int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012

470

Раздел III. Электромагнетизм

На заряд в четвертой вершине действуют 5 сил: две одинаковые по модулю силы Кулона FK1 со стороны зарядов в вершинах 1 и 3, сила Кулона FK2 со стороны заряда в вершине 2 и две одинаковые по модулю силы натяжения нитей Fн, связывающих этот заряд с зарядами в вершинах 1 и 3.

Поскольку заряд в равновесии, все силы уравновешены. Нам надо найти силу Fр1, которая является равнодействующей двух сил Кулона Fk1. По теореме Пифагора

Теперь подставим это равенство в формулу (1): Fр1 = 1,4 · 1914 Fí = 1,03 Fн.

Произведем вычисления:

Fр1 = 1,03 · 10 мН = 10,3 мН.

Ответ: Fр1 = 5,2 мН.

С2. Сторона равностороннего треугольника r. В двух его вершинах расположены два заряда q1 и q2, положительный и отрицательный (рис. 291). Определить напряженность поля этих зарядов в третьей вершине. Среда — вакуум.

Обозначим Е1 напряженность поля заряда q1, Е2 — напряженность поля заряда q2, k — коэффициент пропорциональности, D — угол при вершине равностороннего треугольника,

471

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Напряженности Е1 и Е2 определим по формуле напряженности поля точечного заряда:

Подставим правые части этих выражений под корень предыдущей формулы:

С3. Горизонтальная равномерно и положительно заряженная плоскость создает однородное электрическое поле напряженностью Е = 5 кВ/м. На нее с высоты h = 2 м бросают вниз с начальной скоростью v0 = 0,5 м/с маленький шарик массой m = 50 г, несущий положительный заряд q = 50 нКл. Найти скорость шарика в момент удара о плоскость.

Обозначим Е напряженность электрического поля, h — высоту, с которой бросают шарик, v0 — скорость бросания, m — массу шарика, q — заряд шарика, v — скорость шарика в момент удара о плоскость, a — ускорение шарика при падении, g — ускорение свободного падения, Fэл — электрическую силу отталкивания шарика в электрическом поле.

472

правленная вниз сила тяжести mg и направленная вверх электрическая сила отталкивания Fэл. По второму закону Ньютона произведение массы шарика и его ускорения равно разности этих сил:

Силу Fэл определим из формулы напряженности:

Fэл = qE.

Подставим правую часть этого равенства в предыдущую формулу:

Нам осталось подставить правую часть равенства (2) в выражение (1), и задача в общем виде будет решена:

Задача в общем виде решена. Выразим все величины в единицах СИ: 5 кВ/м = 5 · 103 В/м, 50 г = 0,05 кг, 50 нКл = = 50 · 10–9 Кл = 5 · 10–8 Кл.

Произведем вычисления:

Ответ: v = 6,3 м/с.

С4. Три маленьких шарика с зарядом q на каждом шарике расположены в вакууме на расстоянии r друг от друга и соединены вытянутыми вдоль одной прямой одинаковыми горизон-

473

Физика для старшеклассников и абитуриентов

одновременно пережечь?

Рис. 292

Обозначим W энергию системы 3

зарядов, M1 — потенциал электрического поля в точке 1, где находится первый заряд, M2 — потенциал электрического поля в точке 2, где находится второй заряд, M3 — потенциал электрического поля в точке 3, где находится третий заряд, k — коэффициент пропорциональности.

Дано: Решение

qПонятно, что, когда нити пережгут, крайние

шарики станут разбегаться в противоположные стороны, поскольку они заряжены одноименно, и только средний шарик останется на месте.

Воспользуемся законом сохранения энергии. Общая энергия системы зарядов равна энергии шариков сразу после пережигания нитей, она же никуда не денется. Поэтому кинетическая энергия каждого из двух убегающих шариков будет равна половине этой общей энергии.

Энергию системы зарядов найти немножко сложно, но можно. Для этого воспользуемся формулой энергии системы зарядов, которая применительно к системе трех одинаковых зарядов примет такой вид:

W = 21 (qM1 + qM2 + qM3) = 2q (M1 + M2 + M3).

Тогда кинетическая энергия каждого из разбегающихся из точек 1 и 3 крайних зарядов будет равна

В точке 1 потенциал M1 электрического поля, созданного зарядами, находящимися в точках 2 и 3 на расстояниях r и 2r от точки 1, согласно формуле потенциала точечного заряда равен

Отметим сразу, что в точке 3 потенциал M3 поля, созданного зарядами, расположенными в точках 1 и 2, равен потенциалу M1 в силу симметрии:

474

Раздел III. Электромагнетизм

В точке 2 потенциал M2 поля, созданного зарядами, находящимися в точках 1 и 3, равен удвоенному потенциалу поля каждого из этих зарядов, поскольку сами заряды и расстояния

Осталось подставить правые части равенств (2) и (4) с учетом равенства (3) в формулу (1) и выполнить упрощения. Проделаем эти действия:

между ними U = 200 В. Отно-

шение заряда электрона к его массе 1,76 1011 Кл/кг. Определить смещение электрона к положительной обкладке за время пролета конденсатора.

Обозначим vx проекцию скорости электрона на ось ОХ, l — длину конденсатора, U — разность потенциалов между его обкладками, d — расстояние между обкладками конденсатора, e/m — отношение заряда электрона к его массе, voу — проекция начальной скорости электрона на ось ОY при влете в конденсатор, у — координату на оси ОY, равную расстоянию, на которое сместится электрон вдоль оси ОY за время пролета конденсатора, t — время движения электрона в конденсаторе, а — его ускорение, F — силу, действующую на электрон со стороны поля конденсатора, Е — напряженность поля конденсатора.

475

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Подставим это выражение в во вторую формулу:

Ускорение электрона найдем по второму закону Ньютона:

a = F , m

где из формулы напряженности F = eE,

Напряженность однородного поля конденсатора связана с разностью потенциалов на его обкладках формулой

Ответ: у = 5,5 мм.

С6. Точка M отстоит от заряда-источника q0 на вдвое большем расстоянии, чем точка N (рис. 294). При перемещении

476

Раздел III. Электромагнетизм

Обозначим r1 = r расстояние от точки М до заряда-источни- ка q0, r2 = 2r — расстояние от точки N до заряда-источника, А1 — работу, совершенную полем при перемещении заряда из точки М в точку N, А2 — работу, совершенную полем при перемещении заряда из точки М в точку С на середине отрезка MN, WM — потенциальную энергию заряда q в точке М, WN — потенциальную энергию заряда q в точке N, WС — потенциальную энергию заряда q в точке С, q0 — модуль заряда-источника, q — модуль перемещаемого заряда, MM — потенциал электрического поля заряда-источника в точке М, MN — потенциал электрического поля заряда-источника в точке N, MС — потенциал электрического поля заряда-источника в

По формуле потенциала поля точечного источника

Подставим правые части этих выражений в формулы (1)

477

Физика для старшеклассников и абитуриентов

Теперь разделим левые и правые части этих равенств друг на друга:

Ответ: А2 = 6 Дж.

С7. Незаряженный металлический цилиндр вращается вокруг своей оси с частотой ν. Найти напряженность Е возникающего при этом электрического поля внутри цилиндра на расстоянии r от его оси.

Обозначим me массу электрона, e — модуль заряда электрона, F — силу, действующую на электрон во вращающемся цилиндре, aц — центростремительное ускорение электрона, Z — угловую скорость электрона.

Дано: Решение

νСвободные электроны металлического цилин-

rдра при его вращении движутся по окружностям

eв результате которого в цилиндре возникает электрическое поле. Эта сила F равна, согласно

Центростремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости электрона Z и радиуса его орбиты r:

ац = ω2r.

Выразим угловую скорость электрона через известную нам частоту его вращения:

ω= 2πν.

Сучетом этого предыдущее равенство примет вид:

478

Раздел III. Электромагнетизм

Сила, действующая на электрон в электрическом поле, равна произведению напряженности этого поля и модуля заряда е:

Ответ: E = meer (2πν)2.

С8. Кольцозаряженоотрицательнослинейнойплотностьюτ. Из бесконечности к нему летит электрон по прямой, проходящей через центр кольца (рис.

295). Какую начальную скорость

электрического поля кольца, Wk — кинетическую энергию электрона, M — потенциал поля в центре кольца, qo — заряд кольца, R — радиус кольца, k — коэффициент пропорциональности.

Дано: Решение

τЧтобы электрон пролетел сквозь кольцо, потен-

eв предельном случае должна быть равна кинети-

ческой энергии электрона Wk:

v — ?

Потенциальная энергия поля кольца равна произведению модулязарядаэлектронаеипотенциалаполявцентрекольца ϕ :

479