int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
ного на электроде металла, k — электрохимический эквивалент меди, I — силу тока в ванне.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
R = 1 мОм |
|
|
Согласно закону Фарадея для электро- |
|||||||
U = 8 В |
|
лиза |
|
|
|
|
|
|||
m = 1 кг |
|
|
|
|
|
m = kIt. |
||||
k = 0,33 мг/Кл |
|
|
По закону Ома для участка цепи |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
t — ? |
|
|
|
|
|
I = |
. |
|
||
С учетом этого |
R |
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
m = k |
U |
t, откуда |
t = |
mR |
. |
|||||
|
|
|
R |
|
|
kU |
||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|||||
t = |
|
1 1 10−3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
с = 379 с = 6 мин. |
||||||||
0,33 10−6 8 |
||||||||||
Ответ: t = 6 мин.
В39. Сила тока в электрохимической ванне при электролизе 25 А, время электролиза 2 ч, площадь детали, покрываемой никелем, 0,2 м2, электрохимический эквивалент никеля 3 10–7 кг/Кл, его плотность 8,9 103 кг/м3. Определить толщину покрытия.
Обозначим I силу тока в ванне, t — время никелирования, k — электрохимический эквивалент никеля, U— его плотность, S — площадь детали, m — массу выделившегося никеля, V — его объем, h — толщину слоя никеля.
Дано:
I = 25 А t = 2 ч
k = 3 10–7 кг/Кл U = 8,9 103 кг/м3 S = 0,2 м2
h — ?
m = UV,
Решение
Запишем закон Фарадея для электролиза:
m = kIt.
Выразим массу никеля через его плотность и объем, а объем, в свою очередь, — через площадь детали и толщину слоя:
где V = hS, поэтому m = UhS.
Теперь приравняем правые части первого и последнего равенств и из полученного выражения найдем искомую толщину слоя:
460
Раздел III. Электромагнетизм
hS = kIt, откуда |
|
kIt |
|
h = |
|
. |
|
ρS |
|||
Выразим время электролиза в единицах СИ: 2 ч = 7200 с. Произведем вычисления:
h = 3 10−7 25 7200 м | 3 10–5 м. 8,9 103 0,2
Ответ: h | 3 · 10–5 м.
В40. На медном резисторе в течение 10 с поддерживали напряжение 2 В. Чему равна длина резистора, если его температура повысилась при этом на 8 К? Удельное сопротивление меди 1,7 · 10–8 Ом · м, плотность меди 8,9 103 кг/м3, удельная теплоемкость меди 380 Дж/(кг · К). Изменением сопротивления резистора при нагревании и потерями тепловой энергии можно пренебречь. Ответ округлить до целого числа метров.
Обозначим t время нагревания, U — напряжение на резисторе, 'Т — изменение температуры резистора, Uс — удельное сопротивление меди, Uп — плотность меди, с — удельную теплоемкость меди, I — силу тока в резисторе, S — площадь поперечного сечения резистора, m — массу резистора, l — его длину, V — его объем, R — сопротивление резистора, Q — количество теплоты, выделившееся в резисторе.
Дано: t = 10 c
U = 2 В 'Т = 8 К
Uс = 1,7 · 10–8 Ом · м Uп = 8,9 103 кг/м3
с = 380 Дж/(кг · К)
l — ?
С учетом этого
Решение
По закону Джоуля — Ленца
Q = U2 t .
R
Выразим сопротивление резистора через его длину:
|
|
R = Uс |
l |
. |
|
|
|
S |
|
Q = |
U2S |
t . |
(1) |
|
|
||||
|
ρ l |
|
|
|
|
c |
|
|
|
Это количество теплоты пошло на нагревание резистора:
Q = mс'Т. |
(2) |
Теперь выразим массу резистора через его объем, а объем — через длину и площадь сечения:
461
Физика для старшеклассников и абитуриентов
m = UпV, где V = lS, поэтому m = Uп l S. |
(3) |
Подставим правую часть равенства (3) вместо массы в формулу (2):
Q = UпlSс'Т. |
(4) |
Нам осталось приравнять правые части равенств (1) и (4) и из полученного выражения найти длину резистора.
|
U2S |
t = UпlSс'Т, |
U2 |
t = Uпlс'Т, откуда l = U |
t |
. |
||
|
|
ρ l |
|
|||||
|
ρ l |
|
|
ρ ρ c T |
||||
|
c |
c |
|
|
c ï |
|||
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
||||
|
|
l = 2 |
|
|
10 |
м = 9 м. |
||
|
|
|
||||||
|
|
1,7 10−8 8,9 103 380 8 |
||||||
Ответ: l = 9 м.
В41. Проводник массой 10 г и длиной 2 см висит неподвижно в магнитном поле индукцией 4 Тл. Найти силу тока в проводнике.
Обозначим m — массу проводника, l — его длину, В — индукцию магнитного поля, g — ускорение свободного падения, I — силу тока в проводнике, FA — силу Ампера, D — угол между вектором магнитной индукции и направлением тока в проводнике.
Дано: m = 10 г l = 2 см В = 4 Тл
g = 10 м/с2
I — ?
Решение
Так как проводник находится в равно-
весии, то по первому закону Ньютона сила
тяжести mg, направленная вниз, уравновешена силой Ампера A, направленной вверх:
mg = FA, где FA = ВIl sin D.
D = 900 и sin D = 1.
C учетом этого mg = ВIl, откуда |
|
||
I = |
mg |
. |
|
|
|
||
|
Bl |
|
|
|
0,01 10 |
|
|
Произведем вычисления: I = 4 0,02 |
А = 1,25 А. |
||
Ответ: I = 1,25 А.
462
Раздел III. Электромагнетизм
В42. В однородном магнитном поле индукцией 0,4 Тл находится прямой проводник длиной 0,15 м, расположенный перпендикулярно магнитным линиям. По проводнику идет ток силой 8 А. Под действием силы Ампера проводник перемещается на 0,025 м. Определить работу, совершенную при перемещении.
Обозначим B индукцию магнитного поля, l — длину проводника, I — силу тока в проводнике, S — модуль перемещения проводника, D1 — угол между векторами силы Ампера и перемещения, D2 — угол между направлением вектора индукции магнитного поля и направлением тока в проводнике, FА — силу Ампер, A — работу, совершенную при перемещении.
Дано:
l = 0,15 м B = 0,4 Тл I = 8 А
S = 0,025 м
D1 = 0о
D2 = 90о
A — ?
Решение
Работа, совершаемая силой Ампера, определяется произведением модуля этой силы на модуль перемещения проводника и на косинус угла D1 между векторами силы и перемещения:
A = FAS cos D1.
Поскольку угол D1 = 0 0, а соs 00 = 1, то
A = FAS. |
(1) |
Сила Ампера равна произведению модуля вектора индукции на силу тока в проводнике, на длину проводника в магнитном поле и на синус угла между вектором индукции и направлением тока: FA = BIl sin D2. Но поскольку угол D2 = 900, а sin 900 = 1, то
FA = BIl. |
(2) |
Подставим (2) в (1):
A = BIlS. Произведем вычисления:
А = 0,4 8 0,15 0,025 Дж = 1,2 10–2 Дж. Ответ: А = 1,2 · 10–2 Дж.
В43. Электронвлетелводнородноемагнитноеполеиндукцией В перпендикулярно магнитным линиям. Через какое время он окажется в точке влета? Масса и заряд электрона известны.
Обозначим me массу электрона, е — модуль заряда электрона, FЛ — силу Лоренца, D — угол между векторами скорости
463
Физика для старшеклассников и абитуриентов
и магнитной индукции, v — скорость электрона, ац — его центростремительное ускорение, R — радиус окружности, Т — период.
Дано: Решение
ВЭлектрон,влетевшийвмагнитноеполеперпен-
me |
дикулярно магнитным линиям, станет двигаться |
епо окружности, охватывающей эти линии. Время,
Dчерез которое он окажется в точке влета, есть время полного оборота, т.е. период. При этом на
T — ? |
электрон действует сила Лоренца, направленная |
|
в каждой точке траектории по радиусу к центру окружности. Сила Лоренца
FЛ = Вvе sin D.
Так как D = 900, то
sin D = 1 и FЛ = Вvе.
По второму закону Ньютона FЛ = meац. Приравняем правые части двух последних равенств:
Вvе = meац.
Теперь выразим центростремительное ускорение через линейную скорость электрона и период:
|
|
|
ац |
|
|
v2 |
|
||
|
|
|
= |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом этого |
|
|
|
|
R |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вvе = |
v2 |
, |
Ве = |
v |
, |
где v = 2πR. |
|||
R |
|
||||||||
|
|
|
|
R |
T |
||||
Подставим правую часть этого выражения в предыдущую формулу:
Ве = 2πR , |
Ве = 2π , |
откуда Т = 2π . |
TR |
T |
Be |
Ответ: Т = 2π . |
|
|
Be |
|
|
В44. Электрон, имеющий кинетическую энергию 91 эВ, влетел в скрещенные электрическое и магнитное поля, в которых векторы напряженности и магнитной индукции взаимно перпендикулярны. Вектор скорости электрона перпендикулярен силовым линиям обоих полей. Чему равна индукция магнитного поля, если электрон в этих полях стал двигаться
464
Раздел III. Электромагнетизм
равномерно и прямолинейно при напряженности электрического поля 100 В/см?
Обозначим, me — массу электрона, Е — напряженность электрического поля, В — индукцию магнитного поля, Wk — кинетическую энергию электрона, Fэл — электрическую силу, FЛ — силу Лоренца, v — скорость электрона.
Дано:
Wk = 91 эВ
е = 1,6 · 10–19 Кл me = 9,1· 10–31 кг Е = 100 В/см
B — ?
где D = 900 и sin D = 1.
Решение
Поскольку электрон стал двигаться равномерно и прямолинейно, значит, на него стали действовать уравновешивающие друг друга электрическая сила Fэл и сила Лоренца FЛ:
Fэл = FЛ, где Fэл = еЕ, а FЛ = Веv sin D,
Поэтому еЕ = Веv, откуда
В = 
.
Скорость электрона найдем из формулы кинетической энергии:
|
m v2 |
|
|
2Wk |
|
|
||
Wk = |
e |
|
, откуда v = |
me |
. |
|||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
С учетом этого |
|
В = Е |
me |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2W |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
Произведем вычисления:
100 В/см = 1 · 104 В/м, 91 эВ = 91 · 1,6 · 10–19 Дж.
В = 1 · 104 |
9,1 10−31 |
Тл | 1,8 · 10–3 |
Тл | 1,8 мТл. |
|
2 91 1,6 10−19 |
||||
|
|
|
Ответ: В = 1,8 мТл.
В45. Круглый проволочный виток диаметром 50 см расположен своей плоскостью перпендикулярно магнитным линиям однородного магнитного поля индукцией 50 мТл. Сопротивление витка 2 Ом. Какой заряд протечет через поперечное сечение проводника, из которого изготовлен виток, при равномерном уменьшении магнитного поля до нуля? Явлением самоиндукции пренебречь.
465
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Обозначим D диаметр витка, В1 — начальную индукцию магнитного поля, В2 — конечную индукцию магнитного поля, Ф1 — начальный магнитный поток сквозь виток, Ф2 — конечный магнитный поток сквозь виток, Ii — силу индукционного тока, 't — время его протекания, q — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, S — площадь витка, i — ЭДС индукции, R — сопротивление витка.
Дано:
D = 50 см В1 = 50 мТл R = 2 Ом
В2 = 0
Ф2 = 0
q — ?
Решение
Заряд равен произведению силы индукционного тока на время его протекания:
q = Ii 't.
По закону Ома сила индукционного тока равна отношению ЭДС индукции к сопротивлению витка:
Ii = εi .
R
По закону Фарадея для электромагнитной индукции
i = − Ô2 − Ô1 = Ô1 , |
|
t |
t |
где магнитный поток сквозь виток до уменьшения магнитного поля Ф1 = В1S и площадь витка
|
|
|
|
|
S = |
|
|
πD2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
πD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Â1πD |
2 |
|
||
Ф |
|
= В |
|
|
|
|
и |
|
|
|
= |
. |
||||
1 |
1 |
4 |
|
|
|
i |
|
|||||||||
|
|
4 t |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда сила тока |
|
|
|
|
|
|
B1πD2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
I = |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 tR |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а искомый заряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
B1πD2 |
|
|
t = |
B1πD2 |
, |
|
|
||||||
|
|
4 tR |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4R |
|
|
|||
q = 50 10−3 3,14 0,52 Кл = 4,9 · 10–3 Кл = 4,9 мКл.
4 2
Ответ: q = 4,9 мКл.
466
Раздел III. Электромагнетизм
В46. Сопротивление проводящего контура 3 10–2 Ом. За 2 с пересекающий контур магнитный поток равномерно изменяется на 1,2 10–2 Вб. Определить силу индукционного тока в проводнике.
Обозначим R сопротивление проводника, 't — время изменения магнитного потока, 'Ф — изменение магнитного потока, Ii — силу индукционного тока в проводнике, i — ЭДС электромагнитной индукции.
Дано:
R = 3 10–2 Ом 't = 2 с
'Ф = 1,2 10–2 Вб
Ii — ?
Решение
Силу тока найдем по закону Ома:
Ii = εi .
R
По закону Фарадея для электромагнитной индукции модуль ЭДС электромагнитной индукции
i = |
Ô. |
|
t |
Подставив правую часть второй формулы вместо ЭДС в первую, мы решим задачу в общем виде:
Ii |
= |
Ô |
. |
|
|||
|
|
R t |
|
Произведем вычисления:
1,2 10−2
I = 3 10−2 2 А = 0,2 А.
Ответ: I = 0,2 А.
В47. Индуктивность катушки с малым сопротивлением равна 0,15 Гн, сила тока в ней 4А. Сколько теплоты выделится вкатушке,еслипараллельнокнейподключитьрезисторссопротивлением, во много раз большим, чем сопротивление катушки.
Обозначим L индуктивность катушки, I — силу тока в ней, Q — количество выделившейся теплоты, Wм — энергию магнитного поля катушки.
Дано:
L = 0,15 Гн
R>>r I = 4 А
Q — ?
Решение
При быстром отключении источника тока энергия магнитного поля катушки превратится в выделенное тепло, поэтому мы можем записать: Q = Wм. В свою очередь, энергия
467
Физика для старшеклассников и абитуриентов
магнитного поля определяется половиной произведения индуктивности катушки на квадрат силы тока в ней. Поэтому
Q = Wì = LI22 .
Произведем вычисления:
Q = 0,15 42 Дж = 1,2 Дж.
2
Ответ: Q = 1,2 Дж.
В48. Катушка с площадью витка 20 см2 имеет индуктивность 20 мГн. Число витков в ней 1000, индукция магнитного поля внутри катушки 1 мТл. Найти силу тока в катушке.
Обозначим S площадь витка, L — индуктивность катушки, N — число витков, B — индукцию магнитного поля, I — силу токавкатушке,Ф — магнитныйпоток,пересекающийкатушку.
Дано: |
|
Решение |
|
||
S = 20 |
см2 |
Катушку пересекает магнитный поток, |
L = 20 |
мГн |
определяемый формулой |
N = 1000 |
Ф = ВSN. |
|
В = 1 мТл |
Этот магнитный поток связан с силой тока |
|
|
|
|
|
|
в катушке выражением |
I — ? |
|
|
|
Ф = LI. |
|
|
|
|
Приравняем правые части этих формул и найдем силу тока:
ВSN = LI, откуда I = BSN.
L
Произведем вычисления:
I = |
1 10−3 |
20 10−4 1000 |
А = 0,1 А. |
|
20 10−3 |
||
|
|
|
Ответ: I = 0,1 А.
В49. За 5 мс в соленоиде с 500 витками магнитный поток равномерно уменьшился с 7 Вб до 9 мВб. Сопротивление проводника соленоида 100 Ом. Найти силу индукционного тока, возникшего при этом.
Обозначим 't время уменьшения магнитного потока, N — число витков в соленоиде, Ф1 — начальный магнитный поток, Ф2 — конечный магнитный поток, R — сопротивление проводника соленоида, Ii — силу индукционного тока, i — ЭДС индукции.
468
Раздел III. Электромагнетизм
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
't = 5 мс |
По закону Ома сила индукционного тока |
|||||||||
N = 500 |
|
Ii |
= |
εi |
. |
|
|
|||
Ф1 = 7 |
Вб |
|
|
|
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
R |
||||||
Ф2 = 9 |
мВб |
По закону Фарадея для электромагнит- |
||||||||
R = 100 Ом |
ной индукции ЭДС индукции |
|||||||||
|
|
i = − |
Ô2 − Ô1 |
N = |
Ô1 − Ô2 |
N. |
||||
Ii — ? |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
||
Подставим правую часть этого равенства в первую формулу:
Ii = Ô1 − Ô2 N. tR
7 − 9 10−3
Произведем вычисления: Ii = 5 10−3 100 500 А = 6991 А. Ответ: Ii = 6991 А.
В50. Проволочный виток, состоящий из 100 колец, пересекает однородное магнитное поле, уменьшающееся за 2 мс с 0,5 Тл до 0,1 Тл. При этом в витке возникает ЭДС индукции 8 В. Поле перпендикулярно плоскости витка. Найти радиус витка. Ответ округлить с точностью до одной сотой метра.
Обозначим N число колец в витке, t — время уменьшения магнитного поля, В1 — начальную магнитную индукцию, В2 — конечную магнитную индукцию, 
i — ЭДС индукции, R — радиус витка, S — площадь витка, Ф1 — начальный магнитный поток, Ф2 — конечный магнитный поток.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
N = 100 |
|
По закону Фарадея для электромагнит- |
||||||
t = 2 мс |
|
ной индукции ЭДС индукции |
||||||
В1 = 0,5 Тл |
|
i = − |
Ô2 − Ô1 |
N = |
Ô1 − Ô2 |
N, |
||
В2 = 0,1 Тл |
|
|||||||
|
|
|||||||
|
|
t |
|
|
t |
|||
i = 8 В |
|
|
|
|
||||
|
где магнитный поток Ф1 = В1S и площадь |
|||||||
|
|
|||||||
R — ? |
|
витка |
S = SR2. |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
С учетом этого
Ф1 = В1SR2. Аналогично конечный магнитный поток
Ф2 = В2SR2.
469