- •Переменные и постоянные величины
- •Упорядоченная переменная величина. Числовая последовательность
- •Функция
- •Понятие предела числовой последовательности
- •Примеры.
- •Примеры.
- •Односторонние пределы
- •Первый замечательный предел
- •Примеры:
- •Точки разрыва и их классификация
- •Примеры.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Геометрический смысл производной
- •Примеры.
- •Основные правила дифференцирования
- •Теорема о производной сложной функции
- •Теорема о производной обратной функции
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Теорема об инвариантности дифференциала
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Примеры.
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная неявной функции
- •Примеры.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях
- •Разложение по формуле маклорена некоторых элементарных функций
- •Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Асимптоты графика функции
- •Вертикальные асимптоты
- •Гиперболические функции
Примеры:
-
y = sinx3. Здесь u = x3, y = sin u.
-
y = etg x, u = tg x, y = eu.
Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке значение u0 = φ(x0), а функция f(u) непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x0.
Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.
Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке отлично от 0, f(x0) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x0– δ;x0+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).
Точки разрыва и их классификация
Если рассмотреть график функции в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 2. Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.
Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.
В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке x0 функция не определена или не существует предел , или если предел существует, но .
Примеры.
-
Рассмотрим функцию:
Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:
Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 – слева, т.к.
.
-
Как уже отмечалось, функция разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 функция не определена: .
-
Функция разрывна при x = 0. Действительно, . При x = 0 функция не определена.
-
Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).
Точки разрыва функции можно разбить на два типа.
Точка разрыва x0 функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
Примеры: В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.
-
Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.
-
Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.