Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5507 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Кравченко. Практикум

.pdf
Скачиваний:
88
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
4 Мб
Скачать
☆

29224. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК

Для линейного участка а0 (t3 t t4) справедливы те же решения (4) и (5), что и для участка 0а:

i(t) = 270 sin t – 70 (мА); ur(t) = ri(t) = 54 sin t – 14 (В);

 

 

 

uв(t) = 108 sin t – 28 (В).

В точке 0 (перехода рабочей точки с участка a0 на участок 0с), соответст-

вующей моменту времени t4, uв = 0 В, или

 

 

 

 

uв(t4) = 108 sin t4 – 28 = 0 (В).

Откуда с учетом того, что рассматриваемое время находится в пределах

второй четверти периода,

 

 

 

 

 

t4

1

28

 

1

 

 

T

arcsin

108

 

arcsin(0,259)

8,35 10 4 с.

 

 

 

 

314

 

 

2

Для участка 0с (t4

t

Т) справедливы те же соотношения, что и для

участка с0:

 

 

 

 

 

 

 

 

i(t) = 0;

ur(t) = ri(t) = 0;

uв(t) = 115

2 sin t – 42 В.

3. Зависимости ur(t) и uв(t) представлены на рис. 24.8.

 

ur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т/4

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Т/2

3Т/4

 

T

uв(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Т/2

 

 

t

 

Т/4

 

 

3Т/4

 

T

 

t1

 

 

 

 

t2

t3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 24.8

 

 

293

Задача 24.4

Ток источника в цепи (рис. 24.9)

i(t) = Im sin t,

где Im = 5 А; = 314 с–1; вебер-амперная характеристи-

ка (i) нелинейной индуктивности аппроксимирована степенным полиномом

(i) = ai + bi3,

где а = 6 10–2, b = –6 10–4;

[ ] = Вб; [i] = A.

 

C

(i)

 

 

i(t)

uC

uL

 

u(t)

 

 

Рис. 24.9

Определить значение емкости линейного конденсатора, при которой действующее значение напряжения u(t) минимально. Определить u(t) в этом режиме.

Решение

1. Рассматриваемая цепь (рис. 24.9) описывается уравнением на основании второго закона Кирхгофа:

 

 

 

 

 

u(t) = uL(t) + uC(t),

 

 

(1)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uL(t) = d dt ;

 

 

(2)

 

 

 

 

 

u (t) =

1

 

i(t)dt .

 

 

(3)

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Временнáя зависимость потокосцепления нелинейной индуктивности с

учетом аппроксимирующего выражения вебер-амперной характеристики:

 

(t) = ai(t) + bi(t)3

= aIm sin t + bIm3 (sinωt)3= aIm sin t +

 

3

3

 

1

 

 

 

3

3

1 3

 

+ bIm

 

sinωt

 

sin3 t

= aIm

 

 

bIm sinωt

 

bIm sin3ωt .

(4)

4

4

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

29424. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК

3.Напряжение на зажимах нелинейной индуктивности, как следует из уравнения (2) c учетом (4):

 

d

 

3

3

3ω 3

(1)

(3)

uL(t)

 

ω aIm

 

bIm cosωt

 

bIm cos3ωt =uL

uL .

dt

4

4

 

 

 

 

 

 

4. Напряжение на линейном конденсаторе

uC(t) =

1

i(t)dt

1

Im sinωtdt

1

Im cosωt = uC(1) .

C

C

 

 

 

 

ωC

5. Напряжение на зажимах источника тока (см. уравнение (1))

u(t) = uL(t) + uC(t) = uL(1) uL(3) uC(1) =

 

 

 

3

 

 

3

 

3ω

3

 

 

1

 

=ω aIm

 

bIm cosωt

 

 

bIm cos3ωt

 

 

Im cosωt =

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

ωC

 

 

 

3

3

1

 

 

 

3ω

3

 

=

 

ωaIm

 

ωbIm

 

 

Im cosωt

 

 

bIm cos3ωt =

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

ωC

 

 

 

 

 

= u(t)(1) u(t)(3) .

(5)

(6)

(7)

Из уравнения (7) следует, что напряжение на зажимах источника тока бу-

дет минимальным при u(t)(1) = 0 (что соответствует резонансу напряжений на первой гармонике), т. е. при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωaIm

 

 

ωbIm

 

 

 

 

Im

0.

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

4

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из условия (8) вытекает, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

208 мкФ.

 

2

 

3

2

2

 

2

 

 

 

2

 

3

 

 

2

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

a

 

ω

bIm

314

 

6 10

 

 

 

 

314

 

6 10

 

5

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

295

С учетом резонанса на первой гармонике напряжение на зажимах источника тока определится следующим выражением:

(3)

 

3ω

3

3 314

 

4

3

 

u(t) = uL

=

 

bIm cos3ωt

 

6 10

 

5

cos3ωt

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

= 17,65cos3ωt В.

Ответ: С = 208 мкФ; u(t) = –17,65 cos t В.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 24.5

В цепи (рис. 24.10): е(t) = Em sin t, где Em = 2000 В; = 105 с–1. Сопро-

тивление r = 1000 Ом.

Кулонвольтная характеристика нелинейного конденсатора представлена на рис. 24.11, где q0 = 10–5 Кл.

Рассчитать и построить q(t), uc(t), i(t).

 

 

q

 

q(uC )

q0

i

r

 

 

uC

uC

e(t)

0

 

 

q0

Рис. 24.10

Рис. 24.11

Ответ:

В интервале времени (0 t T/4)

uC = 0, i(t) = 2 sin t (A), q(t) = – 2 10–5cos t + 10–5 (Кл).

В интервале времени (T/4 t T/2)

uC = 2000 sin t, i(t) = 0, q(t) = 10–5 (Кл).

296 24. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК

Задача 24.6

 

 

 

 

Синусоидальная ЭДС е(t) =100 sin t (B) подклю-

i

 

 

 

 

 

чена к нелинейному резистивному сопротивлению

e(t)

 

 

 

НЭ (рис. 24.12), вольт-амперная характеристика которого

 

 

 

 

аппроксимирована уравнением

 

 

 

 

i = 0,3u + 0,04u2,

Рис. 24.12

 

в котором [u] = B, [i] = A.

Рассчитать и построить i(t).

Ответ: i(t) = 200 + 30 sin t – 200 cos 2 t (A).

25. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАМЕНЫ РЕАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УСЛОВНО-НЕЛИНЕЙНЫМИ

(метод эквивалентных синусоид)

Основные сведения

В основе данного метода лежит представление безынерционных нелинейных элементов инерционными (условно-нелинейными). Особенностью условно-нелинейных элементов является то обстоятельство, что нелинейная зависимость существует только между действующими значениями величин, характеризующих НЭ, а между мгновенными значениями имеет место линейная зависимость. Представление нелинейных элементов условно-нелинейными имеет смысл лишь в том случае, когда высшие гармоники не играют существенной роли, а основную функцию выполняет нелинейная зависимость между действующими значениями величин, определяющих работу НЭ.

Представление нелинейных элементов условно-нелинейными приводит к тому, что несинусоидальные напряжения и токи заменяются эквивалентными синусоидальными величинами (при сохранении реальных действующих значений). В результате появляется возможность условно-нелинейные цепи рассчитывать символически, или с помощью векторных диаграмм. При этом алгоритм расчета условно-нелинейных цепей ничем не отличается от расчета электрических нелинейных цепей постоянного тока.

Метод эквивалентных синусоид широко используется при анализе электрических цепей, содержащих нелинейные индуктивности (катушки с ферромагнитными сердечниками).

 

 

 

 

Нелинейная индуктивность

 

 

 

 

SM

 

rм – сопротивление обмотки,

 

 

 

 

Ls

– индуктивность рассеяния катушки,

 

 

 

 

 

 

 

 

ср

Уравнение для мгновенных значений:

 

 

I

 

 

u

 

ir L di W d .

uвх

W

eL

Фs

Ф

 

вх

м

s dt

dt

 

 

 

 

Уравнение для эквивалентных синусоид в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексной форме:

 

 

 

 

 

 

 

Uвх Irм jWLs I j W

298

25. РАСЧЕТ НЭ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СИНУСОИД

Амплитуда магнитной индукции в стали

 

U0 UL j4,44 fW m ,

Bm m S

Потери в нелинейной индуктивности

 

 

P0 P1,050

f

50 1,3

Bm2 ,

Pст P0Gст ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P I2r ,

P P P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

м

 

 

 

 

м

 

ст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hnm nср

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

р

I

ф

n

 

 

 

 

, H

m

f (B ) , k

a

2

Ток в нелинейной индуктивности

 

 

 

 

Wka

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

a

I

п

P

U

L

, I I

a

I

р

Iej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схемное изобра-

Схема замещения катушки

 

 

 

 

 

Векторная диаграмма

жение катушки

 

 

 

 

 

 

 

со сталью

 

 

 

 

 

 

 

для эквивалентных синусоид

со сталью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

rм

xs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I jxs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Irм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gп

 

bф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

U

 

 

 

 

 

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iп

 

Iф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

Iп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

Р

Iф

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Iф

 

Ф

 

 

ст

, bф U0

U02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gп U0

U0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиографический список к разделу 25

 

 

 

 

 

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 25.8–25.13.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 15.4–15.7, 15.22, 15.48, 15.49, 15.56–15.60, 15.64–15.66.

ПРИМЕРЫ

Задача 25.1

Напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником U = 175 В; частота источника напряжения f = 50 Гц; число витков катушки W = 600 В; резистивное сопротивление обмотки rм = 6 Ом; реактивное сопротивление рассеяния xs = 6,8 Ом. Сердечник набран из стали 1311, магнитные свойства которой приведены в первых четырех столбцах табл. 25.1. Сечение

299

шихтованного стального сердечника S = 9 см2; коэффициент заполнения стали kст = 0,95. Средняя длина магнитного пути в сердечнике l = 50 см.

Полагая нелинейную индуктивность условно-нелинейным элементом, определить действующее значение тока в обмотке, а также параметры gп и bф схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. 25.1).

Таблица 25.1

Bm

Hm

P0

 

U0

Iп

Iфm

I

Uвх расч

Тл

А/м

Вт/кг

о.е.

В

А

А

А

В

1,3

1000

4

1,15

147,5

0,0907

0,515

0,523

151,6

1,45

2000

5

1,3

165

0,101

0,91

0,916

172

1,5

3000

6,1

1,5

170,5

0,12

1,18

1,19

179

1,475

2500

5,55

1,4

168

0,115

1,025

1,03

175

Решение

Решение задачи осуществляется методом последовательного приближения

всочетании с построением зависимости U0 = f(Uвх расч).

1.Произвольно выбирается значение первого приближения U0 Uвх.

2.Из соотношения

U0 = 4,44fWBmSст,

где поперечное сечение стали магнитопровода

Sст = kстS = 0,95 9 10–4 = 8,55 10–4 м2,

определяется первое приближение амплитуды магнитной индукции Bm в сердечнике магнитопровода:

 

U0

 

 

U0

4,44fWSст

 

 

Bm

 

113,88

I

 

 

 

 

rм

xS

 

Iп

Iф

 

 

 

Uвх

U0

g

п

bф

 

 

Рис. 25.1

Тл.

3. По таблице для найденного значения амплитуды магнитной индукции

Bm определяются соответствующие значения удельных потерь в стали P0 ,

амплитуды магнитной напряженности Hm и поправочный коэффициент

для оценки реального коэффициента амплитуды 2ξ .

4.Определение тока потерь первого приближения:

Iп Pст U0 PG0 стU0 P0 3,34 U0 (А),

300

25. РАСЧЕТ НЭ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СИНУСОИД

где Gcт – вес стали в магнитопроводе:

Gcт = FeV = FeSст ср = 7,8 103 8,55 10–4 50 10–2 = 3,34 кг.

5. Определение тока намагничивания первого приближения: на основании закона полного тока IфmW = Hm ср, откуда действующее значение тока намаг-

ничивания первого приближения

 

 

 

 

 

 

 

H

50 10

2

H

 

 

 

 

 

Iфm

 

Hm ср

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

m

 

 

Iф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,9 10

 

А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

 

 

2ξ

W 2ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

600 2ξ

 

 

 

6.Комплекс действующего значения тока катушки первого приближения

впредположении, что U0 = U0 0 :

I

 

I

 

п I

 

I

 

п 0 I

 

ф 90 I

 

 

А.

 

 

ф

 

 

п

jIф

7. Действующее значение входного напряжения первого приближения:

U вхрасч U 0 I (rм jxs) Uвх .

8.Найденное значение входного напряжения первого приближения сравнивается с заданным значением входного напряжения и при несовпадении результатов расчет повторяется до тех пор, пока действующее значение входного напряжения очередного приближения не совпадет (с той или иной погрешностью) с заданным входным напряжением.

9.Для ускорения расчета и уменьшения объема вычисления процесс схо-

димости заменяется построением зависимости

U0 = f(Uвх расч). Порядок по-

строения этой зависимости представлен в табл. 25.1.

Характеристика U0 = f(Uвх расч) приведена на рис. 25.2.

U0, B

 

 

 

 

 

180

 

 

 

 

 

168

 

 

 

 

 

160

 

 

 

)

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

ас

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

(U

в

 

 

 

 

 

 

 

 

U

0

 

 

 

 

 

 

 

140

 

 

 

 

Uвх расч, B

 

 

 

 

175

 

 

 

 

 

120

140

 

160

180

 

 

Рис. 25.2

 

 

 

 

301

По заданной величине входного напряжения

 

 

 

Uвх = 175 В

 

на зависимости U0 = f(Uвхрасч) отыскивается реальная величина напряжения

U0 = 168 В, и вслед за этим по алгоритму, изложенному в пп. 1 – 6 (четвертая

строка в таблице), отыскивается реальная величина действующего значения

тока катушки I = 1,03 A.

 

 

 

Зная активную Iп и реактивную Iф составляющие тока в катушке (см.

табл. 25.1), легко определить параметры эквивалентной схемы замещения:

gп

Iп

0,1145 0,682 10 3 См,

 

 

U0

168

 

b

Iф

1,0248 0,61 10 2 См.

 

ф

U0

168

 

Ответ: I = 1,03 A; gп = 0,682 10–3 См; bф = 0,61 10–2 См.

Задача 25.2

 

 

 

Сердечник электромагнита (рис. 25.3) выполнен из стали 1311 (кривая на-

магничивания, удельные потери в стали и поправочный коэффициент приве-

дены в табл. 25.1 к задаче 25.1). Геометрические размеры сердечника указаны

в миллиметрах. Коэффициент заполнения стали kст = 0,886. Число витков об-

мотки W = 380. Действующее значение входного

 

напряжения промышленной частоты (f = 50 Гц)

 

U = 220 B.

 

Пренебрегая резистивным сопротивлением об-

 

мотки (rм = 0) и реактивным сопротивлением рас-

 

сеяния (xs = 0), а также полагая электромагнит ус-

 

ловно-нелинейным элементом, определить ток I в

Рис. 25.3

обмотке.

 

 

Решение

 

 

 

С учетом принятых допущений (rм = 0, xs = 0) схема замещения электро-

магнита имеет вид, представленный на рис. 25.4.

 

Искомый ток может быть найден по соотношению I

Iп2 Iф2 .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности