- •Введение
- •1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВЫ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХАМПЛИТУД
- •2 ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •3 ПРОСТЕЙШИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
- •5 Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •6 АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
- •7 Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей
- •8 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ
- •9. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА ПО ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЕ
- •Библиографический список
8 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ
ЗАДАНИЯ
8.1 Определить резонансную частоту f0, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q, полосу пропускания Пf и резонансное со-
противление Z вх 0 последовательного колебательного контура.
Величины параметров элементов контура приведены в табл. 11 и обозначены индексом «1».
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
№ |
|
|
Величины параметров элементов |
|
|
|||
п/п |
L1, мкГн |
С1, пФ |
|
R1, Ом |
L2, мкГн |
|
С2, пФ |
R2, Ом |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
6 |
7 |
1 |
200 |
100 |
|
5 |
100 |
|
– |
4 |
2 |
180 |
200 |
|
6 |
90 |
|
– |
6 |
3 |
150 |
300 |
|
8 |
80 |
|
– |
5 |
4 |
120 |
400 |
|
10 |
60 |
|
– |
2 |
5 |
100 |
500 |
|
12 |
50 |
|
– |
2 |
6 |
40 |
10 |
|
4 |
40 |
|
– |
4 |
7 |
50 |
20 |
|
6 |
50 |
|
– |
6 |
8 |
60 |
30 |
|
8 |
60 |
|
– |
8 |
9 |
80 |
40 |
|
10 |
80 |
|
– |
10 |
10 |
100 |
50 |
|
12 |
100 |
|
– |
12 |
11 |
200 |
1000 |
|
10 |
100 |
|
– |
10 |
12 |
250 |
1000 |
|
12 |
150 |
|
– |
12 |
13 |
300 |
1000 |
|
10 |
150 |
|
– |
10 |
14 |
350 |
1000 |
|
12 |
150 |
|
– |
12 |
15 |
400 |
1000 |
|
10 |
150 |
|
– |
10 |
16 |
200 |
150 |
|
10 |
50 |
|
– |
10 |
17 |
200 |
160 |
|
10 |
60 |
|
– |
10 |
18 |
200 |
180 |
|
8 |
80 |
|
– |
8 |
19 |
200 |
200 |
|
8 |
120 |
|
– |
8 |
20 |
200 |
140 |
|
6 |
150 |
|
– |
6 |
21 |
10 |
50 |
|
4 |
5 |
|
– |
2 |
22 |
20 |
40 |
|
5 |
10 |
|
– |
4 |
23 |
30 |
30 |
|
5 |
15 |
|
– |
4 |
24 |
40 |
20 |
|
4 |
20 |
|
– |
5 |
25 |
50 |
10 |
|
4 |
25 |
|
– |
4 |
26 |
160 |
540 |
|
4 |
– |
|
50 |
– |
27 |
160 |
600 |
|
5 |
– |
|
100 |
– |
28 |
160 |
650 |
|
6 |
– |
|
100 |
– |
29 |
160 |
700 |
|
7 |
– |
|
100 |
– |
30 |
160 |
800 |
|
8 |
– |
|
200 |
– |
48
Окончание табл. 11
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
31 |
180 |
240 |
2 |
– |
100 |
– |
32 |
180 |
260 |
3 |
– |
120 |
– |
33 |
180 |
280 |
10 |
– |
140 |
– |
34 |
180 |
320 |
12 |
– |
200 |
– |
35 |
180 |
340 |
15 |
– |
200 |
– |
36 |
240 |
550 |
8,2 |
– |
300 |
– |
37 |
240 |
280 |
10,5 |
– |
100 |
– |
38 |
240 |
380 |
6,4 |
– |
100 |
– |
39 |
240 |
480 |
7,5 |
– |
100 |
– |
40 |
240 |
580 |
8,5 |
– |
200 |
– |
41 |
500 |
800 |
6,5 |
– |
200 |
– |
42 |
500 |
820 |
5 |
– |
200 |
– |
43 |
500 |
840 |
6 |
– |
200 |
– |
44 |
500 |
860 |
7 |
– |
200 |
– |
45 |
500 |
920 |
9 |
– |
300 |
– |
46 |
320 |
1200 |
10 |
– |
500 |
– |
47 |
340 |
1300 |
12 |
– |
600 |
– |
48 |
360 |
1400 |
14 |
– |
800 |
– |
49 |
380 |
1500 |
16 |
– |
1000 |
– |
50 |
420 |
1600 |
12 |
– |
1000 |
– |
8.2Рассчитать величины параметров элементов последовательного колебательного контура, сопротивление потерь R которого, определяется заданным вариантом (табл. 11)
8.3Определить резонансную частоту f0, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q и резонансное сопротивление R0 параллельного колебательного контура (рис. 15). Величины параметров элементов для заданного варианта приведены в табл. 11.
Рис. 15
49
8.4 Вычислить частоты резонанса токов f0Т, напряжений f0Н, добротность Q, характеристическое сопротивление ρ, коэффициент включения и резонансное сопротивление сложного параллельного контура. Схема параллельного колебательного контура с разделенной индуктивностью (рис. 16) задается для вариантов 1…25, а для вариантов 26…50 схема параллельного колебательного контура с разделенной емкостью (рис. 17). Величины параметров элементов контуров для заданного варианта приведены в табл. 11.
Рис. 16 |
Рис.17 |
8.5 Для цепи с двумя связанными колебательными контурами, схема для вариантов 1…25 приведена на рис. 18, а для вариантов 26…50 схема изображена на рис. 19, с одинаковыми величинами параметров элементов: R1=R2=R, С1=С2=С3=С, L1=L2=L3=L, определить резонансную частоту f0, добротность Q, коэффициент связи k, параметр связи А и максимально возможное значение тока во втором контуре I2 max при
Е=10В.
Рис. 18
50
Рис.19
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
8.1 Резонансная частота последовательного контура равна:
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
(43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|||||
Полное сопротивление емкости |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z С |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(44) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0С |
2 f С |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0L 2f L |
|
|||||||||||
или индуктивности Z L |
0 |
|
(45) |
контура на резонансной частоте называют характеристическим сопротивлением контура:
0 L |
1 |
|
L |
. |
(46) |
0C |
|
||||
|
|
C |
|
Добротность колебательного контура Q можно выразить через параметры его элементов:
|
|
|
|
Q |
1 |
|
|
|
L |
|
|
|
. |
(47) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
C |
|
|
R |
|
||||||
Полоса пропускания последовательного колебательного контура на |
||||||||||||||||||||
уровне |
1 |
|
0,707 в Q раз меньше его резонансной частоты: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
П |
f |
П |
|
2 |
(48) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
Q |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексное входное сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте ω0 называют резонансным сопротивлением:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
вх |
0 |
R j |
0 |
L |
|
|
R . |
(49) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0C |
|
|
Зная выражения для определения резонансной частоты (43), полосы пропускания (48) и добротности Q (47) последовательного колебательного контура можно найти величины параметров колебательного контура.
Пример. Пусть сопротивление потерь R=10Ом, резонансная частота f0=1МГц, полоса пропускания Пf=100кГц. Определим величины параметров последовательного колебательного контура.
Составим систему:
f0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
LC |
||||||||
П |
f |
|
f0 |
|
|
|
f |
0 R |
|
. |
|||
Q |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C
Найдем величины параметров элементов контура:
L |
R |
|
10 |
|
15,9 мкГн ; |
||
|
|
|
|
|
|||
2П f |
2 3,14 100 103 |
||||||
С |
П f |
|
|
100 103 |
1,6нФ. |
||
2f02 R |
|
2 3,14 1012 10 |
Следует отметить, что ширина полосы пропускания последовательного контура не зависит от емкости:
П f |
f0 R |
|
|
|
1 R |
|
|
|
|
R |
. |
(50) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
LC |
|
|
|||||||||
|
|
C |
|
|
C |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
8.2 В случае малых потерь резонансная частота f0, характеристическое сопротивление ρ и добротность Q параллельного колебательного контура совпадает с соответствующими параметрами последовательного контура составленного из тех же элементов.
Резонансное сопротивление R0 параллельного колебательного контура в Q раз превышает его характеристическое сопротивление
R0 Q |
2 |
|
|
|
. |
(51) |
|
|
|||
|
R |
|
8.3Частота резонанса токов f0Т, характеристическое сопротивление ρ
идобротность Q сложного параллельного колебательного контура с распределенной индуктивностью (рис. 16) в случае малых потерь совпадают с частотой резонанса напряжения f0, характеристическим сопротивлением ρ и добротностью Q последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов, что и рассматриваемый контур.
Частота резонанса напряжений: |
f0Н |
|
|
|
2f |
|
|
, |
|
(52) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
pL |
|
|
|||||
резонансное сопротивление: R ( p |
L |
) |
2 pL2 |
|
R p |
2 |
(53) |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
R |
|
|
|
|
0 L |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
являются функцией коэффициента включения индуктивности |
|
||||||||||||||
pL |
|
L1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(54) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L1 L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Определить частоты резонанса токов f0Т, напряжений f0Н, добротность Q, характеристическое сопротивление ρ, коэффициент включения индуктивности pL и резонансное сопротивление R0(pL) параллельного колебательного контура с неполным включением индуктивности (рис. 16). Величины параметров элементов: L1=100мкГн;
L2=250мкГн; R1=8Ом; R2=2Ом; С=200пФ.
Частота резонанса токов:
f0Т |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
919 кГц. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
(L1 L2 ) C |
2 3,14 |
(100 50) 10 6 200 10 12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
53
Характеристическое сопротивление: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||
|
|
L L |
|
|
|
(100 50) 10 |
|||||||
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
866 Ом ; |
|||
C |
|
200 10 12 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
добротность: |
Q |
|
|
|
|
|
866 |
86,6 . |
|||||
|
R |
|
|
||||||||||
|
|
|
R |
|
|
8 2 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Частота резонанса напряжений определяется параметрами ветви содержащей емкость C и индуктивность L2:
f0Н |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1592 кГц, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
L2C |
2 3,14 |
50 10 6 200 10 12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
или же по формуле (52).
Коэффициент включения контура равен:
|
|
L |
|
|
100 10 6 |
|
|
pL |
|
1 |
|
|
|
|
0,67. |
L1 |
|
|
100 10 6 |
50 10 6 |
|||
|
L2 |
|
Резонансное сопротивление параллельного колебательного контура с неполным включением индуктивности:
|
|
|
2 p2 |
|
8662 0,672 |
|
R0 |
( pL ) |
|
L |
|
|
33,7 кОм . |
R1 |
R2 |
|
||||
|
|
|
8 2 |
Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью (рис. 17) подобен параллельному колебательному контуру с разделенной индуктивностью (рис. 16).
Частота резонанса токов f0Т, характеристическое сопротивление ρ и добротность Q параллельного колебательного контура с разделенной емкостью совпадают с резонансной частотой, характеристическим сопротивлением и добротностью последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов и обладающего теми же сум-
марной емкостью С |
С1С2 |
|
и суммарным сопротивлением |
С С |
|
||
|
1 |
2 |
|
R R1 R2 , частота резонанса напряжений данного контура определяется параметрами второй ветви:
54
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
f |
0Н |
|
|
2f |
2 |
1 p , |
(55) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 LC |
|
|
C2 |
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где pC |
C |
|
|
C2 |
|
|
– коэффициент включения емкости. |
|
||||||||
C1 |
C1 |
C2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Резонансное сопротивление контура с разделенной емкостью пропорционально квадрату коэффициента включения:
R ( p |
) |
2 pL2 |
R p2 . |
(56) |
|
||||
0 C |
|
R |
0 C |
|
|
|
|
|
Пример. Определить основные параметры параллельного колебательного контура с разделенной емкостью (рис. 17). Величина параметров элементов контура: С1=50пФ; С2=200пФ; L=100мкГн; R1=R2=10Ом.
Основными параметрами параллельного колебательного контура с разделенной емкостью являются:
частота резонанса токов:
f0Т |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2,5 МГц ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
L |
C1C2 |
2 |
3,14 |
100 10 |
6 |
50 |
10 12 |
200 10 12 |
|
||||||
C1 C2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
50 10 12 |
200 10 12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристическое сопротивление:
|
|
L(C C |
2 |
) |
|
|
100 10 6 (50 10 12 200 10 12 ) |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1580 Ом ; |
||
C1C2 |
|
|
|
|
|
50 10 12 |
200 10 12 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
добротность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
1580 |
79 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
10 10 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
частота резонанса напряжений:
f0Н |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
88,8 МГц ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
LC2 |
2 3,14 |
100 10 6 200 10 12 |
||||||
|
|
|
|
|
|
коэффициент включения емкости:
pC |
C |
2 |
|
200 10 12 |
0,8 |
; |
|||
C1 |
C2 |
50 10 12 |
200 10 12 |
||||||
|
|
|
|
55
резонансное сопротивление:
R0 ( pC ) pC2 Q 79,9 кОм .
Колебательные контура с разделенной емкостью или с разделенной индуктивностью широко используются для согласования их с источниками энергии путем изменения коэффициента включения контура, причем при изменениях pL и pС значение частоты резонанса токов не изменяется. Эти контура могут быть использованы для подавления колебаний, частота которых близка к частоте резонанса напряжений f0Н.
8.4 Два контура называют связанными, если возбуждение электрических колебаний в одном из них приводит к возникновению колебаний в другом.
Предложенные схемы связанных колебательных контуров имеют внутреннюю емкостную связь (рис. 18) и внутреннюю индуктивную связь (рис. 19). Коэффициент связи с внутренней индуктивностью (автотрансформаторной связью) можно определить через параметры цепи
(см. рис. 18):
k |
|
|
L3 |
|
|
, |
(57) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(L1 |
L3 )(L2 |
L3 ) |
|
для схемы, изображенной на рис. 19, с внутренней емкостной связью он определится выражением:
k |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
(58) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
С |
|
|
|||
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
С |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Рассчитаем резонансную частоту, добротность, коэффициент связи, параметр связи, максимально возможное значение тока во втором контуре при E=5В, для колебательных контуров с внутренней емкостной связью (рис.19). Величины параметров элементов контуров:
С1=С2=С3=С=8нФ; L1=L2=L=1мГн; R1=R2=R=20Ом.
56
Собственные емкости первого и второго контуров имеют одинаковые величины:
|
|
С С |
2 |
|
С |
С |
3 |
|
С 2 |
||
С11 С22 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
4 нФ . |
||
С1 |
С2 |
С2 С3 |
|
||||||||
|
|
|
|
2С |
Поскольку параметры контуров одинаковые, то резонансные частоты и добротности первого и второго контуров одинаковы:
f |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
79,6 |
10 9 ; |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
LC11 |
2 3,14 |
10 3 4 10 9 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
C11 |
|
|
|
|
|
4 10 9 |
|
|
25 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
20 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент связи между контурами:
k |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0,5 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|||||||
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
8 |
10 |
|
|
|
8 |
10 |
|
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
8 |
10 |
|
|
|
8 |
10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр связи A kQ 0,5 25 12,5 . Максимальное значение тока второго контура:
I2 max |
|
E |
|
|
5 |
|
|
125 мА . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
R1R2 |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 20 |
20 |
Углубить знания об особенностях применения колебательных контуров, их характеристик, можно изучив разделы в литературе
[1, с. 177…223; 2, с. 113…144].
57