Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

.pdf

Скачиваний:

114

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Звідси S ABC

1 4 4 36 11 кв. од.

Отже, S ABC

11 (кв. од.)

в) Розглядаючи АС як вектор

, маємо:

3, 3, 2 2, 4, 2 1, 1, 0 .

ВС

Звідси

12 1 2

02 2 .

г) Використаємо формулу і вектори

, знайдені в п. б:

cos ABC

3 2 3 4 2 2

9 9 9

4 16 4

1233 .

Звідси ABC arccos 1233 .


		д) Об’єм піраміди обчислюється за формулою V																									1								, де
		д) Об’єм піраміди обчислюється за формулою V																									1	a			b			c	, де
					— мішаний добуток векторів									,				,				.					6
	a		b	c	— мішаний добуток векторів								a	,			b	,		c		.
		Маємо: V 1				1	0	0	1	2 1 (куб. од.).
						1	0	0
						4	3	2
6						2	1	0	6	3
		Задача 2.1-3. На векторах										2i 3				,					i			,		2				4			по-
		Задача 2.1-3. На векторах									m	2i 3			j	,			n		i		k	,	p	2			j	4		k	по-

будовано паралелепіпед, де i, j, k — орти відповідної системи

координат. Знайти за методами векторної алгебри:

а) об’єм паралелепіпеда;

б) площу грані, побудованої на векторах m i n;

в) довжину діагоналі паралелограма, побудованого на векторах m i p;

г) кут між стороною m і діагоналлю грані, утвореної векторами m i p.

188

а)

Об’єм обчислюємо за формулою V

, де

xi , yi , zi

i 1,

2, 3

— відповідні координати векторів

. У

нашому випадку

12 4 8 (куб. од.).

Отже, об’єм паралелепіпеда дорівнює 8 куб. од.

б) Грань, побудована на векторах m i n , є паралелограмом. Площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів m i n :


							S							.
							S		m				n	.
Векторний добуток обчислюється так:
						i
						i		j		k
						2	3		0			3i 2				3		.
			m	n		2	3		0			3i 2			j	3	k	.
						1	0		1
Звідси S					32 2 2						3 2 22 (кв. од.).
Звідси S	m	n			32 2 2						3 2 22 (кв. од.).

в) Діагональ паралелограма d m p.

У нашому випадку d 2i 3 j 2 j 4k 2i 5 j 4k.

Звідси			22 52	4 2		45 3 5.
	d

г) Використовуючи дані, обчислені в п. в, зводимо задачу до знаходження кута між векторами m i d:

					2 2 3 5 0 4	19		19 65 .
cos		m	d

	m			d	22 32 3 5	3 13	5	195

Отже, arccos1919565 .

189

Задача 2.1-4. Паралелограм побудовано на векторах a 3 p 2q і b 2 p 4q , p 1, q 1, p, q 3 . Методами векторної алгебри

знайти:

а) довжини діагоналей; б) кут між діагоналями.

а) Відомо, що

d1 a b 3 p 2q 2 p 4q p 6q .

d2 a b 3 p 2q 2 p 4q 5 p 2q.

				Тобто довжина																			діагоналі																	d	1					d 2				(	p		6			q	)2
																																									1				1
					2 12																. Оскільки																	2									cos 0 1 1 1 1;
				p	2 12						pq 36q 2										. Оскільки													p				2						p	p		cos 0 1 1 1 1;
			2									cos 0 1;																					cos 60o												1 ,			то

	q				q				q												p	q						p				q
																																													2
							1 12 1 1 1 36																			31,																			2

		d
		1																	2
							5											2	2							2 20																		2			25 20 1 1 1 4												19.
											2										25																4
		d2						p			2					q					25			p							p				q		4					q
																																																		2
				Маємо:															31,								19.																							2
				Маємо:									d1						31,				d2				19.
				б) Кут між діагоналями розглядаємо як кут між двома векто-
рами d1 i										d2			:
																											6				5								2								5			2 32					12				2
																	d1		d2						p		6			q	5					p			2					q			5		p	2 32			p	q	12			q	2
						cos																																												19 31
						cos																				19					31
															d1				d2							19					31
														5 1						32				1		12 1																	1							589
														5 1						32				2		12 1																	1							589
																																																				.
																				19 31																				19 31										589		.
				Отже, arccos																						589			.
				Отже, arccos																									.
																								589

190

Задача 2.1-5. Вектори AB 3i 2 j і BC i 2 3 j — це сторони трикутника. Обчислити кути трикутника, довжину медіани АD, якщо i, j — взаємно перпендикулярні одиничні вектори.

1) Знаходимо

AC AB BC 4i 2 2 3 j.

Кути трикутника такі:

																			3 4 4 1				3
	cos BAC										AB			AC					3 4 4 1				3
																				42 2 2 3 2
											AB			AC					32 22	42 2 2 3 2
					16 4 3													8 2 3			8 2 3			.
																								.
			13 2 8 2 3														13 8 2 3					13
																			3 1 2 2 3		3 4				3 .
	cos ABC											BA			BC				3 1 2 2 3
	cos ABC
												BA				BC			13 13				13
													1 4 2 3 2 2 3										4 4 3 12
cos BCA					CB		CA						1 4 2 3 2 2 3										4 4 3 12
																		42 2 2		3 2

				CB				CA					13										13 2			8 2 3
	2 8 2 3											8 2 3						.
						3												.
	13 2	8 2				3							13
A arccos			8 2						3	; B arccos 3 4										3 ;	C arccos						8 2	3	.
		13																	13								13

191

2) Медіану AD розглядаємо як вектор, тому

																																																									7 i 1 3
																																															BC																														.
																AD										AB								BD								AB					BC																													j	.
																																															2										2
	Визначаємо довжину медіани:
			AD											7							2			1											3				2				49						1									2 3 3																	65 8										3	.
			AD																					1											3								4						1									2 3 3																				4								.
														2																													4																																			4
	Довжина медіани AD																																								65 8						3				.
	Довжина медіани AD																																										2								.
																																											2
	Задача 2.1-6. Знайти проекцію вектора																																																	6							5										занапрямом
	Задача 2.1-6. Знайти проекцію вектора																																														a			6				m			5					n					занапрямом
вектора								4										3						,					де																		1 ,													,						120 . Застосовуємо
вектора					b			4					m					3					n	,					де							m									n		1 ,											m		,				n		120 . Застосовуємо
формулу:

																																																a							b			cos
																																																																						a				b
																				пр				b			a						a			cos																																		a				b				.


																																																						b																		b
																																																						b																		b

	У нашому випадку
																				6						5							4							3									24									2 38													15										2
						пр																m									n							m					n											m													m		n										n						,
										b		a										m									n							m					n											m													m		n										n
												a																4m 3n 2																															2 24
																																																				16																					9										2
																																																				16				m												m			n		9							n			2
але			2																cos 0 1 1 1 1 ,																											2															cos 0 1 1 1 1 ,
але		m	2				m							m					cos 0 1 1 1 1 ,																									n		2						n						n			cos 0 1 1 1 1 ,
																																								1							1
m n				m						n																														1							1		.
m n				m						n					cos120 1 1																									2							2		.
																											1


	Тому прb																			24 38 2															15								20									20					13 .
												a								24 38 2															15								20									20
												a																															13
																							16 12 9																				13									13
	Звідси пр																20										13 .
	Звідси пр											b			a		20										13 .
												b												13
																								13
	Задача 2.1-7. Перевірити на компланарність вектори:
											2i 3																					,							2i 2																										6i 4																			.
									p		2i 3														j					k		,					q		2i 2								j						k,										r		6i 4										j							k		.

192

Якщо вектори компланарні, то визначник, складений із координат цих векторів, дорівнює нулю (мішаний добуток векторів тотожний нулю).

				2	3	1

Маємо				2	2	1	4 18 8 12 6 8 0 .
	p	q	r
				6	4	1

Отже, вектори компланарні (лежать в одній площині, лінійно

залежні 2 р q

Задача 2.1-8. Для вектора

4i 3

, де

— орти

відповідної системи координат, знайти:

а) довжину вектора p ;

б) напрямні косинуси вектора

;

в) проекцію вектора

на вектор

2i 3

а) Згідно з формулою

x2 y2 z2

, де x, y, z — коор-

динати вектора

, маємо

42 3 2

29.

б) Відомо, що cos

cos

Оскільки

29 і відомі координати вектора, маємо

cos

в) Проекція вектора p на вектор q становить:

						p			q
пр					cos	p			q	cos		p q			4	2 3 3 2 6						11		11 .
			p	p

	q
	q						q						q				22 32 62				49			7
							q						q				22 32 62				49			7
				29; cos					4		; cos			3			; cos	2	; пр				11 .
		p							4					3				2			p
		p																		q	p
								29						29				29		q	7
								29						29				29			7

193

Задача 2.1-9. Дано: вектор a 3, 6, 2 . Знайти:

а) довжину вектора а ; б) одиничний вектор, паралельний вектору а ;

в) одиничний вектор, одночасно перпендикулярний до вектора
а і осі ОХ;						на вектор р 2, 3, 6 .
г) проекцію вектора а						на вектор р 2, 3, 6 .
а) Згідно з формулою									x 2 y 2 z 2	9 36 4 7.
а) Згідно з формулою								a	x 2 y 2 z 2	9 36 4 7.
	а	3		6		2
	а	3		6		2
б) a0			,		,		.
	а	7		7		7

в) Припустимо, що вектор m , який потрібно знайти, має координати m x, y, z . Цей вектор перпендикулярний до векторів

a 3, 6, 2 і (1, 0, 0).

																		3x		6 y 2z 0											z 3y
	Звідси									m 0								3x		6 y 2z 0											z 3y
	Звідси					a				m 0																							.
						x 1 0												x 0													x 0
	Отже, т 0, y, 3y .
	Оскільки										т			одиничний, то														y2 9 y2				1 10y						2 1 ,		y2		1	,
	Оскільки										т			одиничний, то														y2 9 y2				1 10y						2 1 ,		y2	10		,
		1										1																													10
y		1		,		y	2					1					.
y				,		y											.
1	10											10
	10											10
																		1		3												1			3

									m 0,										,			,		m						0,			,						.
									m 0,										,			,		m						0,			,						.
										1								10		10				2								10	10
																		10		10												10	10
	г) пр					3 2 6 3 2 6																			36 ,
	г) пр		b		a	3 2 6 3 2 6																			36 ,
			b												4 9 36												7
															4 9 36												7

																							a			p								a			p
оскільки пр										a			a			cos a,					p								cos		a, p					,		.
оскільки пр										a			a			cos a,					p								cos		a, p					,		.
								p																	p											p
																									p											p

194

Метод координат і пряма лінія

Задача 2.2. У трикутнику АВС відомі координати вершин А

(9, 1), В (–3, –4), С (–7, –1).

	y
D		А (9, 1)
D		х
С (– 7, – 1)	0	х
В (–3, – 4)
		H

Знайти:

а) довжину сторони ВС; б) рівняння ВС;

в) рівняння висоти АН, проведеної з точки А; г) довжину висоти, проведеної з точки А;

д) рівняння бісектриси ВD внутрішнього кута В трикутника; е) площу трикутника; є) кут В у радіанах з точністю до двох знаків.

а) Використаємо формулу відстані між двома точками В і С:

BC	x x	В	2 y y	B	2	3 7 2 4 1 2 16 9 5 .
	С	В	C	B

Отже, ВС = 5.

б) Скористаємось рівнянням прямої, яка проходить через дві точки:

x x1			y y1
x	2	x	y	2	y
	2	1		2	1

Беручи x1 3,		y1 4,		x2 7, y2 1, дістаємо:
x 3	y 4	x 3	y 4		3x 9 7 y 16 3x 4 y 25 0 .
7 3	1 4	4
				3

(ВС): 3x 4 y 25 0.

195

в) Висота АН ВС, тому AH BC 0. Позначимо точку Н(х, у),

тоді AH x 9, y 1 ; BC 7 3, 1 4 4, 3 і

4 x 9 3 y 1 0 4x 3y 33 0 . (АН): 4x 3y 33 0.

г) Задача зводиться до знаходження відстані від точки А до прямої ВС, яка обчислюється за формулою

AH d Ax0 By0 C ,

A2 B2

де Ax By C 0 — рівняння прямої ВС; х0, у0 — координати точки А. Маємо:

AH d	3 9 4 1 25	56	11,2.


	32 42	5

Довжина АН = 11,2.

д) Бісектриса BD трикутника АВС — це геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих ВС і ВА. Рівняння ВС знайдено в п. б. Аналогічно знаходимо рівняння прямої ВА:

x xB

y yB

;

xA xB

yA yB

x 3

y 4

5 x 3 12 y 4 5x 12 y 33 0 ;

9 3

1 4

3x 4 y 25

5x 12 y 33

32 42

52 122

Для внутрішнього кута трикутника дістаємо:

3x 4 y 25	5x 12 y 33	39x 52 y 325
5	13

25x 60 y 165 64x 8y 160 0 8x y 20 0.

Отже, 8x y 20 0.

196

е) Площу трикутника можна обчислити, використавши: 1) векторний добуток;

2) формулу S 1		x1	y1	1	;
		x1	y1	1
		x2	y2	1
	2	x3	y3	1
3) S 1 a h.
2
Використаємо останню формулу:
S	1 a h	1	BC AH			1	5	56	28 кв. од.
	2	2				2		5

S 28 (кв. од.).

є) Шуканий кут можна обчислити як кут:

1)між двома векторами BC і BA ;

2)між прямими ВА і ВС через кутові коефіцієнти. Обчислимо кут способом 2:

tg B k2 k1 , 1 k2k1

де k1 і k2 — кутові коефіцієнти прямих АВ і ВС.

k	yA yB		1 4								5	, k		2		yC yB			1 4	3		3	.
k												, k											.
1	xA xB		9 3							12						xC xB			7 3	4	4
	xA xB		9 3							12						xC xB			7 3	4	4
				3			5					14			14
												12					12	56 ;
Звідси tg B					4			12				12					12
Звідси tg B						3	5
						3	5				1			5	11			33
			1												16
			1			4			12				16		16
B arctg		56			3,14 1,04 2,10 .
		33

Задача 2.2-1. У трикутнику АВС дано рівняння двох сторін: АВ — 7x 5y 10 0 і АС — 3x y 2 0 , а також точку перетину

медіан М (1, 1).

197

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251.67 Mб0biznesplan_correct111.doc
#
07.03.2016116.21 Кб88biznes_dkr.docx
#
09.09.2019715.78 Кб2BLOCK-4.doc
#
07.03.2016139.78 Кб12Blok_10_11.doc
#
01.05.202549.52 Кб0Blok_viznachen1.docx
#
07.03.20165.29 Mб114bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki.pdf
#
01.05.2025876.03 Кб0BM.doc
#
22.03.2015389.92 Кб16BNP Paribas Inc in Consumer Finance.docx
#
01.05.202529.45 Кб0Boo.docx
#
17.09.20191.92 Mб26Book.doc
#
22.03.20152.54 Mб14Bosch2.docx