3.10. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

     На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.      Пусть необходимо проверить гипотезу о том, что две независимые выборки получены из генеральных совокупностей Х и Y с одинаковыми дисперсиями σ_х² и σ_y². Для этого используется F-критерий Фишера.      Порядок применения F-критерия следующий:      1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости α формулируется нулевая гипотеза Н₀: σ_х²=σ_y² о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н₁: σ_х² > σ_y².      2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y объемом n_x и n_y соответственно.      3. Рассчитывают значения исправленных выборочных дисперсий s_х² и s_y² (методы расчета рассмотрены в 4.4). Большую из дисперсий (s_х² или s_y²) обозначают  s₁², меньшую – s₂².      4. Вычисляется значение F-критерия по формуле F_набл= s₁²/s₂².      5. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числом степеней свободы ν₁=n₁–1, ν₂=n₂–1 (ν₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии), находится критическая точка F_кр(σ,ν₁, ν₂).      Отметим, что в таблице П.7 приведены критические значения одностороннего F-критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н₁: σ_х²≠σ_y² ), то правостороннюю критическую точку F_кр (α/2, n₁, n₂) ищут по уровню значимости α/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы n₁ и n₂ (n₁–число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать.      6. Делается вывод: если вычисленное значение F–критерия больше или равно критическому (F_набл ≥ F_кр), то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. В противном случае (F_набл < F_кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.      Задача 3.5. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:     

Расход сырья хi	304	307	308
Число изделий mi	1	4	4

     По новой технологии:

Расход сырья yi	303	304	306	308
Число изделий ni	2	6	4	1

     Предположив, что соответствующие генеральные совокупности X и Y имеют нормальные распределения, проверить, что по вариативности расход сырья по новой и старой технологиям не отличаются, если принять уровень значимости α = 0,1.      Решение. Действуем в порядке, указанном выше.      1. Будем судить о вариативности расхода сырья по новой и старой технологиям по величинам дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид Н₀: σ_х² = σ_y². В качестве конкурирующей примем гипотезу Н₁:σ_х² ≠ σ_y², поскольку заранее не уверены в том, что какая-либо из генеральных дисперсий больше другой.      2–3. Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:      u_i=x_i – 307,                                     v_i= y_i – 304.      Все вычисления оформим в виде следующих таблиц:     

ui	mi	miui	miui2	mi(ui+1)2			vi		ni		nivi		nivi2		ni(vi+1)2
–3	1	–3	9	4			–1		2		–2		2		0
0	4	0	0	4			0		6		0		0		6
1	4	4	4	16			2		4		8		16		36
Σ	9	1	13	24			4		1		4		16		25
							Σ		13		10		34		67
Контроль: Σ miui2+2Σ miui+m=13+2+9=24								Контроль: Σnivi2+2Σnivi+n =34+20+13=67

     Найдем исправленные выборочные дисперсии:      4. Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:.      5. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид σ_х² ≠ σ_y², поэтому критическая область двусторонняя и при отыскании критической точки следует брать уровни значимости, вдвое меньше заданного.      По таблице П.7 по уровню значимости α/2 = 0,1/2 = 0,05 и числам степеней свободы ν₁=n₁–1=12, ν₂=n₂–1=8 находим критическую точку F_кр(0,05; 12;8)=3,28.      6. Так как F_набл. < F_кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.      Выше, при проверке гипотез предполагалось нормальность распределения исследуемых случайных величин. Однако специальные исследования показали, что предложенные алгоритмы весьма устойчивы (особенно при больших объемах выборок) по отношению к отклонению от нормального распределения.