Визначення результуючої похибки

Результуюча похибка складається з багатьох видів похибок, найважливіші з яких розглянуті вище. Всі діючі в процесі механічної обробки похибки поділяють на два типи:

а) симетричні;

б) випадкові.

Систематичною закономірно-змінною похибкою називають таку похибку,  якщо по ходу обробки партії деталей можна спостерігати закономірність (хоча б наближену) в зміні розмірів деталей. Так, на рис.25 показана закономірність зміни розмірів в партії деталей у зв’язку з тепловими деформаціями верстату, а на рис.26 крива відображає зміни розмірів деталей у зв’язку зі зношенням інструменту.

Похибки називаються випадковими, якщо закономірність у зміні похибок відсутня. При цьому не можливо наперед визначити ні величину, ні знак похибки в тій чи іншій деталі і навіть неможливо передбачити сам факт появи такої похибки.

Така похибка отримується в результаті дій одного або декількох випадкових факторів. Прикладами причин випадкових похибок можуть бути зміни твердості заготовок в партії, коливання величини припуску в партії заготовок, похибки вимірювань в результаті суб’єктивної оцінки людиною показів приладу і т.д. Якщо уявити в координатах t (час) –L (розмір) вплив випадкових похибок на розмір, то отримаємо графік, представлений на рис.27, із якого видно, що розмір кожної наступної

деталі передбачити неможливо.

Сумування похибок

Похибки внаслідок різнонаправленості  в значній мірі компенсують одна одну. У зв’язку з цим існують наступні правила сумування похибок:

1. Систематичні похибки складаються алгебраїчно, тобто з врахуванням знаку та напрямку;

2. Систематична похибка з випадковою складається арифметично, так як знак випадкової похибки не можна наперед передбачити і тому необхідно приймати найгірший випадок;

3. Випадкові похибки сумуються квадратично:

,

де:    - коефіцієнти, які залежать від закону розподілу випад-кових похибок кожної групи;

 -  розсіювання розміру, викликане і-ою випадковою по-хибкою.

 

Статистичні методи дослідження точності обробки

Статистичні методи дослідження точності обробки побудовані на збиранні та переробці інформації про досліджуваний процес.

Для дослідження точності операцій механічної обробки використовують два методи:

1. Метод кривих розподілу.

2. Метод точкових діаграм.

Сумарна похибка обробки складається із випадкових і систематичних похибок. Дослідження впливу на розсіювання розмірів випадкових похибок обробки здійснюється з допомогою кривих розподілу.

 

Метод кривих розподілу

Випадкові похибки обробки безперервні.

Безперервною випадковою величиною називається така величина, яка в результаті експерименту може приймати любе числове значення із неперервного ряду можливих значень в межах визначеного інтервалу. Дійсні розміри деталей, оброблені на верстаті в умовах, коли дія факторів, які викликають систематичні похибки, проявляється слабо, є випадковими величинами неперервного типу, так як розмір кожної деталі може мати любе числове значення в межах поля розсіювання, яке характеризує точність даної операції.

Випадкові похибки зазвичай викликають розсіювання розмірів деталей, які підлягають закону нормального розподілу. Широке застосування закону нормального розподілу в техніці знаходить своє теоретичне пояснення в теоремі Ляпунова. Ця теорема має настільки важливе значення для теорії ймовірностей і її додатків, що отримала назву центральної теореми теорії ймовірності. Вона пояснює, чому в багатьох випадках реальні випадкові величини з великою точністю підлягають нормальному розподілу.

Опускаючи строге математичне формулювання теореми А.М.Ляпу-нова і її доказу, обмежимо лише описом наслідком з цієї теореми, який полягає в наступному.

Якщо випадкова величина х являє собою суму досить великого числа  взаємно незалежних випадкових величин х₁,х₂, ..., х_n, вплив кожної із яких на всю суму дуже малий, то не залежно від того, яким законом розподілу підпорядковується складові х₁, х₂, ..., х_n, сама величина х буде мати розподілення ймовірностей, близьке до нормального, і тим точніше, чим більше число складових.

Із теореми Ляпунова можна зробити важливий висновок, який має велике практичне значення, про те, що якщо досліджувана величина є сумою великої кількості незалежних випадкових складових, то хоча б останні були б нам не відомі, можна наперед вважати, що наша величина має нормальний розподіл. Цим пояснюється і той факт, що в процесі обробки деталей дійсні розміри їх часто підпорядковуються закону нормального розподілу, оскільки результуюча похибка обробки являє собою суму великої кількості похибок, які залежать від верстата, пристосування, інструменту, заготовки та умов обробки.

Диференціальна функція нормального розподілу випадкової величини неперервного типу має наступний вираз:

,

де:      - змінна випадкова величина ();

 - густина ймовірності;

е=2,71828 - основа натуральних логарифмів.

Крива нормального розподілу (рис.28) симетрична відносно ординати точки , тобто, іншими словами,  - функція парна. Тут - координата центра групування випадкової величини,

,

де:     х_і - середній розмір і-го інтервалу;

m - частота;

n - число деталей у вибірці.

Мірою розсіювання випадкової величини відносно центра групування є середнє квадратичне відхилення , яке обчислюється за формулою

.

Форма кривої нормального розподілу визначається параметром . Зі зменшенням  крива стає більш витягнутою, а її вітки зближуються; зі збільшенням , навпаки, крива стає більш приплюснутою, а її вітки розсуваються. Крива має дві точки перегину, які розміщені на відстані  від .

Площа, обмежена диференціальною кривою нормального розподілу, знаходиться інтегруванням рівняння кривої нормального розподілу і являє собою ймовірність того, що значення випадкової величини буде знаходитися в середині інтервалу, обмеженого межами інтегрування. Оскільки в межах від  до  знаходяться всі можливі значення випадкової величини, то ймовірність попадання випадкової величини  в цей інтервал рівна одиниці  (достовірність):

.

Ймовірність того, що випадкова величина, яка підлягає закону нормального розподілу, прийме значення в межахх₁-х₂, може бути записана наступним чином:

,

де     - нормована функція Лапласа:

,

.

Для практичного використання теоретичної кривої нормального розподілу необхідно зону розсіювання випадкової величини обмежити кінцевими межами. В техніці вважають, що практична зона розсіювання випадкової величини хлежить в межах , так як в цьому інтервалі знаходиться 99,73% значень випадкової величини, тобто

.

Поле розсіювання приймається рівним .

Із закону великих чисел слідує, що якщо генеральна сукупність підчиняється закону розподілу, то і вибірка із цієї сукупності, якщо її об’єм достатньо великий, буде підлягати цьому ж закону. Це твердження буде тим точніше, чим більший об’єм вибірки.

Встановлення закону розподілу досліджуваної випадкової величини і параметрів цього розподілу по даним вибірки дозволяє значно скоротити час вимірювання.

В ряді випадків тип закону розподілу можна передбачити наперед. Наприклад, в машинобудуванні при роботі на настроєних верстатах похибка обробки, як правило, підлягає закону нормального розподілу. В таких випадках задача зводиться до перевірки схожості значень емпіричної та теоретичної кривої і знаходження параметрів цієї кривої.

Але для того, щоб по даних вибірки можна було впевнено оцінити розподіл генеральної сукупності, необхідно, щоб об’єкти вибірки правильно її подавали (вибірка повинна бути випадковою).

Вибірка вважається випадковою, якщо всі об’єкти генеральної сукупності мають рівну можливість попасти у вибірку.

Об’єм вибірки встановлюється в залежності від бажаної точності і надійності визначення міри розсіювання  та координати центра групування  похибки обробки.

Зі збільшенням вибірки точність знаходження величин  та  зростає:

,

,

 

де:   та  - середнє квадратичне відхилення і координата центра групування поля розсіювання розміру генеральної сукупності деталей;

 та  - середнє квадратичне відхилення і координата центра групування поля розсіювання розміру деталей вибірки.

 

В емпіричних розподілах мірою розсіювання є розмах. Розмахом  називається різниця між найбільшим і найменшим виміряними значеннями випадкової величини:

.

Розмах ділиться не менш ніж на 5-8 рівних інтервалів. Кількість інтервалів орієнтовно можна визначити як . В кожний інтервал включаються розміри, які лежать в межах від найменшого значення інтервалу включно до найбільшого значення інтервалу, виключаючи його. Потім підраховується кількість деталей в кожному інтервалі – частота m. По отриманих даних будується емпірична крива розподілу розмірів – полігон (рис.28).

Для цього по осі абсцис відкладають інтервали розмірів, а по осі ординат, побудованих із середин інтервалів – частоти. Отримані точки з’єднують прямими лініями.

Щоб компенсувати похибки вимірювання, величина інтервалу повинна бути більша ціни поділу шкали вимірного приладу, яким проводиться вимір величини х у вибірці, не менш  ніж у 2 рази.

Розглянемо методику перевірки гіпотези нормального розподілу з допомогою критерію узгодження .

На початку робиться гіпотетичне припущення, що генеральна сукупність має нормальний розподіл з параметрами  та , визначеними нами по даних вимірювання вибірки, тобто =  та =. 

Підрахуємо теоретичні частоти  для середніх значень інтервалів х_і:

,

звідси

,

 

 

де:     п – об’єм вибірки;

с – ціна інтервалів, на які розбиті спостережувальні значення х у вибірці.

Ввівши заміну

,

отримаємо

,

звідки

.

 

Величина z_t обчислена для різних значень t і приведена в спеціальній літературі. При обчисленні t приймається рівним серединам інтервалів. По значеннях теоретичних частот , які зводяться в табл.1, будується теоретична крива. Значення теоретичних частот відкладаються на ординатах, проведених через середини інтервалів (рис.28).

Знаючи емпіричні і прогнозовані теоретичні частоти даного розподілу, визначаємо критерій узгодження  по формулі:

,

де:     - нагромаджені емпіричні частоти розподілу;

 - нагромаджені теоретичні частоти розподілу;

 п – об’єм вибірки.

В чисельнику береться найбільша абсолютна різниця нагромаджених частот.

Нагромадженою теоретичною частотою будь-якого значення х_в називається сума частоти х_в з частотами попередніх значень х, тобто

,

де      в – номер інтервалу, в який входить розмір х_в.

Визначення нагромадженої емпіричної частоти  проводиться за формулою

.

Таблиця 1 – Приклад знаходження даних для визначення  при вибірці в 100 деталей

Середній розмір інтервалу хв	| t |	zt		m			|-|
97,35	2,070	0,0468	3,40	3	3,40	3	0,40
97,38	1,350	0,1604	11,50	16	14,90	19	4,10
97,41	0,400	0,3251	23,50	22	38,40	41	2,60
97,44	0,072	0,3980	28,55	25	66,95	66	0,95
97,47	0,785	0,2940	21,15	19	88,10	85	3,10
97,50	1,500	0,1295	9,30	13	97,40	98	0,60
97,53	2,200	0,0355	2,60	2	100,00	100	0,00
			=100	=100

 

Для розглянутого прикладу с=0,02 мм, =0,028 мм.

Для обчислення  попередньо визначається величина

.

Потім значення графи 3 перемножені на число 71,5 і результати записані в графі 4. Графи 6 та 7 (нагромаджені емпіричні і теоретичні частоти) обчислюються шляхом додавання до частоти даного значення х частот попередніх значень х. Найбільша різниця нагромаджених частот |-|_мах=4,1.

 

Обчислюємо число :

.

Величина  підпорядковується певному закону розподілу, по якому можна визначити ймовірність  співпадання нагромаджених частот теоретичного і практичного розподілу. Якщо ця величина буде дуже малою [0,05], то в силу принципу  практичної неможливості малоймовірних явищ можна вважати, що спостережувані емпіричні частоти суттєво відрізняються від теоретичних і, як наслідок, наша гіпотеза про відсутність різниці між емпіричним і нормальним теоретичним розподілами повинна бути відкинута. Якщо ж ймовірність  буде достатньо велика, то розбіжності між емпіричними частинами можна вважати випадковими, а нашу гіпотезу вірною.

Значення ймовірностей  для різних значень  приведені в таблицях. Значенню =0,41 відповідає =0,9972.

Ця ймовірність немала. Отже, можна зробити висновок, що розбіжність між спостережуваним і теоретичним нормальним розподілом несуттєва, тобто ми довели правильність нашої гіпотези про те, що розподіл спостережуваних величин підлягає нормальному закону, і ми знаємо параметри цього закону.

Слід відмітити, що на практиці частіше всього перевірку гіпотези нормального розподілу здійснюють з допомогою критеріїв Пірсона.

І так, ми знайшли закон розподілу вибірки з партії деталей. Щоб впевнитись, що цьому ж закону підлягає розподіл і всієї генеральної сукупності, необхідно перевірити випадковість вибірки.

Перевірка випадковості вибірки проводиться для того, щоб встановити, чи не має домінуючий вплив на точність обробки яка-небудь закономірно-змінна похибка. В цьому випадку закон розподілу генеральної сукупності був би відмінним від закону розподілу вибірки, тобто вибірка була б не випадковою.

Якщо можна допустити, що на протязі спостережень центр розподілу х постійно змінюється, але середньоквадратичне відхилення залишається постійним, то для перевірки гіпотези “випадковості” вибірки прийнятний   і більш зручний спосіб послідовних різниць. Такий випадок часто має місце при спостереженнях за розмірами оброблюваних деталей на настроєному верстаті, коли внаслідок зношення інструменту, нагрівання верстату і т.д. центр розсіювання поступово зміщується, тобто проходить повільна і достатньо плавна зміна середньої при незмінному стандарті , який характеризує розсіювання розмірів.

Спосіб послідовних різниць полягає в наступному: по спостережуваних значеннях х вибірки, розміщених в послідовності їх спостереження х₁, х₂,...,х_п утворюємо п-1 різниць між сусідніми членами:

а₁ = х₂  – х₁,

а₂ = х₃  – х₂,

а₃ = х₄  – х₃,

. . . . . . . . . . .

а_n-1 = x_n –  x_n-1.

Для оцінки “випадковості” вибірки при можливому зміщенні центра розсіювання (при незмінному ) використовується критерій :

,

де

,

.

тут  - критичне значення критерію .

Критерій  при  п>20 має нормальний розподіл для дійсно випадкових вибірок. А його критичне значення знаходиться з рівняння

.

Значення t_д визначаємо із співвідношеня:

,

де     g – рівень важливості (в %) або, іншими словами,  можливий процент виходу значень  за межі допустимих.  Найчастіше всього %. Тоді . По таблиці цьому значенню функції Лапласа відповідає . Отже, при 

.

Якщо обчислене по даним п вимірювань  буде менше цієї величини, то це вказує на неправильність нашої гіпотези про “випадковість” вибірки. Якщо ж  буде менше , то гіпотеза “випадковості” вибірки правильна. Надійність цього висновку .

Розглянемо використання закону нормального розподілу розмірів в практичних цілях. Припустимо, що всі розрахунки показали правильність нашого допущення про те, що розподіл розмірів оброблених нами деталей підлягає закону нормального розподілу.

Оцінимо точність досліджуваної  операції.

Для закону нормального розподілу зона практичного розсіювання  рівна , тобто

.

Якщо виконується рівність

,

де   Т – допуск на розмір деталі, то точність операції вважається достат-ньою.

Однак на практиці можливий брак навіть і при достатній точності процесу, якщо настроювання верстата було виконано з похибкою, величина якої перевищувала допустиме значення.

Похибка настроювання визначається за формулою (рис.29)

,

де     - похибка настроювання або величина зміщення центра розподілу  від координати середини  поля допуску .

 

Допустиме значення похибки настроювання

.

Для роботи без браку повинна зберігатися умова

.

Якщо ця умова виконуватися не буде, то неможливо запобігти браку навіть при надлишковій точності процесу.

Для порівняльної оцінки точності аналогічних операцій можна користуватися коефіцієнтом точності:

.

При  точність процесу4 добра, а при  можливий брак.

Для оцінки точності настроювання верстата користуються коефіцієнтом точності настроювання е:

.

При цьому допустиме значення

.

Умови роботи без браку опишуться нерівностями

,             .

Якщо одна або дві нерівності не виконуються, то можливий процент придатних деталей визначається за формулою

,

де:    - координата верхньої границі поля допуску відносно середини поля розсіювання;

 - координата нижньої границі поля допуску відносно середини поля розсіювання.

Процент виправного і невиправного браку визначається за формулами

,

.

При обробці деталей на розсіювання розмірів може мати вплив один домінуючий фактор. Наприклад, при домінуючому впливі теплових деформацій верстата під час підвищення температури (рис.25) розподіл розмірів в партії деталей може відповідати закону рівної ймовірності (рис.30).

Величина фактичного поля розсіювання визначається по формулі

.

Якщо домінуючий фактор має закономірність, подану на  рис.26, то розподіл розмірів може виражатися законом Сімпсона (рис.31).

В цьому випадку

.

 

Метод точкових діаграм

Метод кривих розподілу володіє тим недоліком, що не враховує послідовнсть обробки деталей, тобто не дає уяву про розподіл похибок в часі.

Метод точкових діаграм дозволяє відділити випадкові похибки від систематичних, дає наглядну уяву про різкі відхилення в ході процесу і часу їх появи. Точкову діаграму (рис.32) будують по ходу обробки в координатах номер деталі (N) – розмір деталі (L).

 

Якщо при обробці на точність розмірів впливають лише випадкові фактори, то точкові діаграми не дають додаткової інформації про точність операції в порівнянні з кривими розподілу (рис.27).

Якщо ж при обробці буде діяти яка-небудь домінуюча закономірно змінна похибка (наприклад, викликана зношуванням ріжучого інструменту), то її вплив можна визначити з точкової діаграми (рис.32).

При значних коливаннях розміру від деталі до деталі напрямок полоси розсіювання на малій ділянці виявити важко. Тоді на точковій діаграмі відкладають не розмір кожної деталі, а середній розмір групи із декількох деталей. В цьому випадку тенденція зміни розміру в часі виявляється більш чітко, та як розсіювання середніх групових розмірів менше, ніж розсіювання окремих розмірів. Так, якщо розсіювання розмірів підчиняється нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням, то розсіювання середніх групових розмірів також буде підпорядковуватися нормальному закону, але

,

де:      п - число деталей в групі;

 - середнє квадратичне відхилення поля розсіювання, визначене по деталях однієї групи.

Побудова точкових діаграм широко практикується при статистичному контролі ходу операцій. При такому контролі перевіряють не всі деталі, а лише певну частину (не більше 25%).

Внаслідок загального потоку деталей послідовно виділяють певні групи-проби і по результатах їх вимірювання будують точкову діаграму (рис.32).  Вихід середньогрупового розміру  за контрольні межі (в_к та н_к) служить сигналом для підналагодження верстату.

Положення верхньої в_к та нижньої н_к контрольних ліній по відношенню до границь поля допуску (Т) визначається величиною е:

.