Лекция дискрет 05
.pdf
Пример: Комплексный обед
В меню:
Салаты |
1 блюдо |
2 блюдо |
гарнир |
напиток |
6 |
4 |
7 |
3 |
4 |
Комплексный обед – 5-элементный кортеж выбранных значений по всем пяти признакам. Возможные варианты обедов – декартово произведение пяти множеств
6 4 7 3 4 = 2016
Мощность множества возможных вариантов комплексного обеда
Продолжение: Девушки выбирают обед В меню по-прежнему:
Салат |
1 блюдо |
2 блюдо |
|
6 |
4 |
7 |
|
Гарнир |
|
Напиток |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Алла |
Я проголодалась, мне нужен полный обед |
||
Бэлла |
А я на диете. Съем какой-нибудь салатик с |
||
|
апельсиновым соком … |
||
Валя |
Я после тренировки, есть хочу. Тоже возьму |
||
|
полный обед, а салатов – даже два |
||
Галя |
До стипендии далеко… Ограничусь супом и |
||
|
двойным гарниром с чаем |
||
Сколько вариантов обеда у каждой девушки?
В меню:
Салат |
1 блюдо |
2 блюдо |
|
||
6 |
|
4 |
7 |
|
|
|
Гарнир |
|
Напиток |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Алла |
|
Мне нужен полный обед |
6 4 7 3 4 = 2016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Бэлла |
|
Съем какой-нибудь салатик |
6 |
|
|
|
|
с апельсиновым соком … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Валя |
|
Тоже возьму полный обед, а |
6 6 4 7 3 4 = |
|
|
|
|
салатов – даже два |
= 12096 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Галя |
|
Ограничусь супом и |
4 3 = 12 |
|
|
|
|
двойным гарниром с чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: Уравнения
f (x) = x2 + x – 6 |
g (y) = y3 – 3y2 – 6y + 8 |
R1 = { - 3, 2 } – множество |
R2 = { - 2, 1, 4 } – множество |
корней уравнения f (x) = 0 |
корней уравнения g (y) = 0 |
h (x, y) = f (x) + g (y) = y3 + x2 – 3y2 + x – 6y + 2
R3 = R1 R2 = { - 3, 2 } { - 2, 1, 4 } = ={ (-3,- 2), (-3,1), (-3,4), (2,-2), (2,1), (2,4) }
– множество корней уравнения h (x, y) = 0
│R3│ = │R1│ │R2│= 2 3 = 6
Шахматная доска =
= { a, b, c, d, e, f, g, h }{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
│ Шахматная доска │ = 8 8 = 64
Чёрные поля =
= { a, c, e, g } { 1, 3, 5, 7 } { b, d, f, h } { 2, 4, 6, 8 }
Очевидно,
{ a, c, e, g } { 1, 3, 5, 7 } { b, d, f, h } { 2, 4, 6, 8 } =
Поэтому │ Чёрные поля │ = 4 4 + 4 4 = 32
Пример: Игра в карты
Масть = { , , , }
Номинал = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A }
Колода = Масть Номинал
│ Колода │ = │ Масть │ │ Номинал │ = 4 13 = 52
Пример: B (М) - булеан конечного множества М
a) Произвольному подмножеству |
|
|
Булеан множества B (М) – |
|||
|
|
|||||
множества М = { m1, m2, ... , mn |
} |
|
|
|||
|
|
множество всех его |
||||
поставим в соответствие |
|
|
|
|||
|
|
|
подмножеств |
|||
последовательность единиц и |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
нулей длины n, т.е. двоичное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
число, по следующему правилу: |
|
|
|
|
||
m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 ......... mn-1 mn |
||||||
0 |
1 0 1 1 0 |
|
1 1 ......... 0 1 |
|
||
b) Доказываем взаимную однозначность построенного |
||||||
соответствия |
f: B (M) Bn |
|
|
|
|
|
с) Множество двоичных векторов Bn – декартова степень
{ 0, 1 }n, поэтому согласно утверждению Th.1.4.5 его мощность │Bn│= 2n
d) Итак, имеем │Bn│= 2n, поэтому Bn ≈ N2n;
с другой стороны, показано, что B (M) ≈ Bn
В силу транзитивности отношения равномощности множеств имеем B (M) ≈ N2n, поэтому B (М) = 2n
(В частности, аналогично пункту «d» доказывается: равномощные конечные множества содержат равное число элементов)
3) Счётные множества
Множество М называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N = {1, 2, …, n, …}
Мощность счётного множества обозначается א0 (алеф-нуль)
Для счётного множества М по определению существует взаимно однозначное соответствие f: N M. Обозначим при этом соответствии f (i) = mi (i=1…n…), т.е. присвоим элементам множества М номера в виде натуральных чисел.
f – всюду определено 
Использованы любые номера из N f – сюръективно 
Любой элемент из М получает номер
f – функционально
Каждый номер использован ровно 1 раз
f – инъективно 
Разные элементы из М - разные номера
M = { m1, m2, …, mn, … } – гёделевская нумерация (или просто нумерация) элементов множества М
Th.1.4.6 Любое бесконечное подмножество N N счётно Доказательство Th.1.4.6
По условию N N.
Обозначим: n1 = min { n: n N } и присвоим ему номер 1.
n2 = min { n: n N \ {n1} } и присвоим ему номер 2.
n3 = min { n: n N \ {n1,n2} } и присвоим ему номер 3.
……………….
Для всякого, сколь угодно большого, натурального числа имеется конечное количество меньших его натуральных чисел, поэтому любому элементу из N при этой процедуре через конечное число шагов будет присвоен номер.
Определили соответствие ni i. Оно по построению: всюду определено, сюръективно, функционально, инъективно,
поэтому N ≈ N |
Доказано Th.1.4.6 |