3.8. Оценки истинного значения измеряемой величины и точности измерений

     Пусть производится n измерений некоторой физической константы, истинное значение которой а неизвестно. Измерения будем рассматривать прямые, независимые, равноточные и не дающие систематической ошибки.      Измерения называются:      прямыми, если результаты измерений считываются непосредственно со шкалы измерительного прибора;      независимыми, если результат каждого измерения не может повлиять на результаты остальных измерений;      равноточными, если измерения проводятся в одинаковых условиях.      Результаты измерений не будут содержать систематической ошибки, если применяется исправный измерительный прибор.      В этих условиях результаты измерений х₁, х₂, …,х_n можно считать случайными величинами, которые независимы, имеют один и тот же закон распределения – нормальный с параметрами (а,σ), где а – истинное значение измеряемой величины (математическое ожидание), σ – точность  измерительного прибора (средне квадратическое отклонение).      Следовательно, мы можем оценивать с помощью доверительных интервалов истинное значение а измеряемой величины по выборочной средней , а точность измерений σ по выборочному стандартуs, применяя изложенные выше  методы.

3.9. Статистическая проверка гипотез

     Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.      Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀.      Конкурирующий (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой гипотезе. В итоге проверки гипотезы могут быть совершены ошибки двух родов.      Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α . Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости равный 0,05, то это означает, что в среднем в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).      Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Величина 1 – β называется мощностью критерия.      Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы. Его значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой». Критерий, будучи величиной случайной в силу случайности выборки x₁, x₂, …, x_n, подчиняется при выполнении гипотезы Н₀ некоторому известному, затабулированному закону распределения.      Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения входящих в критерий величин, и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.      Наблюдаемым (эмпирическим) значением К_набл. называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.      После выбора определенного критерия, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.      Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.      Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.      Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.      Критическими точками (границами) k_кр  называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.      Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.      Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K > k_кр, где k_кр – положительное число.      Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К< k_кр, где k_кр – отрицательное число.      Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К < k₁, К > k₂, где k₂  > k₁ .      В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что k_кр > 0):      К< – k_кр ,  К> k_кр ,      или равносильным неравенством | K|>k_кр.      Для отыскания, например, правосторонней критической области поступают следующим образом. Сначала задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости α . Затем ищут критическую точку k _кр , исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, больше k _кр. , была равна принятому уровню значимости:      Р(К> k_кр) = α.      Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что К_набл > k _кр , то нулевую гипотезу отвергают; если же К_набл< k _кр , то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Но это вовсе не означает, что Н₀ является единственно подходящей гипотезой: просто расхождение между выборочными данными и гипотезой Н₀ невелико, или иначе Н₀ не противоречит результатам наблюдений; однако таким же свойством наряду с Н₀ могут обладать и другие гипотезы.      Методы, которые для каждой выборки формально точно определяют, удовлетворяют выборочные данные нулевой гипотезе или нет, называются критериями значимости.      Критерии значимости подразделяются на три типа:      1.      Критерии значимости, которые служат для проверки гипотез о параметрах распределений генеральной совокупности (чаще всего нормального распределения). Эти критерии называются параметрическими.      2.      Критерии, которые для проверки гипотез не используют предположений о распределении генеральной совокупности. Эти критерии не требуют знаний параметров распределения, поэтому называются непараметрическими.      3.      Особую группу критериев составляют критерии согласия, служащие для проверки гипотез о согласии распределения генеральной совокупности, из которой получена выборка, с ранее принятой теоретической моделью (чаще всего нормальным распределением).