int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

Раздел III. Электромагнетизм

основания в поле положительного заряда, k — коэффициент пропорциональности, g — ускорение свободного падения, ϕ1 — потенциала поля на вершине.

Дано: Решение

hПо закону сохранения энергии сумма потен-

αциальной энергии тела на высоте h над осно-

qванием наклонной плоскости W p и электриче-

mской энергии этого тела W1 на вершине наклон-

kной плоскости в поле положительного заряда

gравна сумме кинетической энергии тела у

основания наклонной плоскости W k и электри- v — ? ческой энергии этого тела W2 у основания в поле положительного заряда:

Потенциальная энергия тела на вершине наклонной плоскости равна произведению его массы, ускорения свободного падения g и высоты наклонной плоскости h:

Электрическая энергия тела на вершине наклонной плоскости равна произведению модуля заряда тела и потенциала ϕ1 поля на вершине:

Электрическая энергия тела у основания наклонной плоскости на расстоянии h сtg Dот положительного заряда равна:

481

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Подставим правые части равенств (2), (3), (4) и (5) в формулу (1) и из полученного выражения найдем скорость тела у основания наклонной плоскости:

С10. Энергия двух заряженных проводников W1 и W2, их емкости одинаковы. Какое количество теплоты выделится при соединении этих проводников?

Обозначим W1 энергию первого проводника, W1 — энергию второго проводника, W — энергию проводников после их соединения, q1 — заряд первого проводника до соединения, q2 — заряд второго проводника до соединения, С — емкость каждого проводника.

Энергию проводников до соединения выразим через их заряды и емкости:

а энергию проводников после соединения выразим через их суммарный заряд и одинаковый потенциал:

W = q1 + q2 ϕ.

2

Поскольку емкости проводников одинаковы, суммарный заряд их q1 + q2 при соединении разделится поровну, и на

482

Раздел III. Электромагнетизм

каждом из них после соединения окажется заряд q1 + q2 , а

2

потенциалы их станут одинаковы. Потенциал каждого проводника после соединения

С11. Поверхностная плотность зарядов на обкладках воздушного конденсатора 0,1 мкКл/м2, их площадь 5 см2, емкость конденсатора 1 пФ. Найти скорость электрона, пролетевшего от одной обкладки к другой без начальной скорости. Силой тяжести, действующей на электрон, пренебречь.

Обозначим V поверхностную плотность зарядов на обкладках конденсатора, S — площадь обкладок, С — емкость конденсатора, v 0 — начальную скорость электрона, v — конечную скорость электрона у другой обкладки, а — ускорение электрона, me — его массу, F — силу, действующую на электрон в электрическом поле конденсатора, d — расстояние между обкладками конденсатора.

483

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Выразим все величины в единицах СИ: 0,1 мкКл/м2 = = 0,1 · 10–6 Кл/м2 = 10–7 Кл/м2, 5 см2 = 5 · 10–4 м2, 1 пФ = 10–12 Ф.

484

Раздел III. Электромагнетизм

M1, а потенциал клеммы 2 — буквой M2. Тогда левая обкладка конденсатора С1, соединенная с клеммой 1, будет иметь потенциал M1, а правая обкладка конденсатора С2 по той же причине будет иметь потенциал M2. А правая обкладка конденсатора С1 и левая обкладка конденсатора С2 будут иметь потенциал MN, поскольку конденсаторы соединены в точке N между собой. Поэтому заряд на конденсаторе С1 будет равен:

q = C1(M1 – MN),

а такой же заряд на конденсаторе С2:

q = C2(MN – M2).

Поскольку о зарядах в условии речь не идет, «уйдем» от них, приравняв правые части этих равенств:

Потенциал MN мы ввели в формулу. Теперь ввести бы в наше решение потенциал MM. Посмотрим внимательно на чертеж. Правая клемма источника напряжения U1 и левая клемма источника напряжения U2 соединены друг с другом в точке М, значит, потенциал этих клемм одинаков и равен MМ. Далее, мы вправе записать, что

485

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Сами потенциалы MМ и MN нам не нужны, а нужна их разность. А вот от потенциалов M1 и M2 нам следовало бы «уйти». Только как? А что если выразить из формул (2) и (3) эти самые потенциалы и подставить правые части полученных выражений в формулу (1) вместо M1 и M2? Давайте попробуем и посмо-

Теперь можно найти из этого равенства разность MМ – MN (правда, справа придется поменять потенциалы местами, там ведь в скобках MN – MM, но это не проблема). Раскрываем скобки в равенстве (6), оставляя при этом разность потенциалов в скобках:

С1U1 + C1(MM – MN) = C2(MN – MM) + C2U2

или

C1U1 + C1(MM – MN) = – C2(MM – MN) + C2U2.

Ответ: MМ – MN | 2,7 В.

С13. Проводник емкостью 5 пФ заряжен до потенциала 0,5 кВ, а проводник емкостью 8 пФ заряжен до потенциала 0,8 кВ. Расстояние между проводниками велико по сравнению с их размерами. Какое количество теплоты выделится при соединении этих проводников проволокой?

Обозначим C1 емкость первого проводника, M1 — его потенциал до соединения со вторым проводником, C2 — емкость второго проводника, M2 — его потенциал до соединения с первым проводником, Q — количество теплоты, которое выделится

486

Раздел III. Электромагнетизм

при соединении этих проводников проволокой, W — общую энергию проводников после их соединения, W1 — энергию первого проводника до их соединения, W2 — энергию второго проводника до их соединения, q1 — заряд на первом проводнике до соединения, q2 — заряд на втором проводнике до соединения, q — общий заряд на проводниках, M— потенциал проводников после их соединения.

Решение

В подобных задачах для нахождения выделенного количества теплоты лучше всего использовать закон сохранения энергии, согласно которому это количество теплоты равно разности общей энергии проводников W после их соединения и энергии каждого

проводника W1 и W2 до соединения

Общую энергию проводников после их соединения лучше определить по формуле, куда не входит общая емкость соединенных проводников, поскольку ее мы не знаем (здесь нельзя применять законы последовательного или параллельного соединения конденсаторов):

Общий заряд проводников q после их соединения по закону сохранения зарядов равен сумме их зарядов q1 и q2 до соединения:

q = q1 + q2.

Заряды на каждом проводнике до соединения можно найти, воспользовавшись формулой емкости, из которой следует, что

q1 = C1M1 и q2 = C2M2.

Подставим правые части этих двух равенств в предыдущее выражение:

После соединения потенциал проводников Mстал одинаков. Заряд на пером проводнике стал равен С1M, а на втором — С2M. Тогда, согласно закону сохранения зарядов,

487

Физика для старшеклассников и абитуриентов

С1M1 + С2M2 = С1M + С2M ,

Теперь подставим правые части равенств (3) и (4) в формулу (2). Так мы определим общую энергию проводников после соединения через известные нам величины:

Энергии проводников до соединения проще определить по формуле 158):

Нам осталось подставить правые части формул (6) и (7) в равенство (1) и выполнить упрощения:

Задача в общем виде решена. Но полученное довольно громоздкое выражение можно упростить, если привести все выражение в правой части к общему знаменателю и раскрыть квадрат суммы в числителе уменьшаемого. Проделаем эти действия:

Знак «минус» перед дробью свидетельствует, что энергия системы проводников уменьшилась.

Произведем вычисления:

Дж = 2 Дж.

Ответ: Q = – 2 Дж.

С14. Пылинка массой m с зарядом q влетает в электрическое поле плоского конденсатора посередине между его

488

Раздел III. Электромагнетизм

ки, g — ускорение свободного падения, F — силу, действующую на пылинку со стороны электрического поля, t — время пролета конденсатора, E — напряженность электрического поля конденсатора, a — ускорение пылинки.

Дано: Решение

mЕсли бы на пылинку не действовали электри-

qческая сила со стороны обкладок и сила тяжести,

lона пролетела бы конденсатор, двигаясь равно-

dмерно и прямолинейно со скоростью v параллель-

Uно его обкладкам, и вылетела бы из конденсатора в

точке М. Но на нее со стороны обкладок действует

v — ? сила F , направленная вниз, и, кроме того, вниз

направлена сила тяжести mg. Поэтому пылинка будет одновременно двигаться вниз равноускоренно. В момент вылета из конденсатора она пройдет по горизонтали расстояние l и за это же время по вертикали она сместится на отрезок d/2.

В итоге ее траекторией будет парабола. Согласно уравнениям равномерного и равноускоренного движений

поскольку проекция скорости пылинки на вертикальное направление в момент влета в конденсатор равна 0. Из второго уравнения

Ускорение пылинки найдем по второму закону Ньютона, согласно которому

489