5 ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ЗАДАНИЯ
5.1 Рассчитать для заданного варианта участка цепи эквивалентную индуктивность. Схема участка цепи и величины параметров элементов приведены в табл. 7.
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
№ |
|
Величины парамет- |
Коэффициент |
||
Схема соединений индуктивностей |
ров элементов |
||||
п/п |
связи, km |
||||
|
L1, мГн |
L2, мГн |
|||
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
|
10 |
10 |
0,5 |
|
2 |
|
20 |
20 |
0,5 |
|
3 |
|
40 |
40 |
0,4 |
|
4 |
|
50 |
50 |
0,4 |
|
5 |
|
100 |
100 |
0,1 |
|
6 |
|
50 |
10 |
0,2 |
|
7 |
|
20 |
40 |
0,5 |
|
8 |
|
50 |
50 |
0,2 |
|
9 |
|
10 |
20 |
0,5 |
|
10 |
|
40 |
20 |
0,2 |
|
11 |
|
100 |
20 |
0,6 |
|
12 |
|
200 |
40 |
0,8 |
|
13 |
|
100 |
40 |
0,6 |
|
14 |
|
200 |
50 |
0,8 |
|
15 |
|
100 |
50 |
0,6 |
|
16 |
|
30 |
60 |
0,1 |
|
17 |
|
60 |
30 |
0,5 |
|
18 |
|
40 |
20 |
0,6 |
|
19 |
|
70 |
70 |
0,5 |
|
20 |
|
80 |
80 |
0,7 |
|
21 |
|
10 |
10 |
0,6 |
|
22 |
|
20 |
20 |
0,4 |
|
23 |
|
30 |
30 |
0,5 |
|
24 |
|
40 |
40 |
0,3 |
|
25 |
|
50 |
50 |
0,2 |
|
26 |
|
10 |
20 |
0,4 |
|
27 |
|
20 |
10 |
0,5 |
|
28 |
|
30 |
40 |
0,2 |
|
29 |
|
40 |
50 |
0,6 |
|
30 |
|
50 |
60 |
0,8 |
|
32
|
|
|
|
Окончание табл. 7 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
31 |
|
10 |
100 |
|
0,1 |
32 |
|
20 |
100 |
|
0,2 |
33 |
|
30 |
100 |
|
0,3 |
34 |
|
40 |
100 |
|
0,4 |
35 |
|
50 |
100 |
|
0,5 |
36 |
|
60 |
100 |
|
0,6 |
37 |
|
70 |
90 |
|
0,7 |
38 |
|
80 |
80 |
|
0,8 |
39 |
|
90 |
70 |
|
0,9 |
40 |
|
100 |
60 |
|
0,1 |
41 |
|
10 |
10 |
|
0,1 |
42 |
|
20 |
10 |
|
0,2 |
43 |
|
30 |
10 |
|
0,3 |
44 |
|
40 |
10 |
|
0,4 |
45 |
|
50 |
10 |
|
0,5 |
46 |
|
20 |
20 |
|
0,6 |
47 |
|
40 |
20 |
|
0,7 |
48 |
|
60 |
20 |
|
0,8 |
49 |
|
80 |
20 |
|
0,9 |
50 |
|
100 |
20 |
|
0,5 |
5.2 Осуществить для заданного варианта согласование источника энергии с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, передаваемой в нагрузку, с помощью идеального трансформатора. Схема включения согласующего устройства изображена на рис.11. Источник энергии представлен последовательной схемой замещения, его внутрен-
нее сопротивление имеет комплексный характер: Z i |
Ri jxi . |
|
|
Величины параметров эле- |
|
|
ментов приведены в табл. 8. |
|
|
Сопротивление нагрузки также |
|
|
имеет комплексный характер: |
|
|
Z н Rн jxн , |
|
|
соединение |
сопротивления |
|
нагрузки и |
компенсирующего |
Рис. 11 |
элемента – последовательное. |
|
33
|
|
|
|
Таблица 8 |
№п/п |
e(t), В |
Ri, Ом |
xi, Ом |
Rн, Ом |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
10cos1000t |
1000 |
10 |
10 |
2 |
40cos1000t |
10000 |
–10 |
100 |
3 |
50cos1000t |
1000 |
–10 |
10 |
4 |
20cos1000t |
10000 |
10 |
100 |
5 |
30cos1000t |
1000 |
–10 |
20 |
6 |
100cos10000t |
300 |
25 |
75 |
7 |
200cos10000t |
600 |
–25 |
75 |
8 |
300cos10000t |
1200 |
100 |
75 |
9 |
400cos10000t |
1200 |
–100 |
75 |
10 |
500cos10000t |
600 |
25 |
75 |
11 |
5cos1000t |
200 |
100 |
20 |
12 |
3cos1000t |
200 |
–100 |
20 |
13 |
4cos1000t |
400 |
100 |
4 |
14 |
2cos1000t |
400 |
–100 |
4 |
15 |
3cos1000t |
400 |
200 |
10 |
16 |
9cos10000t |
500 |
100 |
1000 |
17 |
8cos10000t |
500 |
–100 |
1000 |
18 |
7cos10000t |
500 |
200 |
2000 |
19 |
6cos10000t |
500 |
–200 |
2000 |
20 |
5cos10000t |
500 |
–100 |
500 |
21 |
150cos2.106t |
75 |
25 |
100 |
22 |
140cos3.106t |
75 |
–25 |
200 |
23 |
130cos4.106t |
75 |
50 |
300 |
24 |
120cos5.106t |
75 |
–50 |
400 |
25 |
110cos6.106t |
75 |
75 |
500 |
26 |
60cos106t |
300 |
100 |
75 |
27 |
70cos106t |
600 |
–100 |
75 |
28 |
80cos106t |
1200 |
–200 |
75 |
29 |
90cos106t |
1200 |
200 |
75 |
30 |
10cos106t |
600 |
300 |
75 |
31 |
20cos105t |
75 |
–60 |
1000 |
32 |
20cos105t |
75 |
60 |
1000 |
33 |
20cos105t |
75 |
100 |
1000 |
34 |
20cos105t |
75 |
–100 |
1000 |
35 |
20cos105t |
75 |
–150 |
1000 |
36 |
15cos2.104t |
150 |
50 |
75 |
37 |
15cos2.104t |
150 |
–50 |
75 |
38 |
15cos2.104t |
150 |
–100 |
75 |
39 |
15cos2.104t |
150 |
100 |
75 |
40 |
15cos2.104t |
150 |
150 |
75 |
41 |
25cos5.104t |
320 |
60 |
500 |
42 |
25cos5.104t |
320 |
–60 |
500 |
43 |
25cos5.104t |
450 |
80 |
500 |
44 |
25cos5.104t |
450 |
–80 |
500 |
45 |
25cos5.104t |
540 |
–70 |
500 |
34
|
|
|
|
Окончание табл. 8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
46 |
150cos5.103t |
1000 |
300 |
100 |
47 |
250cos5.103t |
1000 |
–300 |
150 |
48 |
350cos5.103t |
1500 |
–500 |
200 |
49 |
450cos5.103t |
1500 |
500 |
250 |
50 |
550cos5.103t |
1500 |
–1000 |
300 |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
5.1 Величины эквивалентных индуктивностей участков цепей при последовательном соединении связанных индуктивностей, схемы которых приведены для вариантов 1…20 (табл. 7) определяются выражением:
Lэк L1 L2 2M , |
(28) |
где верхний знак (плюс) соответствует согласному включению, а нижний (минус) – встречному;
М– взаимная индуктивность между связанными индуктивностями. Взаимную индуктивность можно выразить через индуктивности свя-
занных катушек и коэффициент связи kM между ними:
|
|
|
|
M kM L1L2 . |
(29) |
||
Величина эквивалентных индуктивностей для участков цепей с параллельным соединением связанных индуктивностей, варианты 21…40 которых приведены в табл. 7, можно найти по формуле:
|
L L M 2 |
|
|
|||
Lэк |
|
1 |
2 |
, |
(30) |
|
L1 |
L2 2M |
|||||
|
|
|
||||
причем верхний знак (минус) соответствует согласному включению, а нижний знак (плюс) – встречному.
Для вариантов заданий 41…50 (табл.7) эквивалентные индуктивности участков цепи с коротко замкнутой одной из связанных индуктивностей определяется выражением:
|
L L M 2 |
|
|
|
Lэк |
1 |
2 |
. |
(31) |
|
L2 |
|||
|
|
|
|
|
35
Пример. Рассмотрим параллельную схему соединений с согласным включением индуктивностей (варианты 21…30, табл. 7).
Взаимная индуктивность для данной схемы с параметрами элементов L1=L2=4 мГн, и коэффициентом связи между индуктивностями kM=0,5, определяется выражением:
|
M 0,5 |
4 10 3 4 10 3 |
2 мГн . |
||
Эквивалентная индуктивность согласно (30) равна: |
|||||
L |
4 10 3 |
4 10 3 (2 10 |
3 )2 |
3 мГн. |
|
|
|
|
|||
эк |
|
4 10 3 |
4 10 3 2 2 10 3 |
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, участки цепей, содержащие две связанные индуктивности, при гармоническом воздействии могут быть заменены одной эквивалентной индуктивностью с комплексным сопротивлением
Z j Lэк .
5.2 Для согласования источника энергии с нагрузкой по критерию максимума активной мощности, передаваемой в нагрузку, сопротивление нагрузки Z н должно быть величиной комплексно-сопряженной с
внутренним сопротивлением источника:
|
|
Z н Z . |
(32) |
Если сопротивление нагрузки не отвечает условию (32), то для согласования источника энергии с нагрузкой следует применить идеаль-
ный трансформатор с коэффициентом трансформации: |
|
n Z н / Z вх , |
(33) |
где Z вх – комплексное входное сопротивление идеального трансформа-
тора.
Входное сопротивление идеального трансформатора имеет такой же характер, как и сопротивление нагрузки, и отличается от него по модулю в n2 раз.
36
При последовательной схеме включения нагрузки RН и компенсирующего элемента ХН комплексное входное сопротивление идеального трансформатора равно:
Z |
|
(R |
jX |
|
) |
1 |
. |
(34) |
вх |
Н |
|
||||||
|
Н |
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Данное выражение позволяет определить тип и величину параметра компенсирующего элемента.
Пример. Найти компенсирующую емкость и коэффициент трансформации идеального согласующего трансформатора по частоте f=1000Гц,
если комплексное |
внутреннее сопротивление источника равно: |
Z i 300 j100 Ом , |
сопротивление нагрузки Rн 75Ом , соединено |
последовательно с компенсирующим элементом.
Максимум активной мощности в нагрузке можно получить при выполнении условия (32), следовательно, комплексное входное сопротивление идеального трансформатора должно быть равно:
Z вх Zi 300 j100 Ом .
Знак минус перед мнимой частью комплексного числа говорит о том, что компенсирующий элемент – идеальный конденсатор.
Используя выражение (34) можно определить величину компенсирующей емкости и коэффициент трансформации идеального согласующего трансформатора:
(R |
jX |
|
) |
1 |
300 j100. |
|
n2 |
||||
н |
|
н |
|
|
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, тогда
n |
Rн |
|
75 |
0,5. |
|
|
|||
|
Ri |
300 |
|
|
Величина емкости компенсирующего элемента равна:
с |
1 |
|
1 |
6,4 мкФ . |
|
|
|||
100 n2 |
100 2 3,14 1000 0,25 |
37
Таким образом, для получения максимальной мощности в нагрузке на заданной частоте необходим согласующий идеальный трансформатор и компенсирующий элемент, включенный последовательно с нагрузкой.
Вопросы, связанные с согласованием источника энергии с нагрузкой цепей с взаимными индуктивностями при гармоническом воздействии, можно глубже рассмотреть в литературных источниках и в частности:
[1, с. 116…119, 142…160; 2, с. 89…101].
38