Кравченко. Практикум

По данным расчета построены временны´е зависимости (t) и i(t), представленные на рис. 27.9. и 27.10.

Решение

Рассматриваемая цепь имеет первый порядок, поэтому для расчета переходного процесса методом переменных состояния требуется лишь одно уравнение состояния цепи. В качестве переменной состояния цепи целесообразно рассматривать заряд q на обкладках нелинейного конденсатора. С учетом это-

го уравнение состояния цепи должно иметь следующий вид: q f (q,E) .

t

1. Для получения требуемого уравнения состояния цепи достаточно составить систему уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую переходный режим в рассматриваемой цепи:

Полученное уравнение является уравнением состояния рассматриваемой цепи

(рис. 27.11).

uC(0+) = uC(0 ).

Следовательно, начальное значение заряда на обкладках конденсатора,

соответствующее uC(0+) = 120 В (как следует из кулонвольтной характеристики, представленной в табл. 27.4):

q(0+) = 47 мкК.

Установившееся значение напряжения на конденсаторе uCóñò определя-

ется по уравнению состояния (2) при условии dqуст 0. В результате dt

uCóñò = 48 В. Найденное значение установившегося напряжения предопределя-

ет (в соответствии с кулонвольтной характеристикой, представленной в табл. 27.4) установившееся значение заряда

qуст = 33 мкК.

Таким образом, пределы изменения переменной состояния q и напряжения на конденсаторе uC:

3. Решение уравнения состояния (в качестве примера рассматривается метод численного интегрирования).

Согласно алгоритму Эйлера

335

где k – номер временнóго интервала; t – шаг интегрирования (может быть увеличен, если q изменяется медленно); tk – время, соответствующее началу

k-м интервале; uC(tk) – напряжение на емкости в начале временнóго интервала, соответствующее величине заряда q(tk) и определяемое по кулонвольтной характеристике (табл. 27.4).

Результаты расчета представлены в табл. 27.4.

Таблица 27.4

В процессе расчета шаг интегрирования t изменялся ввиду медленного увеличения q. Расчет прекращен при достижении uС = 49 В, отличающегося от

uCóñò 48 В на 2 %.

Зависимость uC(t) представлена на рис. 27.13.

336 27. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Задача 27.5

Решение

1. Составление уравнения состояния цепи (рис. 27.14).

В качестве переменной состояния целесообразно выбрать потокосцепление . Для режима после коммутации составим систему уравнений по законам Кирхгофа и решим ее относительно uL d dt :

i1 i2 iL,

E (i2 iL)r1 i2r2 iLr1 i2(r1 r2);

d 240iL 144 0; dt

Соотношение (1) является уравнением состояния цепи (рис. 27.14). 2. Определение области изменения переменной состояния .

Начальное значение потокосцепления определяется с помощью первого

(0 ) 10 мВб.

Установившееся значение потокосцепления находится из уравнения состояния при условии d dt 0 (также может быть найдено из расчета цепи в

установившемся послекоммутационном режиме).

Таким образом, в переходном процессе:

iL 0,1; 0,6 А и 10; 20 мВб.

3. Решение уравнения состояния (в качестве примера рассматриваются два метода: метод численного интегрирования и метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента):

а) метод численного интегрирования уравнения состояния в соответствии с алгоритмом Эйлера:

(tk t) = (tk )+ t 144 240iL tk = (tk ) (tk ),

где k – номер интервала; t – шаг интегрирования (он может быть увеличен, если будет изменяться медленно); tk – время, соответствующее началу k-го интервала; (tk ) t 144 240iL(tk ) – приращение переменной состояния;

iL(tk ) – ток в индуктивности, соответствующий величине (tk ) и определяе-

мый по характеристике нелинейной индуктивности (табл. 27.5). Результаты расчета сведены в табл. 27.6.

Таблица 27.6

элемента может быть аппроксимирована ломаной

сдвумя линейными участками (рис. 27.16):

1)участок 1–2:

10; 16,5 мВб;

iL 0,1; 0,3 А;

2) участок 2–3:

16,5; 20 мВб;

iL 0,3; 0,6 А.

339

Составим описание аппроксимированной характеристики iL( ) на каж-

дом из участков, используя уравнение прямой, проходящей через две точки.

Участок 1–2 t 0,t1 :

Расчет переходного режима в интервале (0 t t1).

Подставив уравнение (3) в уравнение состояния (1) для участка характеристики 1–2 , получим

d 7385 194 0. dt

При d dt 0 установившееся значения потокосцепления

уст 0,0263 Вб.

Характеристическое уравнение имеет вид p 7,385 103 0.

Корень характеристического уравнения p 7,385 103 (с–1).

Общее решение для искомого потокосцепления:

(t) 0,0263 Ae1 7,385103t .

(0) 0,01 0,0263 A1,

следовательно, A1 0,0163 Вб, и полное решение для потокосцепления в рассматриваемом временном интервале будет следующим:

Момент времени t1 перехода рабочей точки с участка 1–2 на участок 2–3 определяется из (6) с учетом того, что при t t1

1 0,0165 Вб, i1 0,3(точка 2): 0,3 0,6 0,5e 7,385103t1 ,

Решение уравнения (7) проводится аналогично расчету, проводимому на первом интервале:

3

уст A2e 20,510 (t t1);

341

В силу непрерывности потокосцепления начальным условием для второго интервала является конечное значение на первом интервале, т.е.

Таким образом, искомое решение рассматриваемой задачи имеет следующий вид:

График зависимости iL(t) представлен на рис. 27.17.

i**L (t)

i*L(t)

10 5c

Рис. 27.17