Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гл.3.doc
Скачиваний:
64
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
1.31 Mб
Скачать

3.2. Логические операции над высказываниями

Над высказываниями, обозначенными соответствующими буквами, можно выполнять логические операции аналогично тому, как выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления над числами в арифметике или над буквами в алгебре. Такими операциями в алгебре логики принято считать: отрицание (инверсия), конъюнкцию (от лат. conjunctio – союз, связь; логическое умножение), дизъюнкцию (от лат. disjunctio – различие, разделение; логическое сложение), импликацию (от лат.implico – тесная связь), и эквиваленцию (от лат. aequivalens – равносильный, равноценный).

Отрицанием х называется новое высказывание которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказывание x истинно. Высказывание читается как “не” или “неверно, что”. Логическое значение высказыванияможно выразить с помощью таблицы истинности.

Таблица 1

Таблица истинности для отрицания

1

0

0

1

Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания и истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Конъюнкция высказываний обозначается &, или , илиилии читается “ и ”.

Для логических значений конъюнкции справедлива следующая таблица истинности:

Таблица 2

& 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1Таблица истинности для конъюнкции

Например, для высказываний “9 делится на 3”, “18 делится на 3” конъюнкцией будет высказывание “9 делится на 3 и 18 делится на 3”, которое истинно.

Из определения операций конъюнкции и отрицания ясно, что высказывание &всегда ложно.

Дизъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказыванийистинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция обозначаетсяилии читается “ или ”.

Логически дизъюнкция описывается следующей таблицей:

Таблица 3

Таблица истинности для дизъюнкции

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1


Из определения операции дизъюнкции и отрицания ясно, что высказывание всегда истинно.

Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое считается ложным, если истинно, аложно, и истинным во всех остальных случаях. Импликация высказываний обозначается и читается “еслито”, или “из следует ”, или “влечет”. Высказываниеназывают условием или посылкой, высказывание– следствием или заключением, а общее высказывание ¯ следованием или импликацией, или условным высказыванием. Таблица истинности для импликации имеет вид:

Таблица 4

Таблица истинности для импликации

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1


Следует отметить, что приведенные прочтения операции импликации являются основными. Кроме них существуют и другие варианты прочтений, которые не меняют логического смысла импликации. Очевидно, что число вариантов прочтений той или иной операции определяется богатством изобразительных средств языка, на котором осуществляется это прочтение. Чем богаче язык, тем таких вариантов больше.

Так, для наиболее употребительного варианта прочтения импликации “если то” одинаковый смысл будут иметь и такие варианты: “так как то ”, “посколькуто”, “так какпоэтому”, “посколькупоэтому”.

Для варианта “из следует” односмысловым будет прочтение “из того, что х, следует, что ”. Для варианта “ влечет ” односмысловым будет прочтение “влечет высказывание”.

Возможны и другие варианты прочтения операции импликации, которые мы здесь не отметили. Важно то, чтобы все они имели один и тот же логический смысл. Использование того или иного варианта прочтения определяется грамматическими особенностями языка, а также предпочтениями автора высказывания.

Рассмотрим пример. Пусть даны два простых высказывания “2 плюс 3 больше 4”, “2, умноженное на 3, больше 4”. Нужно записать (прочитать) импликацию этих высказываний. Очевидно, могут быть записаны такие варианты:

“Если 2 плюс 3 больше 4, то 2, умноженное на 3, больше 4”, “Так как 2 плюс 3 больше 4, то 2, умноженное на 3, больше 4”, “Из того, что 2 плюс 3 больше 4, следует, что 2, умноженное на 3 , больше 4” и так далее.

Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказываниялибо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным – во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний обозначаетсяи читается “для того, чтобынеобходимо и достаточно, чтобы”, или “ тогда и только тогда, когда ”. Эквиваленцию двух высказыванийназывают ещебиусловным высказыванием (т.е. двойным условным высказыванием).

Таблица истинности для эквиваленции имеет вид:

Таблица 5

Таблица истинности для эквиваленции

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1


Пусть – “число 18 делится на 3”, – “число 9 делится на 3”, тогда эквиваленция этих высказыванийбудет читаться так: “число 18 делится на 3 тогда и только тогда, когда число 9 делится на 3” или так: “для того, чтобы число 18 делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы число 9 делилось на 3”.

Для операции эквивалентности, как и для операции импликации, существует множество вариантов ее прочтения, которые, однако, не меняют её логического смысла. Так, например, если заданы два простых высказывания: “число 3 ∙ 4 является четным”, “число 4 является четным”, то эквиваленция этих высказываний может быть записана в следующих односмысловых вариантах:

1. “Число является четным тогда и только тогда, когда число 4 является четным”.

2. “Для того, чтобы число было (являлось) четным, необходимо и достаточно, чтобы число 4 было (являлось) четным”.

3. “Условие, что 4 четное число, необходимо и достаточно для того, чтобы было четным числом”.

4. “Условие, что четное число, необходимо и достаточно для того, чтобы 4 было четным числом”.

5. “Из условия, что 4 – четное число, следует, что также четное число, и наоборот”.

6. “Условия, что число четное и что 4 – число четное, эквивалентны”.

Могут быть также и другие односмысловые варианты записи этой эквиваленции.

Операция эквиваленции играет важную роль, как в самой математике, так и в других областях деятельности, например в криминалистике. К ней прибегают в том случае, когда имеют дело с высказываниями итакими, что из истинностиследует истинностьи из истинности следует истинность.