Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Signaly_1

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
761.84 Кб
Скачать

61

Случайные функции могут различаться по степени однородности протекания их в зависимости от значений аргумента. В общем случае их характеристики могут зависеть от начала отсчета координат, а, следовательно, от значений аргументов. Такие

случайные функции принято называть нестационарными.

Нестационарные случайные функции наиболее приемлемы в качестве математической модели сигнала, однако использование их на практике затруднено.

Поэтому с целью упрощения математического аппарата на случайные функции

накладывают некоторые ограничения, делающие случайную функцию стационарной.

Случайная функция X (t) называется стационарной в узком смысле, если ее n-

мерная плотность вероятности не зависит от начала отсчета параметра t.

На практике приходится идти еще на большие ограничения, рассматривая случайную функцию стационарной в широком смысле. Случайную функцию X (t)

называют стационарной в широком смысле (или просто стационарной) если ее

математическое ожидание и дисперсия не зависит от начала отсчета параметра t, а

корреляционная функция зависит

только от разности между

своими

аргументами

t1 t2 = τ , то есть

 

 

 

 

 

m x

= const ,

 

(2.107)

 

Dx

= const ,

 

(2.108)

 

K x (t1 , t2 ) = K x (τ ).

 

(2.109)

Стационарность функции предполагает ее существование и статистическую

однородность во всем диапазоне

изменения параметра t от

− ∞ до

+ ∞ . Такое

предположение противоречит физическим свойствам реальных сигналов, которые имеют ограниченную длительность. Однако реальные случайные функции при неизменных внешних условиях, в установившемся режиме и на определенных диапазонах изменения параметров с некоторыми приближениями можно считать стационарными.

Анализируя выражения (2.107), (2.108), (2.109), можно заключить, что условие постоянства дисперсии (2.108) является частным случаем требования к

корреляционной функции (2.109) при τ = 0 , так как исходя из (2.106)

 

Dx = K x (t1 , t1 ) = K x (0) = const .

(2.110)

Поэтому дисперсия стационарной случайной функции является постоянной величиной, равной значению корреляционной функции при τ = 0 . Из чего следует, что

62

случайная функция стационарна, если выполняются условия (2.107) и (2.109). Таким образом, решающим отличием стационарных случайных функций от нестационарных являются постоянство математического ожидания и возможность представления корреляционной функции, зависящей только от одного аргумента.

Представляют интерес некоторые свойства корреляционных функций стационарных случайных функций.

Как следует из (2.109) корреляционная функция, построенная для стационарной случайной функции, является четной функцией своего аргумента:

K x (τ ) = K x (− τ ). (2.111)

Реальные случайные функции являются ограниченными, поэтому для реальных случайных функции справедливо выражение:

lim K x (τ ) = 0 .

(2.112)

τ →∞

 

На практике удобно пользоваться нормированной корреляционной функцией

ρ (τ ), которая называется коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции определяется следующим образом:

ρ (τ ) = Κ x (τ ) .

Κ x (0)

Причем, на основании (2.103)

ρ (τ ) ≤ 1 ,

а исходя из (2.113)

ρ (0) = 1 ,

а, следовательно,

K x (τ ) K x (0) .

(2.113)

(2.114)

(2.115)

(2.116)

§2.14. Определение характеристик случайных функций по экспериментальным

данным

Пусть над случайной функцией X (t) произведено n независимых экспериментов и в результате получено n реализаций случайной функции.

Допустим, что на основании этих реализаций мы хотим получить какое-то представление о математическом ожидании m x (t) , дисперсии Dx (t) и корреляционной функции K x (t1 , t2 ) этой случайной функции. Какое бы большое число реализаций мы

63

ни брали, всегда на определение точного вида этих функций будет влиять случайный характер выбора реализаций. Мы никогда не можем быть уверены в том, что добавление новых реализаций не приведет к некоторому, пусть даже совсем незначительному изменению вида определяемых функций, например, математического

ожидания.

Поэтому на практике мы всегда можем гарантировать только приближенное

совпадение

получаемых функций с искомыми,

то естьь на практике мы находим

функции mˆ

ˆ

(t),

ˆ

(t1 , t2 ) такие, что

 

x (t) , Dx

K x

 

 

 

 

 

mˆ x (t ) mx (t);

 

 

 

 

 

ˆ

(t) Dx (t );

(2.117)

 

 

 

 

Dx

 

 

 

 

ˆ

(t1 , t2 ) K x

(t1 , t2 ).

 

 

 

 

K x

Такие приближенные, зависящие от случая функции, называют оценками искомых функций.

Проблемы оценки параметров неизвестных случайных величин на основании

экспериментальных данных рассматриваются в математической статистике.

Общие требования

к оценке αˆ

неизвестного

параметра

заключаются в

следующем:

 

 

 

 

 

 

 

M {αˆ }= α ,

 

(2.118)

 

lim P{αˆ n

− α

 

> ε }= 0 .

 

(2.119)

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

Если выполняется

условие (2.118), то оценка

называется

несмещенной.

Несмещенность оценки показывает, что, пользуясь оценкой αˆ , мы не допускаем систематической ошибки. Если выполняется условие (2.119), то оценка называется состоятельной. Выполнение этого условия означает, что с увеличением числа экспериментальных данных оценка с вероятностью близкой к 1 приближается к точному значению параметра.

Пусть для случайной величины X на основании эксперимента получены

значения x1 , x2 ,..., xn . Тогда, как известно, оценки

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

mˆ =

xi

 

 

 

i =1

 

,

(2.120)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

)2

 

ˆ

 

(xi

mˆ

 

 

i =1

 

 

 

 

 

D =

 

 

 

 

 

 

(2.121)

 

n

− 1

 

 

 

 

 

 

64

являются состоятельными и несмещенными.

При исследовании случайных функций обычно рассматривают их сечения при

значениях аргумента t1 , t2 ,..., tm . Каждому такому значению tk соответствует n

значений случайной функции: x1 (tk ), x2 (tk ),..., xn (tk ). Значения t1 ,t2 ,...,tm обычно

берутся равноотстоящими. Иногда интервал между соседними значениями t задается

частотой работы регистрирующего прибора. Значения

mˆ

ˆ

(t),

ˆ

(t1 , t2 ) также

x (t), Dx

K x

находятся при тех же значениях аргументов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t

 

) =

xi (tk )

 

 

 

 

 

 

 

mˆ

x

k

i =1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(tk ) mˆ x

(tk )]2

 

 

Dx

(tk ) =

 

[xi

 

 

 

i =1

 

 

 

,

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

) mˆ x (tk

)][xi (te ) mˆ x (te )]

ˆ

(tk

 

) =

[xi (tk

, te

i =1

 

 

 

 

 

 

 

.

K x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(2.122)

(2.123)

(2.124)

§2.15. Эргодическое свойство стационарных случайных функций

На практике часто встречаются случаи, когда возможно получение лишь одной реализации случайной функции. Например, реализация случайной функции

(распределение яркости, рельеф поверхности или измерение температуры) получена при облете автоматической межпланетной станцией какой-нибудь планеты.

Очевидно, что в общем случае, пользуясь только одной реализацией невозможно получить представление о характеристиках случайной функции. Но для некоторых случайных функций даже одна реализация, полученная на достаточно большом участк.е наблюдения, позволяет правильно определить характеристики этой функции.

Про такую функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством, то есть для этой функции осреднение по ансамблю реализаций равносильно осреднению по аргументу, что позволяет существенно упростить процедуру определения ее статистических характеристик.

Свойством эргодичности могут обладать только стационарные случайные функции. Для стационарной случайной функции, обладающей эргодическим свойством, статистические характеристики могут быть найдены осреднением по

65

аргументу конкретной реализации

x(t )

случайной функции

X (t ) (для случайных

процессов как среднее по времени):

 

 

 

 

 

 

 

 

mx

= lim

1

T

x(t )dt ;

(2.125)

 

 

T

→∞ T

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

D = lim

1

T [x(t )m

]2 dt ;

(2.126)

 

x

T →∞ T

 

x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

T

K x (τ ) = lim 1 [x(t )mx ][x(t + τ )mx ]dt . (2.127)

T →∞ T 0

Таким образом, если известно, что случайную функцию можно рассматривать стационарной и обладающей эргодическим свойством, то как процесс получения экспериментальных данных, так и процесс вычисления корреляционной функции существенно упрощается. Возможность или невозможность такого рассмотрения обычно удается понять при исследовании существа решаемой задачи.

Пусть, например, исследуются колебания самолета, связанные с турбулентностью атмосферы. Если полеты самолета осуществляются на разной высоте,

то при этом меняется плотность атмосферы, поэтому должен изменяться и характер колебаний самолета, то есть нет оснований считать исследуемый процесс обладающим эргодическим свойством.

Если во время этих же полетов осуществляется сканирование местности, то, так как с увеличением высоты полета уменьшается дисперсия получаемых при сканировании реализаций, измеряемую случайную функцию нельзя считать стационарной и, как следствие этого ее нельзя считать обладающей эргодическим свойством.

Поскольку предположение о наличии эргодического свойства у стационарной случайной функции обычно приводит к существенному упрощению проводимых исследований, его обычно принимают во всех тех случаях, когда нет особых оснований считать, что оно не выполняется.

§2.16. Спектральное представление случайных сигналов

Для описания случайных сигналов, описываемых случайными функциями,

может быть применен подход, аналогичный представлению детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов (§2.2).

66

Действительно, пусть случайная функция X (t ) имеет математическое ожидание

 

O

 

mx (t ) и соответствующую центрированную случайную функцию X (t ):

 

O

(t ).

 

X (t ) = X (t )+ mx

(2.128)

O

 

 

Центрированную случайную функцию X (t )

можно выразить в виде суммы

ортогональных составляющих, каждая из которых состоит из произведения неслучайной базисной функции ϕk (t ) и коэффициента разложения Ck , являющегося случайной величиной:

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (t ) = Ck ×ϕk (t ) .

(2.129)

 

 

 

k

 

Неслучайные базовые функции называют координатными функциями.

Коэффициенты разложения Ck

в общем статистически зависимы и эта зависимость

может быть задана матрицей

коэффициентов корреляции

 

 

 

ρkl

 

 

 

. Для

конкретной

 

 

 

 

реализации коэффициенты разложения Ck

могут быть определены из выражения:

 

 

T

O

 

 

 

 

 

Ck =

X (t )×ϕk (t )dt ,

(2.130)

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где [- T , T ] - интервал существования случайной функции X (t ).

 

Предположив, что неслучайная функция mx (t ) ограничена, то есть

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mx2 (t )dt < ¥ ,

(2.131)

T

ее также можно представить в виде разложения по ортогональным функциям ϕk (t ) :

mx (t ) = M xk ×ϕk (t ) ;

(2.132)

k

 

 

T

(t )×ϕk (t )dt .

 

M xk = mx

(2.133)

T

 

 

Тогда выражение (2.128) с учетом (2.129) и (2.133) преобразуется к виду:

 

X (t ) = (Ck

+ M xk )×ϕk (t ) ,

(2.134)

k

 

 

который позволяет существенно упростить линейные преобразования случайного сигнала.

67

Для определения требований к координатным функциям полезно рассмотреть

 

 

 

 

O

 

корреляционную функцию центрированной случайной функции X (t ). По определению

Kx (t1,t2 ) = M X (t1 )× X (t2 )

= M Ck ×ϕk (t1 )× Cl ×ϕl (t2 )

=

O

O

 

 

 

 

 

 

k

l

 

(2.135)

= M [Ck × Cl ]×ϕk (t1 )×ϕl (t2 ).

 

 

 

kl

 

 

 

 

 

Так как в общем случае

 

 

 

 

 

 

 

Dk , при k = l;

 

 

 

M [Ck ×Cl ] =

¹ l,

 

 

 

 

Kkl , при k

 

 

то

K x (t1 , t2 ) = ϕ k (t1 )×ϕ k (t2 )× Dk + ϕ k (t1 )×ϕ l (t2 )× K kl .

(2.136)

k

k ¹l

 

Если предположить, что коэффициенты Ck некоррелированы, то есть

 

Kkl

= 0, при k ¹ l;

 

Kkl

= 1, при k = l,

 

то выражение (2.136) существенно упрощается:

 

Kx (t1,t2 ) = ϕk (t1 )×ϕk (t2 )× Dk .

(2.137)

 

k

 

В частном случае, при t1 = t2 = t корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции X (t ):

Dx (t ) = Kx (0) = [ϕk (t )]2 Dk .

(2.138)

k

 

Поэтому в качестве координатных функций ϕk (t ) целесообразно выбирать такие функции, которые обеспечили бы некоррелированность коэффициентов разложения

Ck . Разложение (2.129), использующее такие функции, называют каноническим разложением. В этом случае центрированная случайная функция будет характеризоваться совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайной функции. Этот спектр при каноническом разложении (2.129) является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число линий.

Основной трудностью при использовании канонического разложения является определение координатных функций, однако для стационарных случайных функций эта операция легко выполнима.

X (t ),

68

§2.17. Частотное представление стационарных случайных сигналов

Для канонического разложения стационарного случайного сигнала

заданного на интервале [- T ,T ], рассмотрим его корреляционную функцию Kx (τ ) и

разложим ее в ряд Фурье. Это разложение возможно, если считать корреляционную

функцию

 

периодически

продолжающейся

 

с периодом

 

4T (при

- T < t1 , t2 < T ,

− 2T < τ < 2T ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K x (τ )

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Dk × ei×ωk ×τ ,

 

 

(2.139)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k =-¥

 

 

 

где ωk = k ×ω1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω =

π

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dk =

1

 

 

2T K x (τ )× e-i×ωk ×τ dτ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.140)

 

2T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как Kx (τ ) - четная функция, то выражение (2.139) можно записать в виде:

 

 

 

 

 

 

D =

1

2T K (τ )× e-i×ω k ×τ dτ .

 

 

(2.141)

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

k

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

стационарных

случайных функций τ = t1 - t2 ,

поэтому

корреляционную

функцию Kx (τ ) из (2.139) можно представить в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K x (τ ) = K x (t1 - t2 )

=

1

Dk × ei×ωk

×t1

× e-i×ωk ×t2 ,

(2.142)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k =-¥

 

 

 

что согласно (2.137) является каноническим разложением корреляционной функции, а

по нему можно получить каноническое разложение центрированной случайной функции:

O

 

 

 

 

 

X (t) =

1

Ck × ei×ωk ×t ,

 

(2.143)

 

 

 

2 k =-¥

 

 

 

 

 

где D(Ck ) = Dk ,

 

 

 

 

 

 

а каноническое разложение стационарной случайной функции X (t ) имеет вид:

 

O

 

 

 

X (t ) = mx + X (t )

= mx

+

1

Ck × ei×ω k

×t .

(2.144)

 

 

 

 

 

2 k =-¥

 

 

69

Исходя из выражения (2.144), при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами K можно привести каноническое разложение к тригонометрической форме:

+∞

 

X (t ) = mx + Ak × cos k ×ω1 × t ,

(2.145)

k =1

где ω1 = π ; 2T

mx = M [X (t )];

M [Ak ] = 0 ;

M [Ak2 ]= 2Dk .

Таким образом, стационарную случайную функцию на ограниченном интервале можно представить совокупностью гармонических составляющих с амплитудами,

являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю. На рис.2.16 представлена спектральная диаграмма стационарной случайной функции, на которой каждой гармонике соответствует вертикальный отрезок с длиной, пропорциональной дисперсии ее амплитуды.

Dk

ω1 ω2

ωi

ωk

 

Рис. 2.16

 

Чтобы получить описание стационарной случайной функции на бесконечном

интервале − ∞ < t < ∞ , необходимо

перейти к

интегральному каноническому

разложению, которое может быть получено из выражения (2.139) путем предельного перехода при T → ∞ . При этом переходе, как видно из (2.140), происходит

70

уменьшение значений дисперсий и сокращается расстояние между спектральными линиями, так как

 

 

 

Dω = ω =

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При достаточно большом, но конечном T определим среднюю плотность

распределения дисперсии по частоте:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SxT (ωk ) =

 

 

 

Dk

 

=

2Dk ×T

,

(2.146)

 

 

 

 

 

Dω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

где ST (ω

k

) - средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте ω

k

.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда формулы (2.139) и (2.141) с учетом (2.146) можно преобразовать к виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kx (τ ) =

1

 

 

SxT

(ωk )× ei×ω k ×τ Dω ,

(2.147)

 

 

 

 

 

 

 

2 k =-¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SxT (ωk ) =

1

 

 

2T Kx (τ )× e-i×ω k ×τ dτ ,

(2.148)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2T

 

 

 

 

 

 

 

и перейдя к пределу при T → ∞ , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(τ ) =

1

(ω )× ei×ω ×τ dω ,

 

 

 

 

K x

 

 

Sx

(2.149)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

Sx

(ω ) =

 

1

 

 

K x (τ )× e-i×ω ×τ dω .

(2.150)

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцию

S x (ω ) называют спектральной плотностью стационарного случайного

процесса X (t), которая характеризует распределение дисперсии случайной функции по частотам.

Следует отметить, что величина S xT (ω k )× Dω является не только дисперсией Dk

коэффициента разложения корреляционной функции K x (τ ), но и дисперсией D[Ck ]

коэффициента разложения случайной функции X (t), поэтому величина S x (ω )dω ,

полученная в результате предельного перехода при T → ∞ , представляет собой

дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарной случайной функции, занимающие бесконечно малый интервал частот (ω;ω + dω ).

Формулу интегрального канонического разложения корреляционной функции

K x (τ ) легко найти из формулы (2.149), подставив вместо τ его значения:

 

K (τ ) = K (t

- t ) =

1

S (ω )eiωt1

× e-iωt2 dω .

(2.151)

2

x

x 1

2

x

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]