Все ке для двух высказываний

Высказывания		КЕ
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

Таблица 8

Все КН для двух высказываний

Высказывания		КН
0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	1
0	0	1	1	0	1
1	1	1	1	1	0

Развёртывание элементарных конъюнкций

1. В развертываемую элементарную конъюнкцию ранга вводятся в качестве дополнительных сомножителейединиц, где– число высказываний и.

2. Каждая единица представляется в виде , где– высказывание, отсутствующее в исходной конъюнкции.

3. Производится раскрытие всех скобок на основе распределительного закона 1-го рода, что приводит к развертыванию исходной конъюнкции ранга в логическую суммуКЕ.

Пример. Развернуть конъюнкцию . Здесь предполагается, что число высказываний, но два из них отсутствуют, тогда:

1.

2. .

3.

.

Развёртывание элементарной дизъюнкции

1. В развертываемую дизъюнкцию ранга вводится n-r нулей.

2. Каждый нуль представляется произведением , где– высказывание, отсутствующее в исходной дизъюнкции.

3. Полученная сумма преобразуется с помощью распределительного закона 2-го рода в логическое произведение КН.

Пример. Развернуть дизъюнкцию . Здесь число высказываний, отсутствует высказывание:

Упражнения

1. Используя алгебраические преобразования, доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:

1); 2); 3);

4); 5);

6); 7); 8);

9).

2. Доказать равносильности формул, не используя таблицы истинности:

1); 2); 3); 4);

5); 6); 7);

8); 9); 10);

11).

3. Упростить формулы:

1) 2); 3); 4);

5).

4. Привести следующие ниже формулы к базисам

1); 2); 3).

5. Развернуть конъюнкцию:

1) ; 2) .

6. Развернуть дизъюнкцию:

1) ; 2) .

3.5. Функции алгебры логики. Нормальные формы логических функций

Логическая функция [функция алгебры логики (ФАЛ)] – это выражение, представляющее собой сложное высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, связанных соединительными словами. Это сложное высказывание принимает значения 0 или 1 на всех наборах логических значений всех простых высказываний.

Как нетрудно заметить, приведенное определение ФАЛ полностью совпадает с определением формулы, данным в подразд. 3.3. Таким образом, всякая формула алгебры логики есть функция алгебры логики, в которой простые высказывания воспринимаются уже как переменные. Это правомочно, так как каждое из них принимает два значения: 0 или 1. А в зависимости от этого логические значения выражения тоже будут принимать значения 0 или 1, т.е. выражение является функцией в общепринятом смысле.

Набор логических переменных, или, иначе входной набор, – это определенная комбинация значений переменных в логической функции. Максимальное число различных входных наборов есть величина, где– число переменных.

Полностью определенная функция – это логическая функция, принимающая значение 0 или 1 на всех входных наборах.

Частично определенная функция – это логическая функция, значения которой определены не на всех входных наборах. Такие наборы называют безразличными.

Частично определенную логическую функцию можно сделать полностью определенной, приписав безразличным наборам произвольные значения: 0 или 1.

Используя законы и аксиомы алгебры логики и их следствия, можно получать логические выражения в различных формах. Среди них имеются такие формы, к которым можно свести любую логическую функцию. Такие формы определяют канонический вид логической функции. В алгебре логики каноническими принято считать нормальную дизъюнктивную форму (НДФ) и нормальную конъюнктивную форму (НКФ) и соответственно совершенную НДФ (СНДФ) и совершенную НКФ (СНКФ).

НДФ – это дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций. Эта форма называется нормальной, так как все ее члены имеют вид элементарных конъюнкций. Вследствие того, что все члены соединены в одну функцию знаком дизъюнкции, форма носит название дизъюнктивной. И, наконец, форма называется совершенной, если её члены имеют высший ранг, являясь конституентами единицы или нуля.