Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Signaly_1

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
761.84 Кб
Скачать

31

Еще одну форму комплексного представления гармонического сигнала можно получить исходя из формул Эйлера:

eix = cos x + i sin x, eix = cos x i sin x,

cos x = eix + eix , 2

sin x = eix eix . 2

В этом случае получаем следующее соотношение

S(t ) = A0 cos(ω0t + ϕ ) = 1 A0ei0t+ϕ )

2

+

1

A ei (ω0t) .

(2.16)

 

2

0

 

 

 

Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис.2.3а.

ω0

 

 

 

 

Im

 

 

 

ω0

A0

Im

A0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ω0t+φ

 

ω0t+φ

 

B Re

 

-(ω0t+φ) B

Re

а)

 

б)

-ω0

 

 

Рис. 2.3

Действительная функция S(t ) получается в первом случае как проекция OB

вектора A0 на горизонтальную ось, а во втором – как сумма проекций OB на ту же ось двух векторов с амплитудами A0 2 , вращающимися с угловой частотой ω0 во взаимнопротивоположных направлениях.

В соответствии с этим второе слагаемое в правой части выражения (2.16) можно трактировать как колебание с «отрицательной» частотой, что приводит к следующей записи:

32

S (t ) =

1

A [ei(ω0t ) + ei(−ω0t −ϕ ) ].

(2.17)

 

2

0

 

 

 

Нетрудно видеть, что в данном случае «отрицательные» частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления действительной функции времени. Хотя, если рассматривать частоту как скорость изменения фазы гармонического сигнала (ω (t) = ϕ ′(t)), то отрицательные частоты приобретают физический смысл и они равноправны с положительным.

Графически амплитудный спектр гармонического сигнала S(t ) (рис.2.4а), может быть представлен как в виде, показанном на рис.2.4б, так и в виде, показанном на рис.2.4в.

S(t)

A0

T0/2

t

T0

-A0

а)

A A

ω 0

=

ω

− ω 0

= −

ω 0

=

ω

T0

 

 

 

 

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

б)

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.4

 

 

 

 

 

 

33

Пусть S(t ) - периодическая функция, заданная на интервале [t1 ;t2 ] и

удовлетворяющая условию Дирихле (то есть S(t ) – непрерывна на этом интервале или имеет конечное число точек разрыва первого рода). Таким образом,

S(t ) = S (t + T ) ,

где T = t

- t =

- период функции S(t ).

 

2

1

ω0

 

 

В этом случае сигнал S(t ) может быть представлен в виде ряда Фурье, то есть

может рассматриваться как сумма гармонических колебаний с угловыми частотами ω n

(представлен в тригонометрической форме):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω n = n ×

= n ×ω

0 ,

 

n = 0,1,2,... ,

(2.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0 =

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

причем

 

ω0

 

 

 

 

 

 

называется основной частотой, а

ω1 2 ,Kω n - соответствующими

гармониками или обертонами.

 

 

 

 

 

 

 

Разложение производится по следующей формуле (тригонометрическая форма):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

S(t ) =

 

+ (an × cos nω0t + bn × sin nω0t) =

+ An × cos(nω0t + ϕn ),

(2.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

n=1

 

 

 

 

 

 

2

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где A

=

 

 

 

a 2 + b 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕn

= -arctg

bn

;

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.20)

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

S(t )dt

- постоянная составляющая;

 

 

 

(2.21)

2

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

=

2

 

 

2

 

S (t)cos nω0tdt ;

 

 

 

(2.22)

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

=

2

 

2

S(t )sin nω tdt .

 

 

 

(2.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

2

Ряд Фурье может быть записан и в комплексной форме:

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

¥

2

 

 

 

 

 

 

 

S(t ) =

1

Cn × e

+i (nω0t+ϕn ) =

1

Cn × einω0t =

2

einω0t S(t)× e-inω0t dt ,

(2.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n=-¥

 

 

 

2 n=-¥

 

 

 

 

 

 

 

T n=-¥

-

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i × n ×ω0 ) =

 

 

=

2

2

 

S (t)× e-in×ω0t dt ,

 

 

 

 

 

(2.25)

 

 

 

 

 

 

 

C

Cn

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

n = Cn × e-iϕn

= (an - ibn );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.26)

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-n = Cn × eiϕn = (an + ibn ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следует еще раз подчеркнуть, что полученные тригонометрический и экспоненциальные разложения в ряд Фурье не являются двумя различными типами рядов, а выражают одно разложение двумя различными способами. Как видно из выше приведенных выражений, коэффициенты одного разложения можно выразить через коэффициенты другого:

 

 

 

a0 = C0 ;

 

an =

 

 

 

 

 

 

 

 

bn = i(

 

n -

 

-n );

 

 

Cn + C-n ;

 

C

C

(2.27)

 

 

 

 

 

 

 

=

1

(a

 

- ib ),

 

 

 

=

1

(a

 

+ ib ).

 

 

 

 

 

 

C

n

n

C

-n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуды Сn и С-n являются взаимосопряженными комплексными

величинами и отвечают условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

= (a

 

- ib

 

 

)(a

 

 

+ ib

 

) = a 2

+ b2

= A2 .

(2.28)

 

 

C

n

C

-n

n

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

n

 

При тригонометрическом виде представления функцию An

= A(n ×ω 0 ) называют

односторонним (не имеющим отрицательных частот) спектром амплитуд, а функцию

ϕ n

= ϕ (n ×ω0 ) - называют спектром фаз (односторонним).

 

 

 

 

 

В случае

экспоненциального

вида представления

ряда Фурье

функцию

 

 

 

= C(i × n ×ω0 )

 

 

 

 

 

сигнала,

Сn

принято называть комплексным

спектром

периодического

если эту функцию (2.14) представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= C(i × n ×ω0 ) = C(n ×ω0 )× e-iϕn ;

n = 0,±1,±2,... ,

(2.29)

 

 

 

 

Сn

то функции C(n1 ×ω 0 )

и ϕ n = ϕ (n ×ω 0 )

называют соответственно спектром амплитуд и

спектром фаз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если известны спектры амплитуд и спектры фаз сигнала S(t ), то

в соответствии с (2.19) и (2.24), он может быть однозначно восстановлен.

 

35

Как легко заметить из приведенных соотношений, спектры периодических сигналов определены только в дискретных точках n ×ω0 , поэтому спектры периодических сигналов называют линейчатыми или дискретными. Такие спектры принято изображать графически в виде вертикальных линий на частотах ω = n ×ω0 ,

причем высота каждой линии пропорциональна амплитуде или фазе соответствующей гармоники, что дает наглядное представление о «ширине спектра» и относительной величине отдельных ее составляющих.

На рис.2.5а показаны примеры амплитуды и фазы одностороннего частотного спектра периодического сигнала, представленного в комплексной форме.

An

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

A

 

A3

 

A

A1

 

A1

 

A2

 

A

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A3

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An

 

 

 

n

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

0 ω

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

ωn

 

 

 

n

 

2 1 0

ω0

ω1

ω2

ωn

 

φn

 

 

 

 

φ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φn

 

 

φ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-φ1

 

 

 

φ2

 

 

 

 

 

 

φn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0

 

 

 

 

 

 

φn ω

n

 

2 1

ω0

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω1

 

ω2

ωn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

ω1

ω2

 

 

ωn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-φn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-φ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-φ3

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.5

Таким образом, две характеристики: амплитудная и фазовая каждой гармоники определяют частотный спектр периодического сигнала и однозначно его описывают.

Как видно из рис.2.5б двухсторонние спектры периодических сигналов обладают интересной особенностью: спектры амплитуд симметричны относительно оси ω = 0 , а спектры фаз симметричны относительно начала координат. Это легко доказать для общего случая. Действительно, исходя из выражений 2.14, 2.15, 2.16 Сn и

36

Cn являются комплексно-сопряженными величинами, следовательно Сn = Сn , то есть Сn - четная функция n и график функции Сn - симметричен относительно оси

ω = 0 .

Если Сn - действительная величина, то Cn - так же действительная величина и

Сn = Сn , а если Сn - комплексная величина, то

Сn = Cn × eiϕn и Cn = Cn × eiϕn .

Следовательно ϕ n - нечетная функция n и ее график симметричен относительно

начала координат.

§2.5. Распределение энергии в спектре периодического сигнала

Положим, что сигнал S(t ) представляет собой периодическую функцию параметра t с периодом T. Средней за период мощностью сигнала назовем величину

 

T

 

W =

1

T

S 2 (t)dt ,

(2.30)

 

 

T

 

 

 

 

 

 

0

 

 

аналогично тому, как определяется в физике мощность на активном сопротивлении величиной 1 Ом. Представим сигнал S(t ) в виде ряда Фурье в тригонометрической форме, тогда выражение (2.30) предстанет в виде:

 

 

1

T

a

0

 

 

 

2

 

WT

=

 

 

+ (an

× cos n ×ω0 × t + bn

× sin n ×ω0

× t )

dt .

(2.31)

T

2

 

 

0

 

n=1

 

 

 

 

 

При возведении в квадрат правой части выражения (2.31) появятся слагаемые

следующих видов:

a

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. a 2

cos2 × n ×ω

0

× t

и

b 2

×sin n ×ω

0

×t ;

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

3. произведения синусов и косинусов с аргументами различной кратности.

 

 

 

a

0

 

2

 

 

 

а2

Постоянная составляющая

 

 

после интегрирования даст

0

×Т .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

Слагаемые второго вида после приведения к форме:

 

 

 

an

2

× (1 + cos 2 × n ×ω0 × t )

и

b2 n

(1- cos 2 × n ×ω0 ×t )

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

и интегрирования в пределах [0;T ] дают

 

 

 

 

a 2

 

b2

 

n

×T

и

n

×T .

2

2

 

 

 

Последний вид слагаемых при интегрировании за период Т обращаются в нуль, как ортогональные функции.

Таким образом, средняя мощность сигнала за период Т выразится следующим

соотношением:

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

W

=

a0

+

(a 2

+ b2 )

=

S 2

+

S 2

,

(2.32)

 

 

 

 

T

 

 

 

 

n

n

 

 

 

0

 

 

n

 

 

 

 

4 2 n=1

 

 

 

 

 

 

 

2 n=1

 

 

 

 

где S0 = a0 - постоянная составляющая; 2

Sn - амплитуда n-й гармоники сигнала.

При использовании ряда Фурье в комплексной форме и с учетом (2.28) получим:

 

 

1

+∞

 

 

 

 

 

 

 

1

+∞

 

 

 

 

2

 

C 2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WT

=

 

Cn

× Cn

 

=

 

 

Cn

 

=

0

+

 

Cn

 

.

(2.33)

 

 

 

 

 

 

4 n=−∞

 

 

 

 

 

4 n=−∞

 

 

 

 

2

n=1

 

 

 

 

 

Итак, средняя мощность сигнала за период T равна сумме средних мощностей постоянной составляющей и гармоник. С энергетической точки зрения отдельные спектральные составляющие сложного периодического сигнала аддитивны, что является результатом ортогональности гармонических функций с кратными частотами.

Важно отметить, что мощность сигнала не зависит от величин фаз отдельных гармоник. Таким образом, изменение формы сигнала из-за изменений фазовых соотношений между отдельными гармониками, входящими в спектр сигнала, не влияет на среднюю мощность сигнала.

По виду функции Sn2 можно делать выводы о распределенной мощности в спектре периодического сигнала и, следовательно, определять полосу пропускания,

обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала.

§2.6. Преобразование Фурье.

Любой физически реализуемый сигнал является ограниченным по частоте, по времени и обладает конечной энергией. Ограничение по частоте и энергии следует из инерционности и ограничения мощности реально реализуемых источников сигналов и если сигнал обладает конечной энергией, то он должен быть ограничен и во времени.

38

С математической точки зрения это означает, что функции S(t ), отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и требованию абсолютной сходимости интеграла от модуля функции S(t ), то есть

 

S (t )dt £ M ,

(2.34)

где М - конечная величина.

Очевидно, что непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом (Т), стремящимся к бесконечности. Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно

возрастать, так как при T → ∞ основная частота

ω 0 =

 

(2.35)

Т

 

 

будет стремиться к нулю, а их амплитуды также будут стремиться к нулю.

Следовательно, расстояние между спектральными линиями,

равное основной

частоте ω0 , становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным (сплошным).

Таким образом, выражения для спектрального представления непериодического сигнала можно получить предельным переходом (при T → ∞ ) спектра периодического

сигнала, выраженного рядом Фурье.

Прямое и обратное преобразование Фурье для периодической функции SП (t)

запишем в форме, аналогичной (2.24):

 

 

 

 

 

 

 

 

SП (t) =

1

 

 

(i × n ×ω0 )× e+i×n×ω0 ×t ;

С

 

 

 

 

2 n=-¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

(2.36)

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

(i × n ×ω0 ) =

 

SП (t )e-i×n×ω0 ×t dt.

С

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Периодический сигнал SП (t) преобразуется в непериодический сигнал S(t )

путем предельного перехода при T → ∞ . При этом основная частота ω0 уменьшается

до dω , nω0 превращается в текущую частоту ω , а операция суммирования заменяется операцией интегрирования. Таким образом, ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье:

 

1

+¥ +¥

 

 

S(t ) =

∫ ∫ S (t)× e-i×ω×t dt ei×ω×t dω .

(2.37)

 

-¥ -¥

 

 

Внутренний интеграл, являющийся функцией ω ,

39

 

S (iω ) = S (t)× eiωt dt

(2.38)

−∞

называется прямым преобразованием Фурье, а результат этого преобразования S (iω )

называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции S(t ). Внешний интеграл, являющейся функцией t,

 

1

 

S(t ) =

 

(iω )eiωt dω ,

(2.39)

S

 

−∞

 

 

 

 

называется обратным преобразованием Фурье. Эти соотношения безусловно справедливы только для абсолютно интегрируемой функции S(t ). Как видно из выражения (2.38), на каждой конкретной частоте значение соответствующей спектральной плотности, а следовательно, и амплитуды равно нулю. Из сравнения выражения (2.39) с рядом Фурье (2.24) видно, что бесконечно малому интервалу частоты dω соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой dCn = dC(i ×ω ), то есть

dC(iω ) =

1

 

 

(i ×ω )dω .

(2.40)

S

π

 

 

 

 

 

Сравнение выражений (2.38) и (2.25) позволяет пояснить физический смысл понятия «спектральная плотность». Для этого выделив какую-либо дискретную частоту

ωn = n ×ω0 , соответствующую в случае периодической функции n-й гармонике, найдем амплитуду этой гармоники:

T

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

(i ×ωn ) =

2

2 S(t)× eiωnt dt .

(2.41)

 

 

 

 

 

Сn

C

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Для непериодической функции, совпадающей с периодической на интервале

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω = ωn ,

-

 

;

 

 

ее спектральная плотность, соответствующая той же частоте

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяется выражением :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i ×ωn ) = S (t )× eiωnt dt ,

(2.42)

 

 

 

 

 

 

 

 

S

T

2

где T - конечно.

Так как интегралы в правых частях выражений (2.41) и (2.42) полностью совпадают, то

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i ×ωn ) =

 

T

×

 

(iωn ).

 

(2.43)

 

 

S

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

T =

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F0

 

 

где F =

ω0

- циклическая частота, соответствующая круговой частоте ω , получим:

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(iωn ) =

 

 

(i ×ω n )

.

 

 

 

 

 

 

 

C

 

(2.44)

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 × F0

 

 

Множитель знаменателя 2 в правой части этого выражения учитывает то, что при использовании экспоненциальной формы ряда Фурье, в которой фигурируют отрицательные частоты, амплитуды гармоник равны половине амплитуд получаемых при одностороннем разложении.

Таким образом, значение спектральной плотности на частоте ω n равно отношению половины амплитуды гармоники ω n к основной частоте периодического сигнала, выраженной в герцах, которая равна полосе частот, отделяющей соседние линии дискретного спектра. Таким образом, физическая суть спектральной плотности – это плотность амплитуд и ее размерность [амплитудагерц]. Из анализа соотношения

(2.44) вытекает важное положение: непрерывный спектр (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом:

Сn

=

2 × S (ω n )

=

ω0

× S (ω n ).

 

π

 

 

T

 

Из выражения (2.38) с учетом формулы Эйлера можно получить выражение для спектральной плотности (S (iω )), а, следовательно, и прямое преобразование Фурье, в

тригонометрической форме:

 

 

+∞

+∞

 

 

 

(iω ) = S(t )× cosω tdt - i S(t)× sin ω tdt .

(2.45)

S

 

 

−∞

−∞

 

Спектральная плотность S (iω ) величина комплексная, поэтому для нее справедливо следующее представление

 

 

(iω ) = A(ω ) - i × B(ω ) = S (ω )× eiψ (ω ) ,

(2.46)

S

+∞

где A(ω ) = S(t )× cosω tdt - действительная часть S (iω );

−∞

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]