Кравченко. Практикум

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 26.5

Вдоль линии с волновым сопротивлением zc1 = 500 Ом распространяется

волна uпад1(t)= U0(1 – e–αt); U0 = 500 кВ; α = 25·103 Нп/с. Линия через индуктивность L = 5 мГн (последовательное включение) соединена со второй лини-

ей, волновое сопротивление которой zc2 = 300 Ом.

Определить напряжение преломленной uпад2 и отраженной uотр1 волн.

Ответ: uпад2(t) = 375 444е–25000t + 69e–160000t кВ;

uотр1(t) = –125 + 240е–25000t 115e–160000t кВ.

Задача 26.6

К воздушной линии длиной l = 30 км с неразветвленной активноемкостной нагрузкой (r = 100 Ом, С = 0,25 мкФ) подключается генератор по-

стоянного напряжения U0 = 35 кВ. Волновое сопротивление линии zc = 400 Ом. Определить напряжение на сопротивлении r в момент времени, когда вол-

на, отразившись от конца линии, дойдет до ее середины.

Ответ: ur = 9,38 кВ.

27.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ВНЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Основные сведения

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, не имеющими общего аналитического решения. Поэтому для их решения применяют приближенные аналитические и графоаналитические методы, такие как метод графического интегрирования, метод последовательных интервалов, метод кусочнолинейной аппроксимации, метод переменных состояния, метод дискретных резистивных схем и т. д.

через площадь, ограниченную этой кривой и осью координат искомой переменной.

Метод кусочно-линейной аппроксимации

i

0

Метод последовательных интервалов

Нелинейное дифференциальное уравнение d f ( ) , где – искомая переходная dt

функция, представляется в конечно-разностной форме

k 1 k fk ( k )t t

при допущении, что производная определяет функцию в начале временно´го интервала. По значению искомой функции в начале произвольно выбранного временного интервала t с помощью уравнения

k 1 k t fk ( k )

отыскивается значение переходной величины в конце рассматриваемого интервала, являющееся начальным для последующего временного интервала. Расчет ведется шаг за шагом до получения с заданной погрешностью установившегося значения переходной функции. Точность расчета определяется величиной выбранного временного интервала t

Метод переменных состояния

Состоит в решении тем или иным методом (главным образом численным) системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, в левой части которых представлены производные функций, не допускающих скачкообразных изменений (так называемых переменных состояния iL èëè ,uC èëè q ), характеризующих энергетический режим цепи. Число урав-

нений состояния цепи определяется числом элементов, независимо накапливающих энергию. Каждое из уравнений состояния представляется в конечно-разностной форме при допущении, что производная определяет функцию в начале временного интервала t . Система ко- нечно-разностных уравнений решается многократно. При этом каждый раз при анализе очередного временно´го интервала t определяются значения искомых функций в конце рассматриваемого интервала по их значениям в начале интервала. Найденные значения искомых функций рассматриваются как начальные при анализе последующего интервала. Расчет ведется шаг за шагом до получения с заданной погрешностью установившегося значения переходной функции

Библиографический список к разделу 27

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 15.5–15.7.

2.Анализ переходных процессов в нелинейных цепях методом переменных состояния / Л.И. Малинин, Н.А. Юрьева. – Новосибирск, 1989.

3.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 16.2–16.5.

ции 1 (i) mf (i) .

(В качестве примера на рис. 27.3 показан подсчет площади S, соответствующей времени переходного режима, по истечении которого ток дости-

гает значения 0,6 А.) График изменения искомого тока i(t) представлен на рис. 27.4.

327

Задача 27.2

Методом кусочно-линейной аппроксимации определить переходный ток i(t) в схеме, представленной на рис. 27.5: Е = 12,1 В; r = 7,5 Ом; L = 0,5 Гн. Вольт-амперная характеристика диода приведена на рис. 27.6.

Решение

Переходный режим в рассматриваемой цепи описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

Для решения уравнения (1) реальная нелинейная характеристика диода аппроксимируется ломаной линией (рис. 27.6), состоящей из двух линейных участков 0–1 и 1–2. Уравнения для линейных участков:

Для каждого из линейных участков аппроксимированной характеристики нелинейное дифференциальное уравнение (1) вырождается в линейное, решение которого можно найти, например, классическим методом.

1. Для участка 0–1 аппроксимированной характеристики дифференциальное уравнение (1) с учетом (2) принимает следующий вид:

Ldi* i*(12,5 r) E , dt

или

Уравнение (4) описывает переходный режим в интервале времени (0 t t1), где t1 соответствует моменту времени, когда переходный ток достигает значе-

ния I1 = 0,2 A.

Решение уравнения (4):

329

Характеристическое уравнение 0,5р* + 20 = 0 имеет решениер* = 40 с–1.

Постоянная интегрирования А* определяется с учетом закона коммута-

ции i*(0 ) i*(0 ) 0. В результате

A* iпр* –0,605 А.

Таким образом, переходный ток в интервале времени (0 t t1) определяется соотношением

Момент времени t1, к которому ток i*(t) должен достичь значения I1 = 0,2 A, может быть определен из выражения (5):

i*(t1) 0,605(1 е 40t1) 0,2А,

откуда t1 = 0,01 с.

2. Для участка 1–2 аппроксимированной характеристики (рис. 27.6) дифференциальное уравнение (1) с учетом (3) принимает следующий вид:

Ldi** i**(2,5 r) E 2,5 0,5 dt

или

Уравнение (6) описывает переходный режим в интервале времени (t1 t ). Решение уравнения (6):

Характеристическое уравнение 0,5р** + 10 = 0 имеет корень р** = 20 с–1.

331

Уравнение (1) может быть приведено к виду

При допущении, что производная функции определяет ее значение в начале каждого из временны´х интервалов t , уравнение (2) может быть представлено в конечно-разностной форме:

где k 1 значение функции в конце рассматриваемого временнóго интервала;

k и ik – значения функций в начале рассматриваемого временнóго интервала. Уравнение (4) решается в следующем порядке:

задаются достаточно малым приращением t (чем меньше t, тем точ-

нее расчет);

в начале первого интервала (k = 0), как следует из первого закона коммутации и вебер-амперной характеристики, i0 = 0, 0 = 0;

значение потокосцепления в конце первого интервала (k = 0) определяется соотношением (4):

1 0 (E ri0) t E t .

По характеристике (i) определяется значение тока i1, соответствующее найденному значению потокосцепления 1;

значения 1 и i1, являющиеся начальными значениями функций на втором временнóм интервале (k = 1), позволяют определить с помощью уравнения

(4) значение потокосцепления в конце этого интервала:

2 1 (E ri1) t

ивслед за этим по характеристике (i) найти ток i2 в конце рассматриваемого интервала;

далее расчет повторяется до тех пор, пока потокосцепление и ток в конце очередного временнóго интервала не совпадут с требуемой точностью со значениями этих функций в начале рассматриваемого интервала (фактически расчет заканчивается тогда, когда очередное найденное значение тока