) |
m |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
é |
(-1) |
m |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
= |
ê |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
ú, |
|
a |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ê |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
ú , m = 0,1,2.... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2m+1 |
|
|
|
92m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m+1 |
92m+2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2m |
83 |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
2m+1 |
|
|
|
|
83 ê |
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
П р и м е р 5.8. Разложим в ряд функцию f (x) = ln |
5 + x3 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Представим функцию f (x) |
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ln (5 + x3 )- ln (4 - x2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Раскладывая в ряд каждую из функций ln (5 + x3 ) |
и ln (4 - x2 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
x |
3 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
-1 k−1 x3k |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ln(5 + x3 ) = ln5 + ln |
ç1+ |
|
|
÷ |
= ln5 + å( |
|
|
|
)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, -1< |
x |
|
£1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
5 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
5 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
x |
2 |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( |
-1 |
2k−1 x2k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln(4 - x2 ) = ln 4 + lnç1- |
|
|
|
|
÷ |
|
= ln 4 + å |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
4 |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln 4 - å |
x |
|
|
|
|
|
, -1< |
x |
|
|
£1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
x |
3k |
+ å xk |
|
= åak xk |
, −2 < x ≤ 2 , |
|
|||||||
f (x) = ln5 - ln 4 + å(-1)k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
2k |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
é |
|
|
|
k=1 |
4 k |
k=0 |
|
|
|
(-1) |
|
|
|||||
где a |
|
= ln 5 − ln 4 , |
a |
|
= |
1 |
(-1) |
k /2−1 |
2 |
+ |
3 |
ù |
при kM6 , |
a |
= |
k /3−1 |
3 |
|||||||
|
k |
ê |
|
|
ú |
|
||||||||||||||||||
0 |
k |
5k /2 |
|
4k /3 |
5k /3k |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ê |
|
|
ú |
|
|
k |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
при kM3 и k M2, ak |
= |
|
|
|
|
при |
kM2 и k M3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4k /2 k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение покажем несколько практических применений теории степенных рядов.
П р и м е р 5.9. Найдем разложение в СР «неберущегося» (в эле-
ментарных функциях) интеграла F(x) = òx e−t2 dt .
0
Подынтегральная функция e− x2 раскладывается во всюду схо- дящийся степенной ряд следующим образом:
e−x2 = å∞ (-1)k x2k . k=0 k!
Согласно теореме 5.4 степенной ряд внутри множества сходимости можно интегрировать почленно, следовательно:
x ∞ |
(-1) |
k |
t |
2k |
∞ x |
(-1) |
k |
t |
2k |
∞ |
(-1) |
k |
x |
2k+1 |
|
F(x) = òå |
|
|
dt =åò |
|
|
dt = å |
|
|
. (4.12) |
||||||
k! |
|
|
k! |
|
|
k!(2k +1) |
|||||||||
0 k=0 |
|
|
k=0 0 |
|
|
k=0 |
|
П р и м е р 5.10. Вычислим «неберущийся» |
интеграл òx e−t2 dt с точ- |
||||||||||||||||||||
ностью до 10−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
в точке x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Согласно формуле (4.12) для Φ (1) |
получим числовой ряд |
||||||||||||||||||||
лейбницевского типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F(1) = å (-1) |
k |
=1- 1 + 1 - 1 |
+ |
1 - |
1 +... |
||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k=0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k!(2k +1) |
|
10 |
|
|
42 |
|
|
216 |
|
1320 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( |
) |
|
|
5 ( ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как |
r (1) |
|
< |
<104 , |
|
то Φ 1 ≈ S |
1 |
≈ 0.746 |
и все три знака |
||||||||||||
|
1320 |
|
|||||||||||||||||||
верные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
П р и м е р 5.11. Найдем выражение для производной n-го порядка
функции y = |
1 |
|
|
в точке |
x = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
9x2 + 36x + 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Построим разложение в окрестности точки x = −2 : |
|
|
||||||||||||||
y = |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
= |
4 |
× |
|
|
|
|
= |
||||||
9x2 + 36x + 40 |
9(x + 2)2 + 4 |
|
9 |
(x + 2) |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
4 |
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
÷ö |
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 1 å(-1)k çæ 3 |
(x + 2)2k . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 k=0 |
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как полученный СР можно дифференцировать в достаточно малой окрестности точки x = −2 , в самой точке x = −2 получим
y(2k−1) (-2) = 0, y( |
2k |
) (-2) = |
(-1)k (2k )!æ |
2 |
ö2k |
||
|
4 |
ç ÷ |
. |
||||
|
|
|
è |
3 |
ø |
|
5.4.РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ♦
Теорема 5.9 (теорема Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на сегменте [a,b], то существует последователь-
ность многочленов {Pn (x)}, равномерно сходящаяся на [a,b] к функции f (x), то есть ε > 0 найдется многочлен Pn (x) с номе- ром n, зависящим от ε , такой, что
x [a,b] Pn (x) - f (x) < e.
* Не ограничивая общности, можно ввести следующие ограни- чения.
1. Вместо сегмента [a,b] рассматривать сегмент [0,1], так как он преобразуется в сегмент [a,b] линейной заменой:
x = (b − a)t + a .
♦В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Основы математического анализа».
85
2. Рассматривать лишь те функции, для которых |
|
f (0) = f (1) = 0 . |
(4.13) |
Так как если функция не удовлетворяет условию (4.13), то,
положив
g (x) = f (x) - f (0) - x é f (1) - f (0)ù ,
ë û
мы получили бы непрерывную на сегменте [0,1] функцию g (x) , удовлетворяющую условию g (0) = g (1) = 0, и из возможности пред- ставления g (x) в виде предела равномерно сходящейся последова- тельности многочленов вытекало бы, что и f (x) представима в ви-
де предела равномерно сходящейся последовательности многочленов (так как разница f (x) − g (x) является многочленом
первой степени).
Итак, пусть f (x) непрерывна на [0,1] и f (0) = f (1) = 0 . Про-
должим эту функцию на всю числовую прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента [0,1], причем полученная функция
будет равномерно непрерывной на всей числовой прямой.
Рассмотрим следующую конкретную последовательность неот- рицательных многочленов степени 2n :
Qn (x) = cn (1- x2 )n , |
n = 1,2,3,..., |
(4.14) |
|
у каждого из которых постоянная cn |
выбрана так, |
что выполняется |
|
равенство |
|
|
|
ò1 |
Qn (x)dx =1, |
n = 1,2,3,... |
(4.15) |
−1 |
|
|
|
Не вычисляя точного значения постоянной cn , оценим ее сверху. Для этого заметим, что n x [−1,1] справедливо неравенство
( |
2 |
) |
n |
|
|
2 |
. |
(4.16) |
1- x |
|
|
|
³ 1 |
- nx |
|
86
Применяя неравенство (4.16) и учитывая, что "n |
1 |
|
£1, получим |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
(1- x2 )n dx ³ |
|||||||||||||||
ò |
(1- x2 )n dx = 2ò(1- x2 )n dx ³ 2 ò |
||||||||||||||||||
−1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(1- nx2 )dx = |
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
³ 2 ò |
|
|
|
|
> |
|
|
. |
|
|
(4.17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
Из (4.14), (4.15) и |
(4.17) заключаем, |
|
|
что для |
|
всех номеров |
n = 1,2,3,... справедлива следующая оценка сверху для постоянной cn :
cn < |
n |
. |
(4.18) |
Из (4.18) и (4.14) вытекает, что δ > 0 x |
[ |
] |
справедливо не- |
||
|
δ,1 |
||||
равенство |
|
|
|
||
0 ≤ Qn (x) ≤ |
|
(1− δ2 )n . |
|
|
(4.19) |
n |
|
|
Из (4.19) следует, что при любом фиксированном δ > 0 последо-
вательность неотрицательных многочленов {Qn (x)} |
сходится к ну- |
|||
лю равномерно на сегменте δ ≤ x ≤1. |
|
|||
Положим для любого x |
[ |
|
] |
|
|
0,1 |
|
||
Pn (x) = ò1 |
f (x + t)Qn (t)dt , |
(4.20) |
||
|
−1 |
|
|
и убедимся в том, что для любого n = 1,2,3,... функция Pn (x) есть многочлен степени 2n , причем {Pn (x)} и является искомой после-
довательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте 0 ≤ x ≤1 к функции f (x).
Так как изучаемая функция f (x) равна нулю за пределами сег- мента [0,1], интеграл (4.20) можно записать в виде
Pn (x) = 1−òx f (x + t)Qn (t)dt .
− x
87
Заменяя в последнем интеграле переменную t |
на t − x, получим |
|
Pn (x) = ò1 |
f (t)Qn (t − x)dt . |
(4.21) |
0 |
|
|
Из (4.21) и (4.14) ясно, что функция Pn (x) представляет собой многочлен степени 2n .
Остается доказать, что последовательность {Pn (x)} сходится
к f |
( |
x |
) |
равномерно на |
[ |
0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Фиксируем произвольное ε > 0. |
|
Для фиксированного ε |
в силу |
||||||||||||||||||||
равномерной |
непрерывности |
|
f (x) |
|
на всей бесконечной |
прямой, |
||||||||||||||||||
найдется δ > 0 такое, что |
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x)- f ( y) |
|
< |
|
|
при |
|
x − y |
|
< δ . |
(4.22) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
[ |
] |
||||
|
Заметим еще, что так как |
|
f |
( |
x |
непрерывна на сегменте |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,1 , |
она и ограничена на этом сегменте, а стало быть, и всюду на беско- нечной прямой. Это означает, что существует постоянная A такая, что для всех x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
≤ A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Используя (4.15), |
(4.19), |
(4.22) |
и (4.23) |
|
и учитывая неотрица- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельность Q |
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ( |
x |
) |
− f |
( |
x |
) |
. x |
|
[ |
|
] |
|
|
|||||
|
|
, оценим разность P |
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
1 |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
)û |
n ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
x |
- f |
x |
= |
ò |
ë |
x + t |
- f |
x |
t |
dt |
£ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
é f |
|
|
|
ùQ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ò1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x + t) − f (x) |
|
Qn (t)dt ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−δ |
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1- d2 )n + |
ε |
|
|||
≤ 2A ò Qn (t)dt + |
|
ò Qn (t)dt + 2AòQn |
(t)dt ≤ 4A |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров n справедливо неравенство
4An (1- d2 )n < 2ε .
88