3.6. Минимизация логических функций

Наиболее детально разработаны методы решения канонической задачи минимизации логических функций, которая заключается в отыскании дизъюнктивной (конъюнктивной) формы функции, содержащей минимальное число переменных и операций. Такие формы принято называть минимальными нормальными дизъюнктивными (конъюнктивными) формами.

К настоящему времени разработано достаточно большое число методов и приемов минимизации логических функций. Наиболее известными и распространенными среди них являются:

1) расчетный метод – метод непосредственных логических преобразований;

2) табличный метод – метод карт Карно или Вейча – Карно;

3) расчетно-табличный метод Квайна.

Исходной формой для любого из этих методов является одна из совершенных нормальных форм СНДФ или СНКФ. В общем случае любой из упомянутых методов состоит из трех этапов.

1. Переход от СНД(К)Ф к сокращенной сНД(К)Ф путем выполнения всех возможных склеиваний друг с другом сначала конституент, а затем всех членов сумм (произведений) более низкого ранга до тех пор, пока склеивание возможно.

Таким образом, под сокращенной формой логической функции будем понимать нормальную дизъюнктивную (конъюнктивную) форму функции, членами которой являются не склеивающиеся друг с другом элементарные конъюнкции (дизъюнкции).

Члены сНД(К)Ф носят название простых (или первичных) импликант. Не исключено, что сНД(К)Ф CНД(К)Ф.

2. Переход от сНД(К)Ф к тупиковой нормальной дизъюнктивной (конъюнктивной) форме (ТНД(К)Ф) путем устранения избыточных импликант. Под тупиковой будем понимать такую НД(К)Ф логической функции, в которой нет ни одной лишней (избыточной) импликанты.

Избыточной будем называть такую импликанту, удаление которой не влияет на значение истинности данной логической функции. Возможны случаи, когда в сНД(К)Ф нет лишних импликант. Тогда сНД(К)ФТНД(К)Ф. Не исключены также случаи существование нескольких различных по числу переменных и знаков операций тупиковых форм, получаемых из одной сокращенной.

Термин тупиковая форма означает, что дальнейшая минимизация путем использования аксиом и законов алгебры логики в рамках нормальных форм уже невозможна.

3. Переход от ТНД(К)Ф к минимальной форме (МНД(К)Ф) логической функции. Этот этап уже не является регулярным, как два предыдущих, поэтому требует определенной сноровки, интуиции и опыта. Здесь имеются в виду поиск возможностей упрощения логической функции методом проб и испытаний. Для уменьшения числа операций отрицания применяют законы де Моргана, а для уменьшения числа конъюнкций и дизъюнкций – распределительные законы.

3.6.1. Расчетный метод минимизации

Каждый из конкретных методов минимизации состоит из тех же трех шагов, что указывалось выше. Но эти шаги в каждом методе могут иметь свою особенность.

1.Склеивание всевозможных членов исходной СНД(К)Ф, т.е. сначала конституент, затем импликант ранга и т.д., пока склеивание возможно.

2. Проверка каждой простой импликанты в сНД(К)Ф на избыточность с целью её удаления. Проверка состоит в следующем. Так как любая импликанта равна 1 для НДФ (0 для НКФ) лишь на одном наборе переменных, то если на этом наборе сумма остальных членов также обращается в 1 (0), то рассматриваемая импликанта не влияет на значение истинности данной логической функции, т.е. она является избыточной. Удаляя все такие импликанты, получим ТНД(К)Ф.

3. Упрощение полученной ТНД(К)Ф путем применения операции отрицания и распределительного закона 1-го или 2-го рода.

Пример. Минимизировать функцию

1. Выполняя склеивание, получим сНД(К)Ф:

.

2.Удаляем избыточные импликанты: на наборетак както импликанта– избыточная;на наборе;, а так как, то импликантане является избыточной;на наборе, а так как , то импликантане является избыточной.

Таким образом, отбросив избыточную импликанту, получим ТНДФ

.

3. Дальнейшему упрощению функция не поддается.

Если исходной является СНКФ, то методика выполнения 1-го шага не меняется. Но реализация 2-го шага имеет свою специфику. На значение истинности функции, представленной в СНКФ, не влияет та импликанта, которая сама равна 0. Но любая импликанта становится нулем только при одном наборе переменных. Следовательно, правило проверки на избыточность можно сформулировать так:

• для каждого члена СНКФ определяется набор переменных, которые обращают данный член в 0;

• если произведение остальных членов также равно 0, то данный член избыточен.

Пример. Получить исходную СНКФ, эквивалентную СНДФ в предыдущем примере, и упростить её. Исходную СНКФ проще всего получить из таблицы истинности, составив ее по СНДФ в предыдущем примере. Упрощенная таблица истинности, т.е. без подробного выписывания всех операций, и соответствующая СНКФ имеют вид:

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

1.В результате всевозможных склеиваний получаем сНКФ

2.Дизъюнкция притак как, то импликанта– неизбыточна.

Дизъюнкция при; так как, то импликанта– избыточна. Дизъюнкция при,; так как, то импликанта не является избыточной.

Таким образом,

3. Упрощаем полученную ТНКФ, применив закон де Моргана ко 2-му её члену. В результате получим минимальную форму (МФ)

Это действительно минимальная форма, так как число операций в ТНКФ уменьшилось от 5 до 4 при том же числе переменных.