Signaly_1

32

Нетрудно видеть, что в данном случае «отрицательные» частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления действительной функции времени. Хотя, если рассматривать частоту как скорость изменения фазы гармонического сигнала (ω (t) = ϕ ′(t)), то отрицательные частоты приобретают физический смысл и они равноправны с положительным.

Графически амплитудный спектр гармонического сигнала S(t ) (рис.2.4а), может быть представлен как в виде, показанном на рис.2.4б, так и в виде, показанном на рис.2.4в.

S(t)

A0

-A0

а)

A A

34

Следует еще раз подчеркнуть, что полученные тригонометрический и экспоненциальные разложения в ряд Фурье не являются двумя различными типами рядов, а выражают одно разложение двумя различными способами. Как видно из выше приведенных выражений, коэффициенты одного разложения можно выразить через коэффициенты другого:

односторонним (не имеющим отрицательных частот) спектром амплитуд, а функцию

35

Как легко заметить из приведенных соотношений, спектры периодических сигналов определены только в дискретных точках n ×ω0 , поэтому спектры периодических сигналов называют линейчатыми или дискретными. Такие спектры принято изображать графически в виде вертикальных линий на частотах ω = n ×ω0 ,

причем высота каждой линии пропорциональна амплитуде или фазе соответствующей гармоники, что дает наглядное представление о «ширине спектра» и относительной величине отдельных ее составляющих.

На рис.2.5а показаны примеры амплитуды и фазы одностороннего частотного спектра периодического сигнала, представленного в комплексной форме.

Рис.2.5

Таким образом, две характеристики: амплитудная и фазовая каждой гармоники определяют частотный спектр периодического сигнала и однозначно его описывают.

Как видно из рис.2.5б двухсторонние спектры периодических сигналов обладают интересной особенностью: спектры амплитуд симметричны относительно оси ω = 0 , а спектры фаз симметричны относительно начала координат. Это легко доказать для общего случая. Действительно, исходя из выражений 2.14, 2.15, 2.16 Сn и

36

C−n являются комплексно-сопряженными величинами, следовательно Сn = С−n , то есть Сn - четная функция n и график функции Сn - симметричен относительно оси

ω = 0 .

Если Сn - действительная величина, то C−n - так же действительная величина и

Сn = С−n , а если Сn - комплексная величина, то

Сn = Cn × e−iϕn и C−n = Cn × eiϕn .

Следовательно ϕ n - нечетная функция n и ее график симметричен относительно

начала координат.

§2.5. Распределение энергии в спектре периодического сигнала

Положим, что сигнал S(t ) представляет собой периодическую функцию параметра t с периодом T. Средней за период мощностью сигнала назовем величину

аналогично тому, как определяется в физике мощность на активном сопротивлении величиной 1 Ом. Представим сигнал S(t ) в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, тогда выражение (2.30) предстанет в виде:

При возведении в квадрат правой части выражения (2.31) появятся слагаемые

следующих видов:

3. произведения синусов и косинусов с аргументами различной кратности.

37

Последний вид слагаемых при интегрировании за период Т обращаются в нуль, как ортогональные функции.

Таким образом, средняя мощность сигнала за период Т выразится следующим

соотношением:

где S0 = a0 - постоянная составляющая; 2

Sn - амплитуда n-й гармоники сигнала.

При использовании ряда Фурье в комплексной форме и с учетом (2.28) получим:

Итак, средняя мощность сигнала за период T равна сумме средних мощностей постоянной составляющей и гармоник. С энергетической точки зрения отдельные спектральные составляющие сложного периодического сигнала аддитивны, что является результатом ортогональности гармонических функций с кратными частотами.

Важно отметить, что мощность сигнала не зависит от величин фаз отдельных гармоник. Таким образом, изменение формы сигнала из-за изменений фазовых соотношений между отдельными гармониками, входящими в спектр сигнала, не влияет на среднюю мощность сигнала.

По виду функции Sn2 можно делать выводы о распределенной мощности в спектре периодического сигнала и, следовательно, определять полосу пропускания,

обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала.

§2.6. Преобразование Фурье.

Любой физически реализуемый сигнал является ограниченным по частоте, по времени и обладает конечной энергией. Ограничение по частоте и энергии следует из инерционности и ограничения мощности реально реализуемых источников сигналов и если сигнал обладает конечной энергией, то он должен быть ограничен и во времени.

38

С математической точки зрения это означает, что функции S(t ), отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и требованию абсолютной сходимости интеграла от модуля функции S(t ), то есть

-¥

где М - конечная величина.

Очевидно, что непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом (Т), стремящимся к бесконечности. Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно

возрастать, так как при T → ∞ основная частота

частоте ω0 , становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным (сплошным).

Таким образом, выражения для спектрального представления непериодического сигнала можно получить предельным переходом (при T → ∞ ) спектра периодического

сигнала, выраженного рядом Фурье.

Прямое и обратное преобразование Фурье для периодической функции SП (t)

запишем в форме, аналогичной (2.24):

до dω , nω0 превращается в текущую частоту ω , а операция суммирования заменяется операцией интегрирования. Таким образом, ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье:

Внутренний интеграл, являющийся функцией ω ,

39

−∞

называется прямым преобразованием Фурье, а результат этого преобразования S (iω )

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции S(t ). Внешний интеграл, являющейся функцией t,

называется обратным преобразованием Фурье. Эти соотношения безусловно справедливы только для абсолютно интегрируемой функции S(t ). Как видно из выражения (2.38), на каждой конкретной частоте значение соответствующей спектральной плотности, а следовательно, и амплитуды равно нулю. Из сравнения выражения (2.39) с рядом Фурье (2.24) видно, что бесконечно малому интервалу частоты dω соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой dCn = dC(i ×ω ), то есть

Сравнение выражений (2.38) и (2.25) позволяет пояснить физический смысл понятия «спектральная плотность». Для этого выделив какую-либо дискретную частоту

ωn = n ×ω0 , соответствующую в случае периодической функции n-й гармонике, найдем амплитуду этой гармоники:

T

−T

2

где T - конечно.

Так как интегралы в правых частях выражений (2.41) и (2.42) полностью совпадают, то

Множитель знаменателя 2 в правой части этого выражения учитывает то, что при использовании экспоненциальной формы ряда Фурье, в которой фигурируют отрицательные частоты, амплитуды гармоник равны половине амплитуд получаемых при одностороннем разложении.

Таким образом, значение спектральной плотности на частоте ω n равно отношению половины амплитуды гармоники ω n к основной частоте периодического сигнала, выраженной в герцах, которая равна полосе частот, отделяющей соседние линии дискретного спектра. Таким образом, физическая суть спектральной плотности – это плотность амплитуд и ее размерность [амплитудагерц]. Из анализа соотношения

(2.44) вытекает важное положение: непрерывный спектр (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом: