Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы теории рядов.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

951.2 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Глава 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

4.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Функциональным рядом (ФР) называют формально записанную

сумму

∞

åuk (x)

= u1 (x)+ u2 (x) + ...+ uk (x) + ...,

(3.7)

k=1

вкоторой все функции u1 (x),u2 (x),...,uk (x),... определены на неко-

тором множестве A, называемом областью определения этого ряда. Так же как и в теории числовых рядов, конечную сумму

Sn (x) = åuk (x) называют n-й частичной суммой ФР (3.7).

k =1

Как и в случае числовых рядов, каждому ФР согласно определе- нию соответствует ФП его частичных сумм {Sn (x)} . И наоборот,

каждой ФП {Sn (x)} соответствует ФР с членами

u1 (x) = S1 (x) , uk (x) = Sk (x) − Sk −1 (x) при k ³ 2 ,

для которого эта последовательность является последовательностью частичных сумм.

Поэтому любую теорему, доказанную для ФП, можно перефор- мулировать в соответствующую теорему для ФР, и наоборот.

∞

ФР åuk (x) называется сходящимся в точке x0 A, если

k=1

∞

сходится числовой ряд åuk (x0 ).

k =1

ФР называется сходящимся (или поточечно сходящимся) на множестве A, если он сходится в каждой точке этого множества.

Множество всех точек x0 , в которых сходится данный ФР, назы-

вается множеством сходимости (или множеством поточечной сходимости) ФР. На множестве сходимости ФР определены:

∞

сумма ряда S (x) = åuk (x)

k =1

∞

и n-й остаток ряда rn (x) = å uk (x).

k =n+1

n→∞ x A

4.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

ФР называется равномерно сходящимся на множестве A

( ) ( )→ ( )

к своей сумме S x , если Sn x →S x .

Лемма 4.2. ФР равномерно сходится на множестве A к своей сумме S ( x) тогда и только тогда, когда его остаток равномерно

на A сходится к нулю, т.е.

limsup S (x) − Sn (x) = limsup rn (x) = 0, n→∞ .

n→∞ x A

1. Критерий Коши равномерной сходимости ФР

∞

Теорема 4.1. Для того чтобы ФР åuk (x) равномерно на множе-

k=1

стве A сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, что-

бы

"e > 0 $n0 = n0 (e) "n ³ n0 (e) "p Î ¥ "x Î A		n+ p
"e > 0 $n0 = n0 (e) "n ³ n0 (e) "p Î ¥ "x Î A		å uk (x)			< e ,
или, что тоже самое,		k =n+1
или, что тоже самое,
"e > 0 $n0 = n0 (e) "n ³ n0 (e) "p Î¥ sup	n+ p		(x)
	n+ p
	å uk			< e .
x A	k =n+1

Утверждение теоремы получается, если критерий Коши для ФП, применить к последовательности частичных сумм ФР.

Теорема 4.2. Если ФР, все члены которого непрерывны на замкнутом множестве A, сходится равномерно на множестве int A, то он сходится равномерно и на самом множестве A.

Следствие. Если ФР, все члены которого непрерывны на замкнутом множестве A, сходится на множестве int A и расходится хотя бы в одной из граничных точек множества A, то ФР сходится на

Aнеравномерно.

За м е ч а н и е . Утверждения теорем 4.1, 4.2 получаются из теорем 3.2, 3.3, если применить последние к последовательности частичных сумм ряда.

П р и м е р 4.1. Исследуем на равномерную сходимость ряд

		∞		1
		åk=1		1			, x (0,1]			(3.8)
		åk=1		k2 x2 + k			, x (0,1]			(3.8)
Поскольку	1		:		1	при k → ∞ ,		ряд		(3.8) сходится
Поскольку	k2 x2	+ k	:		k2 x2	при k → ∞ ,		ряд		(3.8) сходится
	k2 x2	+ k			k2 x2
в силу признака сравнения.								[	]	и в точке x = 0
Все члены ряда (3.8) непрерывны на отрезке									0, 1	и в точке x = 0

данный ряд расходится, следовательно, согласно следствию из тео-

ремы 4.2, ряд сходится на

(

]

0,1 неравномерно.

П р и м е р 4.2. Исследуем на равномерную сходимость ряд

(3.9)

åarcctg(kx) , x (0,+∞).

∞

k=1

Ряд сходится на (0,+∞), так как

"x > 0

0 <

arcctg(kx)

æ 1

arctgç

è kx

Поскольку все члены ряда (3.9) непрерывны на

[0, +∞)

и ряд

åarcctg(0)

= å p

расходится, то

делаем вывод,

что на

луче

∞

k=1

(0,+∞) исходный ряд сходится неравномерно.

2. Необходимое условие равномерной сходимости ФР

∞

Теорема 4.3. Если ФР åuk (x) сходится равномерно на множе-

k=1

стве A, то un (x)→→0.

Из равномерной сходимости ряда и леммы 4.2 следует, что

limsup S (x) − Sn (x) = 0 .

n→∞ x A

Тогда, учитывая, что

un (x) = Sn (x) - Sn−1 (

получим limsup un (x) = 0,

n→∞ x A

x) £ Sn (x) - S (x) + S (x) - Sn−1 (x) , ,

а значит, un (x)→→0

З а м е ч а н и е .

Условие

un (x)→→0,

не является достаточным

даже для того, чтобы множество A входило во множество сходимо-

∞

сти ряда åuk (x)

. Например, ряд å

расходится в каждой точ-

x + k

k=1

(

)

k=1

ке интервала

0,1

и при этом

= lim

= 0.

lim sup

x + k

k→∞ x (0,1)

k→∞ k

3. Достаточные признаки равномерной сходимости

∞

Теорема 4.4 (признак Вейерштрасса). Если ФР åuk (x) опре-

делен на множестве A и

k=1

существует

сходящийся числовой ряд

∞

åck , называемый мажорантой ФР

åuk (x), такой, что

k =1

k=1

∞

n x A

un (x)

≤ cn ,

то ФР åuk (x)

сходится равномерно и абсолютно на множестве A.

k=1

Утверждение теоремы справедливо в силу критерия Коши:

ε > 0 n0 = n0 (ε) n > n0 (ε) p ¥ x A

n+ p

å uk

(x)

≤ å

uk (x)

å ck

= å ck < ε.

k =n+1

∞

Следствие 1.

Если к ряду åuk (x)

применим признак Вейер-

∞

k=1

uk (x)

штрасса, то ряд å

также будет равномерно сходящимся.

k =1

∞

Следствие 2..

Если ФР

åuk (x)

сходится абсолютно в точках

k =1

на [a,b], то ФР сходится абсо-

a и b, а функции uk (x) монотонны

лютно и равномерно на [a,b].

З а м е ч а н и е . При анализе сходимости ФР åuk (x) на множе-

k=1

стве A с помощью признака Вейерштрасса оптимальным – с наиболее точной оценкой – мажорирующим рядом является ряд

åsup uk (x) . Однако часто бывает достаточно более грубой,

k=1 xÎA

но легче получаемой оценки для uk (x) .

П р и м е р 4.3. Исследуем на сходимость ряд

∞

k2 (xk + x−k )

é1

x Î ê

,2ú .

k 1

ë2

k+1

Так как sup

(xk + x-k ) = 2k

+ 2-k < 2k+1 , ряд å 2

мажори-

k=1

xÎê

рует исходный ряд и по теореме Вейерштрасса из его сходимости

будет следовать равномерная сходимость данного ряда.

k+1

Числовой ряд å 2

сходится по признаку Даламбера:

k=1

2k+

2 (k +1)2

= lim

2(k

+1)2

= 0 <1,

lim

k®¥

(

)

2k+1 k

k®¥ k2 k +1

1 !

а значит, исходный ряд сходится равномерно.

Возможны случаи, когда ряд åuk (x) сходится равномерно, бу-

k=1

дучи условно (см. пример 4.5) или даже абсолютно сходящимся, но

ряд å uk (x) все же сходится неравномерно (см. примеры 4.7 и 4.1).

k =1

Подобные случаи заведомо не охватываются признаком Вейер- штрасса. Признаки, позволяющие исследовать такие ряды, будут рассмотрены ниже. Следующий пример показывает, что даже в слу- чае знакопостоянных рядов, признак Вейерштрасса не является не- обходимым.

П р и м е р

4.4.

Покажем,

что существует знакопостоянный ряд,

для которого нет мажорирующего сходящегося числового ряда.

Определим функцию uk (x)

следующим образом (рис. 2):

uk (x) = 0 на лучах

–

ç -¥,

,+¥÷

;

k +1û

ëk

– uk (x) =

в середине отрезка

;

– uk (x)

ëk

линейна и непрерывна на каждом из отрезков

é 1

1 æ

öù

é1 æ

1 ö

1 ù

÷ú

÷,

ú .

ëk +1

2 è k +1

øû

è k +1

k ø

k û

∞

(x)

Покажем, что ФР åuk

k=1

сходится равномерно на [0,1].

Действительно, если

un (x)

∞

rn (x) = å uk (x)

k =n+1

остаток этого ряда, то для лю-

бого

x Î

[

]

среди его членов

0,1

существует не более одного,

n +1

для которого

Рис. 2

uk (x) ¹ 0, k ³ n +1.

При этом очевидно

0 ≤ uk (x) ≤ 1

≤

поэтому

0 ≤ rn (x) ≤

(x) →

следовательно,

0 при n → ∞ , т.е. рассматриваемый ряд рав-

→

( )

0,1

[

]

номерно сходится на отрезке

0,1 .

∞

[

]

k (

)

Если

– такой числовой ряд, что "x Î

0 £ u

£ a

, то

k=1

0,1

∞

расходится.

1 = maxuk (x) ≤ ak , а значит, ряд åak

[0,1]

k=1

Таким образом, в рассмотренном случае числового ряда, удовле-

∞

творяющего по отношению к функциональному ряду åuk (x) усло-

k=1

виям признака Вейерштрасса, заведомо нет.

(−1)n

Признак Дирихле и признак Абеля

Признак Дирихле	Признак Абеля
Пусть функции un (x) , vn (x) ,	x A, удовлетворяют условиям:

1) ФП un (x)→→0, n → ∞ ;	1) ФП {un (x)}
A	равномерно ограничена на A;

2) x A числовая последовательность {un (x)} монотонна относительно параметра n;

3) ФП частичных сумм		∞
n
		3) ФР åvk (x)
{Vn (x)} , Vn (x) = åvk (x)
		k=1
k=1	A.	сходится равномерно на A.
равномерно ограничена на

∞

Тогда ряд åuk (x)vk (x) сходится равномерно на множестве A.

k =1

Доказательства приведенных выше признаков равномерной сходимости проводятся так же, как и доказательства соответствую- щих признаков сходимости числовых рядов.

З а м е ч а н и е 1 . Признаки Дирихле и Абеля, в отличие от при- знака Вейерштрасса, применимы и к условно сходящимся рядам.

З а м е ч а н и е 2 . В признаках Дирихле и Абеля характер моно- тонности при разных x может быть различным (см. пример 4.6).

П р и м е р 4.5. Исследуем на множестве [0, +∞) сходимость ряда

∞

å . (3.10) k=1 k + x

Ряд (3.10) сходится равномерно на [0, +∞) в силу признака

Дирихле, так как выполняются соответствующие условия:

1. Последовательность частичных сумм å(−1)k равномерно

k =1

ограничена на [0, +∞) числом 1.

2. x [0,∞) последовательность

убывает по k .

k + x

®® 0 , так как lim sup

= lim

= 0.

k + x [0,+∞)

k→∞ x [0,+∞)

k + x

k→∞

∞

(-1)

Ряд å

расходится x [0,∞), так как

при

k + x

k 1

∞

k → ∞ , а ряд å

расходится.

k 1

Таким образом, исходный ряд сходится на множестве [0, +∞) условно и равномерно.

П р и м е р 4.6. Исследуем на множестве

pù

ê-

ú сходимость ряда

4 û

(-1)

∞

sin ç

(3.11)

k + x

k 1

Ряд (3.11) сходится равномерно на

в силу признака

ê-

Абеля, так как выполняются соответствующие условия:

pù

(

)

∞

-1 k

1. Равномерная сходимость ряда å

на ê

ú доказана

k 1

k + x

в предыдущем примере.

pù

функция sin

монотонна по k

(при x > 0

2. "x Î ê-

4 û

º 0 ).

возрастает, при x < 0 убывает, а при x = 0 sinç

k ø

pù

<1.

3. "x Î ê-

sinç

4 û

	æ		x		ö
	sin ç				÷

				k
Ряд (3.11) сходится условно, так как	è			k	ø	:

		k + x
		k + x

kx при k ® ¥,

∞

а ряд å

расходится "x ¹ 0.

k=1

Таким образом, на отрезке

pù

ряд (3.11) сходится равно-

ê-

4 û

мерно, при этом на множестве

pù

сходимость услов-

ê-

, 0÷ Uç

ная, а в точке x = 0 абсолютная.

П р и м е р 4.7. Исследуем на множестве

0,1

сходимость ряда

(

]

∞

(

-1

åk=1

)

(3.12)

k2 x2 + k

Поскольку	u	k	(x)	=	1	:	1	при k ® ¥,

					k2 x2 + k		k2 x2

сходится абсолютно в силу признака сравнения.

Покажем теперь равномерную сходимость ряда Действительно,

ряд (3.12)

на (0,1].

последовательность

частичных сумм å(-1)k равномерно

ограничена на

(

]

k =1

0,1 числом 1;

(

]

последовательность

убывает по k ;

0,1

k2 x2 + k

= lim

®® 0 , так как lim sup

= 0.

k2 x2 + k

(

0,1

k→∞ x (0,1]

k→∞ k

]

Таким образом, в силу признака Дирихле ряд (3.12) сходится равномерно на (0,1].

4.3.СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ1

1.Основные свойства

∞

1. Если ФР åuk

k =1

∞

(x) = u(x) и åvk (x) = v (x) сходятся равномер-

k =1

но на множестве A, то α,β¡

равномерно на A к функции αu (x)

∞

ФР å(αuk (x) + βvk (x)) сходится

k=1

+βv (x) ;

∞

2. Если ФР å uk (x) сходится равномерно на множестве A, то и

k =1

∞

ряд åuk (x) сходится равномерно на A.

k =1

3. Если ФР сходится равномерно на множестве A, то сходимость будет равномерной на любом его подмножестве.

4. Если ФР сходится равномерно на каждом из множеств A1 и A2 , то на множестве A = A1 U A2 этот ФР сходится равномерно.

Для бесконечного объединения это утверждение неверно.

5. Числовой ряд можно рассматривать как ФР, каждый элемент которого есть константа на данном множестве. Сходимость такого ФР на любом множестве равномерна.

∞

6. Если ФР åuk (x) на множестве A сходится равномерно к

k =1

функци u (x) , а функция v (x) равномерно ограничена на A, то ряд

∞

å(uk (x)v (x)) сходится равномерно на A к функции u (x)v (x).

k =1

1 Все свойства и теоремы этой главы получаются из соответствующих свойств и теорем для функциональных последовательностей, если применить последние к последовательности частичных сумм ряда.

2. Предельный переход

Теорема 4.5. Пусть a – произвольная предельная точка множе-

∞

ства A. Если ФР åuk (x) сходится равномерно на множестве A

k=1

ксумме S ( x) и у всех членов этого ряда существует в точке a

конечное предельное значение, то сумма ряда S ( x) имеет в точке a предельное значение, причем

		∞	∞
lim S (x) = lim åuk (x) = ålimuk (x),
x→a	x→a	k =1	k =1	x→a
		k =1	k =1

т.е. символ lim предела и символ Σ суммирования можно перестав- лять местами (или, как говорят, к пределу можно переходить почленно).

3. Непрерывность суммы ряда

Сумма конечного числа непрерывных функций непрерывна. Для бесконечного количества слагаемых это утверждение не всегда вы- полняется.

	∞
П р и м е р 4.8. Рассмотрим ряд åxn−1 (1− x),				0 ≤ x ≤ 1.	При x =1
	n=1				при x <1,
все члены ряда, а с ними и сумма ряда обращаются в 0;					при x <1,
суммируя прогрессию, получаем	∞
∞	∞
åxn−1 (1− x) =	(1− x)åxn =1.
n=1	n=0	[		]
Хотя члены ряда непрерывны на сегменте			0,1 , но сумма ряда в

точке x =1 терпит разрыв! Отметим, что сходимость ряда здесь

неравномерна, так как остаток ряда rn (x), равный xn (для		x <1),
стремится к 0 неравномерно (см. пример 3.2).
	∞
Теорема 4.6. Если все члены ФР åuk (x) непрерывны на [a,b]
и ряд сходится равномерно на [a,b]	k=1
и ряд сходится равномерно на [a,b]	к своей сумме S ( x ) , то и эта
сумма будет непрерывна на [a,b] .
З а м е ч а н и е 1 . В теореме 4.6	вместо сегмента [a,b]	можно

взять интервал, полуинтегрвал, луч или всю вещественную прямую.

З а м е ч а н и е 2 . Теорема 4.6 может быть использована для доказательства неравномерности сходимости. Если рассматривается сходящийся ФР, члены которого непрерывны на множестве A, но сумма ряда является разрывной, то ФР сходится неравномерно на множестве A.

З а м е ч а н и е 3 . Требование равномерной сходимости в тексте теоремы не может быть опущено, доказательством этого может служить предыдущий пример. Однако равномерная сходимость

фигурирует в теореме лишь как достаточное условие непрерывности предельной функции.

	∞	ln k
П р и м е р 4.9. Покажем,	что ряд å	ln k	сходится неравномерно
П р и м е р 4.9. Покажем,	что ряд å	x	сходится неравномерно
	k =1	k
на множестве (1,+∞) и при этом сумма ряда S (x) непрерывна на
этом множестве.			∞
			∞
Ранее (см. пример	1.11) было	показано, что ряд å		ln k
Ранее (см. пример	1.11) было	показано, что ряд å		x
			k =1 k

сходится при x >1. Так как члены ряда суть непрерывные функции, то в силу следствия из теоремы 4.2 и с учетом расходимости ряда

∞		получаем, что исходный ряд сходится на (1,+∞)
åln k		получаем, что исходный ряд сходится на (1,+∞)
k =1	k

неравномерно. Таким образом, на основании теоремы 4.6 сделать


вывод о непрерывности суммы ряда нельзя.
Докажем непрерывность другим способом.							Обозначим через
S (x) сумму ряда. Функция S (x)			непрерывна на луче						x >1, если
она непрерывна в каждой точке x0			>1.				1+ x
		∞		ln k
Пусть x0 >1. Рассмотрим ряд å						, где q =	0	>1	. Этот чис-
				k	q		2
		k =1								[q, +∞).
ловой ряд сходится и мажорирует исходный ряд на луче
∞
Поэтому ряд å	ln k	, согласно признаку Вейерштрасса,								сходится
	x
k =1 k
равномерно на луче [q, +∞), и с учетом непрерывности членов ряда
получаем непрерывность функции S (x) на луче [q, +∞),									а значит, и

вточке x0 [q,+∞).

Всилу произвольности выбора точки x0 мы доказали, что S (x)

непрерывна в каждой точке x0 >1.

Теорема 4.7 (признак Дини для ФР). Если все члены ФР непрерывны и неотрицательны на сегменте [a,b] и сумма этого

ряда также непрерывна на [a,b] , то указанный ряд сходится к своей сумме равномерно на [a,b] .

Неотрицательность членов ряда обеспечивает монотонность последовательности частичных сумм. Далее, применяя признак Ди- ни для ФП (теорема 3.6), получим требуемое утверждение.

З а м е ч а н и е . Теорема 4.7 может быть использована для доказа- тельства разрывности суммы ФР: если рассматривается неравномерно сходящийся ФР, члены которого непрерывны и неотрицательны на замкнутом множестве A, то сумма ФР является разрывной.

∞

П р и м е р 4.10. Покажем, что ряд åk2 x2e−k 2x2 сходится на отрезке

k=1

[−1,1], причем к разрывной на этом отрезке функции.

Поскольку

	2	2
x R lim n n2 x2e−n2x2	= limnn xn e−nx2		= 0,
n→∞	n→∞

ряд сходится согласно признаку Коши и его сумма S (x) всюду определена на R. Так как

sup u	n (	x	)	³ u	æ 1	ö	= e−1	,
x 1,1	n (		)		n ç n	÷		,
[− ]					è	ø

на отрезке [−1,1] не выполнено необходимое условие равномерной

сходимости ряда. Следовательно, рассматриваемый ряд сходится неравномерно на [−1,1] и его сумма S (x) не обязана быть непре-

рывной на отрезке [−1,1].

Покажем разрывность S (x) на этом отрезке. Действительно, в

рассматриваемом ряде члены непрерывны и неотрицательны на от- резке [−1,1]; если бы функция S (x) была непрерывной на этом от-

резке, то согласно признаку Дини ряд сходился бы на [−1,1] равно-

∞

мерно. Но было показано, что ряд åk2 x2e−k 2x2 сходится неравно-

k=1

мерно на [−1,1], а значит, S (x) разрывна на [−1,1].

4. Почленное интегрирование

∞

Теорема 4.8. Если ФР åuk (x) сходится равномерно на [a,b] ,

k=1

каждая из функций

uk (x)

интегрируема

на

[a,b] ,

то

ряд

∞

(x)dx , где x0 [a,b] , сходится равномерно на [a,b] и

å òuk

k =1 x0

∞

∞ x

åuk

(t)dt = å òuk (t)dt ,

k=1

k =1 x0

∞

т.е. ряд åuk (x) можно интегрировать почленно.

k=1

∞

(-1)

П р и м е р 4.11. Найдем сумму å

(2k +1)

k=0

∞

Рассмотрим ряд å(-1)k x2k . Этот ряд сходится на интервале

(

)

k=0

[

]

−1,1 ,

а его сумма равна

На отрезке

−q, q

, 0 < q

< 1,

ряд

+ x2

сходится равномерно, а его члены – непрерывные функции. Инте- грируя этот ряд почленно от 0 до x, где x (−1,1), получим

∞

= ò

çæ å(-t2 )k

÷ödt = å(-1)k ò t2k dt ,

+ t

è k =0

k =0

∞

(-1)

2k+1

arctg x = å

k=0

2k +1

Таким образом,

(-1)

k æ

ö2k+1

∞

(

-1

∞

1 ö

p 3

)

3å

3 arctg

(2k +1)

k=0 3

k=0

3 ø

5. Почленное дифференцирование

Теорема 4.9. Если функции uk (x) имеют производные на [a,b] ,

∞			∞
ряд åuk (x) сходится хотя бы в одной точке x0 [a,b] , а ряд åuk¢ (x)
k=1			k=1
			∞
сходится равномерно на [a,b] , то ряд åuk (x) сходится равномерно
			k=1
на [a,b] , его сумма имеет производную на [a,b] , причем
æ	∞	ö¢	∞
ç	åuk (x)÷ = åuk¢ (x).
è k =1		ø	k =1

(т.е. ряд можно почленно дифференцировать).

∞	1
П р и м е р 4.12. Найдем сумму ряда å			.
	k	k
k =1	2

Рассмотрим ряд å∞ xk . Члены этого ряда являются непрерыв-

k=1 k

∞

ными функциями; ряд åxk−1 , составленный из производных членов

k=1

этого ряда, сходится равномерно на отрезке [−q, q], где 0 < q <1, а

его сумма равна 1- x , x (−1,1). Дифференцируя почленно ряд

∞

= f (x), получим

k =1

∞

f ¢(x)

= åxk−1 =

1- x

k =1

òx

f ¢(t)dt = f (x)- f (0) = òx

= -ln

1- x

= -ln (1- x).

∞

0 1- t

Следовательно, å

= -ln (1- x),

-1< x <1, а значит,

k =1

∞

= -ln ç1

= ln 2 .

k =1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.08.20191.19 Mб5Электроника_лекции.doc
#
03.11.2018216.34 Кб5электронный вариант.docx
#
06.05.20191.92 Mб26Электронный курс по MathCAD.doc
#
25.09.2019332.74 Кб10Электростатика.docx
#
27.03.2015444.93 Кб86Элементы солнечной батареи.doc
#
11.03.2016951.2 Кб26Элементы теории рядов.pdf
#
25.08.20199.21 Mб58ЭМ и ЭМ ПП в ЭЭС задачник.doc
#
01.09.20192.88 Mб14ЭМ и ЭМ ПП в ЭЭС. Все, что надо знать..doc
#
13.08.201989.09 Кб2Эмиль Дюркгейм на семинар.doc
#
27.03.20151.58 Mб14ЭнБ-91_1 .docx
#
27.03.2015570.73 Кб9ЭнБ-91_2 .docx