Гиперболические функции

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

 – гиперболический синус.

 – гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е.  и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

  shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^-x

 

Проведем исследования функции y = th x.

1. 1. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.

   2. Точка пересечения с осями координат .

2.  

, функция возрастает на (–∞; +∞).

3. 

4. 1. Вертикальной асимптоты нет.

   2. .

y = cth x

1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет

2.  

 убывает на .

3. 

4. 1. 

   2. При x → +∞