АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_1_Зыза

71

6)Пусть f(x) 2 R[x] и известно, что f(1+i)=1+i. Верно ли, что f(1¡i)=1¡i?

7)Пусть f(x) 2 R[x] и известно, что f(i) = i. Верно ли, что f(1i ) = 1i ?

8)Может ли многочлен x3 + px + q с нечетными целыми коэффициентами p è q иметь целый корень?

9)Существует ли многочлен третьей степени с рациональными коэффициентами, имеющий только один иррациональный корень?

10)Существует ли над полем R неприводимый многочлен третьей степени?

11)Существует ли многочлен f(x) 2 R[x] 4-й степени, имеющий 3-кратный корень i + 2?

12)Составьте многочлен f(x)2Z[x] наименьшей степени с корнем i¡3.

Дополнительные задачи

1)Известно, что f(x) при делении на x+1 дает остаток 1, а при делении x+2 на дает остаток 2. Какой остаток дает f(x) при делении на (x + 1)(x + 2)?

2)Известно, что и f(x), è g(x) при делении на x2 +x+1 дают остаток x+1. Какой остаток при делении на x2 +x+1 дает многочлен f(x)g(x)?

3)Разложите на множители многочлен x3 ¡ 7x2 + 14x + A, зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.

4)Решите уравнение x3 ¡ 6x2 + Ax ¡ 6 = 0, если один из корней равен 3.

5)При каких A многочлен 3x4 + 4x3 ¡ 6x2 ¡ 12x + A имеет кратные корни?

6)При каких значениях A один из корней многочлена (A2 ¡ 5A + 3)x2 +

(3A ¡ 1)x + 2 вдвое больше другого?

7)Докажите, что в выражении (1 + x + ¢ ¢ ¢ + x100)(1 ¡ x + x2 ¡ ¢ ¢ ¢ + x100) не встречается x в нечетных степенях.

8)Найдите сумму коэффициентов при всех степенях x â (1¡3x+2x2)743(1+

3x ¡ 2x2)744 после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

9)Докажите, что многочлен делится на свою производную в точности тогда, когда он имеет вид a(x ¡ x0)n.

10)Докажите, что многочлен f(x) = 1 + x + x2!2 + ¢ ¢ ¢ + xnn! не имеет кратных

ãäå "0; "1; : : : ; "n¡1 (комплексные) корни n-й степени из 1.

72

X. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Понятия:

1)директрисы эллипса и гиперболы, директриса параболы;

2)оси эллипса и гиперболы, ось параболы;

3)эксцентриситет эллипса, гиперболы, параболы и окружности;

4)фокусы эллипса и гиперболы, фокус параболы;

5)центр эллипса и гиперболы;

6)вершины эллипса и гиперболы, вершина параболы;

7)фокальный радиус;

8)асимптоты гиперболы.

Факты:

1)свойства кривых второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы);

2)свойство фокальных радиусов эллипса и гиперболы;

3)характеристическое свойство эксцентриситета;

4)особенности директрис кривых второго порядка;

5)связь между вершинами и фокусами эллипса, гиперболы.

Кривой второго порядка называется множество точек (x; y) декартовой плоскости, удовлетворяющих уравнению F (x; y) = 0, ãäå F многочлен второй степени (с действительными коэффициентами) от переменных x è y. Если многочлен F не разлагается на линейные множители и уравнение F (x; y) = 0

Положительные числа a è b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса, причем b2 = a2 ¡ c2.

При таком выборе системы координат оси симметрии эллипса совпадают с осями координат, а центр симметрии с началом координат. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокаль-

íàÿ) îñü 2a и малая ось 2b.

73

Если в уравнении (1) a = b, то получим уравнение окружности x2 +y2 = a2 с центром в начале координат и радиусом a.

Число e = ac называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0 6 e < 1 (для окружности e = 0). Расстояния r1, r2 некоторой точки M эллипса до его

фокусов F1, F2 называются фокальными радиусами точки M. По определению эллипса, r1 + r2 = 2a. Åñëè M(x; y), òî r1 = a + ex, r2 = a ¡ ex.

è y = §eb , åñëè a < b. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к

расстоянию той же точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Пример 1. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат и полуоси

которого равны 6 è 4.

¤ Т.к. фокусы эллипса лежат на оси абсцисс, то a > b, ò. å. a = 6, b = 4, и уравнение эллипса x362 + y162 = 1. ¥

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости (на-

зываемых фокусами) есть постоянная величина 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c.

Если систему координат выбрать так, чтобы фокусы имели координаты F1(¡c; 0) è F2(c; 0), то уравнение гиперболы примет канонический вид

Положительные числа a è b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, причем b2 = c2 ¡ a2.

При таком выборе системы координат оси симметрии гиперболы совпадают с осями координат, а центр симметрии с началом координат. Гипербола состоит из двух ветвей. Точки пересечения гиперболы с одной из своих осей

симметрии называются вершинами гиперболы. Отрезок длиной 2a, заключен-

ный между вершинами, называется действительной (фокальной) осью, а отрезок длиной 2b, расположенный на другой координатной оси симметрично отно-

сительно начала координат, мнимой осью гиперболы.

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки гиперболы до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность. Гипербола (2) имеет две асимптоты y = §ab x.

74

Если в уравнении (2) a = b, то получим уравнение равнобочной гиперболы x2 ¡ y2 = a2. Ее асимптоты образуют прямой угол, и, если принять их за оси

определяет гиперболу, действительной осью которой служит отрезок длины 2b на оси ординат, а мнимой отрезок длины 2a на оси абсцисс. Гиперболы (2)

и (3) называются сопряженными.

Число e = ac называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, e > 1. Расстояния r1, r2 некоторой точки M гиперболы до ее фокусов F1, F2

ются фокальными радиусами точки M. По определению гиперболы, jr1 ¡ r2j = 2a. Åñëè M(x; y), òî r1 = ex + a, r2 = ex ¡ a для правой ветви гиперболы и

r1 = ¡ex ¡ a, r2 = ¡ex + a для левой ее ветви.

Директрисами гиперболы называются две прямые, перпендикулярные фокальной оси и отстоящие от центра на расстоянии a

e . Уравнения директрис

x = §ae для гиперболы (2) и y = §eb для гиперболы (3). Отношение расстояния

любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию той же точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Пример 2. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, а полуоси

равны 10 è 15.

¤ Т. к. фокусы гиперболы лежат на оси ординат, то ее уравнение

имеет вид (3). Тогда a < b, ò. å. a = 10, b = 15, и уравнение гиперболы

100x2 ¡ 225y2 = ¡1. ¥

Пример 3. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой).

Если систему координат выбрать так, чтобы фокус имел координаты F (p2 ; 0), а директриса задавалась уравнением x = ¡p2 , то уравнение параболы

При таком выборе системы координат ось симметрии параболы совпадает с осью абсцисс. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называются вершиной параболы.

Число p > 0, равное расстоянию фокуса до директрисы, называется фока-

льным параметром параболы.

Расстояние r некоторой точки M параболы до ее фокуса F называется

76

Индивидуальное задание

Задача 1. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

Задача 2. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат (для вариантов 1-5) и на оси абсцисс (для вариантов 6-12) симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

77

Задача 3. Составьте уравнение гиперболы (для вариантов 1-5) и эллипса (для вариантов 6-12), фокусы которой (которого) лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

3точка M1(92 ; ¡1) гиперболы и уравнения ее асимптот y = §23 x

4точка M1(¡3; 52 ) гиперболы и уравнения ее директрис x = §43

10точки M1(4; ¡

11точка M1(¡2

12точка M1(2; ¡2) эллипса и его большая ось 8p 3) è M2(2 2; 3) эллипса5; 2) эллипса и его малая ось 6

Задача 4. Составьте уравнение параболы, вершина которой расположена в начале координат, зная, что:

78

Задача 5. Найдите: в вариантах 1-4 координаты центра эллипса, его вершин, уравнения его директрис; в вариантах 5-8 координаты центра гиперболы, ее вершин, уравнения ее директрис; в вариантах 9-12 координаты вершины параболы, ее фокуса, уравнение ее директрисы:

79

Задача 7.

1 Определите эксцентриситет равносторонней гиперболы.

2 Определите эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 60±.

3Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса x252 + y92 = 1. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e = 2.

6Составьте уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e = 1312 , фокус F (0; 13) и уравнение соответствующей директрисы 13y ¡ 144 = 0.

9Точка A(¡3; ¡5) лежит на эллипсе, фокус которого F (¡1; ¡4), а соответствующая директриса x ¡ 2 = 0. Составьте уравнение этого эллипса.

Литература по теории

[8, ãë. 6, ŸŸ 1-4]

Номера практических заданий

[11: •• 465, 470, 475, 481, 484, 491, 498, 530, 535, 538, 540, 550, 627, 633-635, 643, 656, 660, 664]

Вопросы для самопроверки

1) Сколько существует различных видов кривых второго порядка?

2) Каким способом можно получить эллипс 4x2 + y2 = 9 из окружности

x2 + y2 = 9?

3)Могут ли две произвольные точки быть фокусами некоторого эллипса?

4)Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение осей которого равно 299

300 . Чему равен эксцентриситет земного меридиана?

5)Могут ли быть равными эксцентриситеты эллипса и гиперболы?

6)Чему равно расстояние между директрисами гиперболы?

80

7)Может ли ветвь гиперболы быть параболой?

8)Чему равно расстояние от фокуса параболы до ее директрисы?

9)На какой прямой расположены вершина и фокус параболы (y ¡ 9)2 =

¡10(x + 5)?

10)Сколько точек плоскости однозначно определяют кривую 2-го порядка?

11)Чему равен угол между асимптотами гиперболы xa22 ¡ yb22 = 1?

12)Верно ли, что две гиперболы подобны, если их эксцентриситеты равны?

Дополнительные задачи

1)Составьте уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e = 0; 5, фокус F (3; 0) и уравнение соответствующей директрисы x + y ¡ 1 = 0.

2) Составьте уравнение эллипса с малой осью 2 и фокусами F1(¡1; ¡1) è

F2(1; 1).

найдите его полуоси.

4) Докажите, что произведение расстояний любой точки гиперболы до двух асимптот величина постоянная.

5) Составьте уравнение гиперболы, зная, что угол между асимптотами прямой, а фокусы суть F1(4; ¡4) è F2(¡2; 2).

6) Точка M(1; ¡2) лежит на гиперболе, фокус которой F (¡2; 2), а соответствующая директриса задана уравнением 2x ¡ y ¡ 1 = 0. Составьте урав-

нение этой гиперболы.

7) Установите, что полярное уравнение ½ = 16

3¡5 cos ' определяет правую ветвь гиперболы, и найдите полуоси этой гиперболы.

8) Составьте уравнение параболы с вершиной A(¡2; ¡1) и директрисой x +

2y ¡ 1 = 0.

9)Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус F (2; ¡1) и директриса

x ¡ y ¡ 1 = 0.

10)Дано уравнение параболы y2 = 2px. Составьте ее полярное уравнение

при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы.

11)Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которой равен p = 0; 1. Определите высоту струи, если известно, что она попадает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.

12)Можно ли покрыть плоскость конечным числом парабол? (Здесь под параболой понимается выпуклое множество, ограниченное параболой- "линией".)