Лекция дискрет 05

§ 1.4. Мощность множества

Мощность (кардинальное число) множества - некоторое инвариантное свойство, которым характеризуется множество, если отвлечься (абстрагироваться) от природы элементов множества, то есть признаков, по которым они включены в множество, а также от порядка расположения элементов в множестве.

1) Понятие мощности множества

Множество М1 называется равномощным множеству М2 (обозначается М1 ≈ М2), если можно установить некоторое взаимно однозначное отношение между М1 и М2

ровно в один класс и классы не пересекаются (§ 1.3)

Мощностью (или кардинальным числом) множества М называется класс множеств, равномощных М

Обозначение мощности множества М: card M или │М│

2) Конечные множества

Множество М называется конечным, если оно равномощно множеству Nk = {1, 2, …, k} натуральных чисел, не превосходящих некоторого натурального числа k. Множество, не являющееся конечным – бесконечное.

Пустое множество - конечное (по определению)

Th.1.4.2 Конечное множество М не может быть равномощно никакому своему собственному подмножеству М1 (собственное подмножество: M1 M, M1 ≠ M)

Th.1.4.3 Конечное множество М1 не может быть равномощно никакому множеству М2 такому, что М1 М2

Th.1.4.4 Непустое конечное множество М равномощно единственному множеству Nk = {1, 2, …, k}

Числом элементов конечного непустого множества М называется натуральное число k такое, что М ≈ Nk. Число элементов пустого множества - нуль – по определению.

Понятие числа элементов конечного множества - корректное

Мощность конечного множества характеризуется числом элементов в нём: │{ m1, m2, … , mn }│= n, │ │= 0

Из § 1.1:

Декартово (прямое) произведение непустых множеств M1, M2,…,Mn – множество, состоящее из всех (если хотя

бы одно Mi – бесконечное, то любых) n-элементных

кортежей (упорядоченных наборов), первый элемент которых принадлежит множеству М1, второй – множеству М2, …, n-ый – множеству Mn.,

M1 M2 … Mn = {(m1,m2,…,mn): m1 M1, m2 M2 ,…, mn Mn}

Если хотя бы одно Mi = Ø, то по определению

M1 M2 … Mn = Ø

Th.1.4.5 Пусть M1, M2,…,Mn – конечные множества и │Mi│ = ri (i=1…n). Тогда мощность декартова произведения множеств M1 M2 … Mn равна произведению мощностей множеств Мi (i=1…n), т.е.

│M1 M2 … Mn│= r1 r2 … rn

Доказательство Th.1.4.5

Математическая индукция по числу множеств - n

n=1 │M1│ = r1

Пусть верно для n=k, т.е.

│M1 M2 … Mk│= r1 r2 … rk

M1 M2 … Mk – множество всех k-элементных кортежей

(mi1,mi2,…,mik), где mijMj (j=1…k)

Пример: Вечеринка в колледже с танцами

Участники:

Студенты: B = { b1, b2, b3, b4, b5 } Студентки: G = { g1, g2, g3, g4, g5, g6 }

Мелодии (всего-то!): D = { d1, d2, d3 }

Но сочетаний (Студент, Студентка, Танец):

│Programme│= │B G D│ =

= 5 6 3 = 90

Пример: Антропометрическая идентификация по лицу (фоторобот)

Признаки:

1 - высота лба

2 - ширина лба

3 - линия положения брови

4-линия положения глазной щели

5- зрачковая линия

6- протяженность глазной щели

7- ширина спинки носа

…………………….