Signaly_1

61

Случайные функции могут различаться по степени однородности протекания их в зависимости от значений аргумента. В общем случае их характеристики могут зависеть от начала отсчета координат, а, следовательно, от значений аргументов. Такие

случайные функции принято называть нестационарными.

Нестационарные случайные функции наиболее приемлемы в качестве математической модели сигнала, однако использование их на практике затруднено.

Поэтому с целью упрощения математического аппарата на случайные функции

накладывают некоторые ограничения, делающие случайную функцию стационарной.

Случайная функция X (t) называется стационарной в узком смысле, если ее n-

мерная плотность вероятности не зависит от начала отсчета параметра t.

На практике приходится идти еще на большие ограничения, рассматривая случайную функцию стационарной в широком смысле. Случайную функцию X (t)

называют стационарной в широком смысле (или просто стационарной) если ее

математическое ожидание и дисперсия не зависит от начала отсчета параметра t, а

предположение противоречит физическим свойствам реальных сигналов, которые имеют ограниченную длительность. Однако реальные случайные функции при неизменных внешних условиях, в установившемся режиме и на определенных диапазонах изменения параметров с некоторыми приближениями можно считать стационарными.

Анализируя выражения (2.107), (2.108), (2.109), можно заключить, что условие постоянства дисперсии (2.108) является частным случаем требования к

Поэтому дисперсия стационарной случайной функции является постоянной величиной, равной значению корреляционной функции при τ = 0 . Из чего следует, что

63

ни брали, всегда на определение точного вида этих функций будет влиять случайный характер выбора реализаций. Мы никогда не можем быть уверены в том, что добавление новых реализаций не приведет к некоторому, пусть даже совсем незначительному изменению вида определяемых функций, например, математического

ожидания.

Поэтому на практике мы всегда можем гарантировать только приближенное

Такие приближенные, зависящие от случая функции, называют оценками искомых функций.

Проблемы оценки параметров неизвестных случайных величин на основании

экспериментальных данных рассматриваются в математической статистике.

Несмещенность оценки показывает, что, пользуясь оценкой αˆ , мы не допускаем систематической ошибки. Если выполняется условие (2.119), то оценка называется состоятельной. Выполнение этого условия означает, что с увеличением числа экспериментальных данных оценка с вероятностью близкой к 1 приближается к точному значению параметра.

Пусть для случайной величины X на основании эксперимента получены

значения x1 , x2 ,..., xn . Тогда, как известно, оценки

65

T

K x (τ ) = lim 1 ∫[x(t )− mx ][x(t + τ )− mx ]dt . (2.127)

T →∞ T 0

Таким образом, если известно, что случайную функцию можно рассматривать стационарной и обладающей эргодическим свойством, то как процесс получения экспериментальных данных, так и процесс вычисления корреляционной функции существенно упрощается. Возможность или невозможность такого рассмотрения обычно удается понять при исследовании существа решаемой задачи.

Пусть, например, исследуются колебания самолета, связанные с турбулентностью атмосферы. Если полеты самолета осуществляются на разной высоте,

то при этом меняется плотность атмосферы, поэтому должен изменяться и характер колебаний самолета, то есть нет оснований считать исследуемый процесс обладающим эргодическим свойством.

Если во время этих же полетов осуществляется сканирование местности, то, так как с увеличением высоты полета уменьшается дисперсия получаемых при сканировании реализаций, измеряемую случайную функцию нельзя считать стационарной и, как следствие этого ее нельзя считать обладающей эргодическим свойством.

Поскольку предположение о наличии эргодического свойства у стационарной случайной функции обычно приводит к существенному упрощению проводимых исследований, его обычно принимают во всех тех случаях, когда нет особых оснований считать, что оно не выполняется.

§2.16. Спектральное представление случайных сигналов

Для описания случайных сигналов, описываемых случайными функциями,

может быть применен подход, аналогичный представлению детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов (§2.2).

67

Для определения требований к координатным функциям полезно рассмотреть

то

В частном случае, при t1 = t2 = t корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции X (t ):

Поэтому в качестве координатных функций ϕk (t ) целесообразно выбирать такие функции, которые обеспечили бы некоррелированность коэффициентов разложения

Ck . Разложение (2.129), использующее такие функции, называют каноническим разложением. В этом случае центрированная случайная функция будет характеризоваться совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайной функции. Этот спектр при каноническом разложении (2.129) является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число линий.

Основной трудностью при использовании канонического разложения является определение координатных функций, однако для стационарных случайных функций эта операция легко выполнима.

68

§2.17. Частотное представление стационарных случайных сигналов

Для канонического разложения стационарного случайного сигнала

заданного на интервале [- T ,T ], рассмотрим его корреляционную функцию Kx (τ ) и

разложим ее в ряд Фурье. Это разложение возможно, если считать корреляционную

что согласно (2.137) является каноническим разложением корреляционной функции, а

по нему можно получить каноническое разложение центрированной случайной функции:

69

Исходя из выражения (2.144), при попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положительными и отрицательными индексами K можно привести каноническое разложение к тригонометрической форме:

k =1

где ω1 = π ; 2T

mx = M [X (t )];

M [Ak ] = 0 ;

M [Ak2 ]= 2Dk .

Таким образом, стационарную случайную функцию на ограниченном интервале можно представить совокупностью гармонических составляющих с амплитудами,

являющимися некоррелированными случайными величинами, математические ожидания которых равны нулю. На рис.2.16 представлена спектральная диаграмма стационарной случайной функции, на которой каждой гармонике соответствует вертикальный отрезок с длиной, пропорциональной дисперсии ее амплитуды.

Dk

разложению, которое может быть получено из выражения (2.139) путем предельного перехода при T → ∞ . При этом переходе, как видно из (2.140), происходит

70

уменьшение значений дисперсий и сокращается расстояние между спектральными линиями, так как

процесса X (t), которая характеризует распределение дисперсии случайной функции по частотам.

Следует отметить, что величина S xT (ω k )× Dω является не только дисперсией Dk

коэффициента разложения корреляционной функции K x (τ ), но и дисперсией D[Ck ]

коэффициента разложения случайной функции X (t), поэтому величина S x (ω )dω ,

полученная в результате предельного перехода при T → ∞ , представляет собой

дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарной случайной функции, занимающие бесконечно малый интервал частот (ω;ω + dω ).

Формулу интегрального канонического разложения корреляционной функции

-¥