- •Переменные и постоянные величины
- •Упорядоченная переменная величина. Числовая последовательность
- •Функция
- •Понятие предела числовой последовательности
- •Примеры.
- •Примеры.
- •Односторонние пределы
- •Первый замечательный предел
- •Примеры:
- •Точки разрыва и их классификация
- •Примеры.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Геометрический смысл производной
- •Примеры.
- •Основные правила дифференцирования
- •Теорема о производной сложной функции
- •Теорема о производной обратной функции
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Теорема об инвариантности дифференциала
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Примеры.
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная неявной функции
- •Примеры.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях
- •Разложение по формуле маклорена некоторых элементарных функций
- •Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Асимптоты графика функции
- •Вертикальные асимптоты
- •Гиперболические функции
Разложение по формуле маклорена некоторых элементарных функций
-
Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:
Таким образом, получаем
Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.
Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:
причем остаток
Отметим, что для любого x R остаточный член
Действительно, так как ξ (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x
Имеем
Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.
Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать
Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,
Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.
-
Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.
Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:
Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим
.
Так как , то аналогично разложению ex можно показать, что для всех x.
Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:
Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.
-
f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:
Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.
-
f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).
Найдем формулу МакЛорена для данной функции.
Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.
Можно доказать, что если x (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x ( –1;1].
-
f(x) = (1+x)m, где m R, m≠0.
При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:
И следовательно,
Можно показать, что при |x|<1
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ
Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.
Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) >f(x2).
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
(-∞, a), (c, +∞) – убывает;
(a, b) – постоянная;
(b, c) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.