АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_1_Зыза

41

Система m линейных уравнений от n переменных

x=1; y =2; z =3. ¥

Матричная запись системы линейных уравнений частный случай более общего матричного уравнения AX = B, ãäå X è B не обязательно вектор-

столбцы. Если матрица A квадратная и невырожденная, то такое уравнение имеет единственное решение X = A¡1B.

42

Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы определяются так же, как и элементарные преобразования строк (столбцов) определителя.

Квадратная матрица называется элементарной, если она получается из единичной матрицы заменой одного из ее элементов на ненулевое число, либо

зование столбцов (строк) квадратной матрицы может быть реализовано путем умножения этой матрицы слева (справа) на такую элементарную матрицу, которая получается из единичной посредством того же самого преобразования.

Пример 6. На какую матрицу и с какой стороны следует умножить данную (4 £ 4) - матрицу A, чтобы в этой матрице ко второму столбцу

прибавился четвертый столбец?

¤ Элементарная матрица P получена из единичной умножением 3-й строки (или 3-го столбца) на ¡4, а элементарная матрица T -

вычитанием из третьей строки 2-й (или вычитанием из второго столбца 3-го). Значит, матрица P X получается из X умножением 3-й строки

матрицы X íà ¡4, матрица XP - умножением 3-го столбца матрицы X íà ¡4, матрица T X - вычитанием из 3-й строки матрицы X 2-й строки, а матрица XT - вычитанием из 2-го столбца матрицы X 3-ãî. ¥

43

Индивидуальное задание

45

Литература по теории

[1, ãë. 3, ŸŸ 13-15], [2, ãë. 1, Ÿ9]

Номера практических заданий

[5: •• 220, 221, 223, 224, 410, 411] [6: •• 790-796, 799-802, 804, 805, 808, 809, 822-825, 827-829, 836-843, 870]

Вопросы для самопроверки

4)Верно ли, что если A; B вырожденные матрицы, то A+B è AB тоже вырожденные матрицы?

5)Известно, что AB = O. Означает ли это, что A = O èëè B = O?

6)Известно, что AB = E. Означает ли это, что BA = E?

7)Пусть A невырожденная симметрическая матрица. Будет ли симметрической матрица A¡1?

8)Пусть A невырожденная треугольная матрица. Будет ли треугольной матрица A¡1?

9)Является ли симметрической матрица AAT ?

10)Образуют ли группу все n £ n-матрицы с действительными элементами:

а) относительно умножения; б) относительно сложения?

11) Может ли быть группой относительно умножения некоторое множество вырожденных матриц?

12) Если для квадратных n£n-матриц A è B выполняется равенство ABA = A, то каким может быть det(AB)?

46

Дополнительные задачи

(a)Докажите, что множество всех 2 £ 2-матриц X таких, что XA = O, замкнуто относительно сложения и умножения.

(b)Решите матричное уравнение (A + X)2 = A2 + 2AX + X2.

(c)Решите матричное уравнение (A + X)(A ¡ X) = A2 ¡ X2.

4)Пусть A è B квадратные матрицы n-го порядка. Докажите, что A = B тогда и только тогда, когда AX = BX для произвольной матрицы-

8)Докажите, что квадратная матрица перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка в точности тогда, когда она скалярна.

9)Докажите, что для невырожденной целочисленной матрицы A обратная матрица A¡1 целочисленна в точности тогда, когда det A = §1.

10)Пусть квадратная матрица A такова, что An = O. Найдите матрицы

(E § A)¡1.

11) Пусть для матрицы A второго порядка An = O. Докажите, что A2 = O. 12) Обратите матрицу:

47

VII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Понятия:

1)решение системы линейных уравнений;

2)однородная и неоднородная системы;

3)совместная, несовместная, определенная, неопределенная системы;

4)элементарные преобразования систем;

5)эквивалентность систем;

6)расширенная матрица системы;

7)ступенчатая матрица;

8)связные и свободные переменные;

9)общее и частное решения системы линейных уравнений;

10)линейное пространство Rn;

11)линейное подпространство пространства Rn;

12)линейная комбинация;

13)линейная оболочка;

14)линейная зависимость и независимость;

15)ранг системы векторов;

16)ранг матрицы;

17)базис и размерность линейного подпространства;

18)фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Факты:

1)эквивалентность систем линейных уравнений, получаемых друг из друга элементарными преобразованиями;

2)метод Гаусса;

3)условия существования и единственности решений систем, приведенных к ступенчатому виду;

4)свойства линейно зависимых систем векторов;

5)сохранение ранга при элементарных преобразованиях;

6)критерий равенства нулю определителя;

7)линейная зависимость более чем n векторов в пространстве Rn;

8)эквивалентность различных определений ранга матрицы;

9)ранг произведения матриц;

10)общее решение неоднородной системы уравнений как сумма частного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы;

11)критерий существования ненулевого решения однородной системы;

12)теорема Кронекера Капелли.

48

Рассмотрим систему m линейных уравнений от n переменных в матрич-

ной записи: AX = B. Элементы матрицы A = (aij)m£n называются коэффици- ентами при переменных x1; : : : ; xn, а элементы b1; : : : ; bm вектор-столбца B

свободными членами.

Решением системы AX = B называется упорядоченный набор чисел ®1; : : : ; ®n, такой что для вектор-столбца U = (®1; : : : ; ®n)T выполнено AU = B. Система AX = O называется однородной, система AX = B ïðè B =6 O íåîä-

нородной.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, не имеющая решений несовместной. Совместная система, имеющая ровно одно решение, называется определенной, имеющая более одного решения неопределенной.

Частное решение системы линейных уравнений это любое ее решение. Общее решение это запись всех ее решений.

ñÿ: К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относят-

1) перестановка двух уравнений;

2) умножение одного из уравнений на ненулевое число; 3) прибавление к одному из уравнений другого, умноженного на число.

Две системы называются эквивалентными (или равносильными), если множества их решений совпадают, либо обе системы несовместны. Элементарные преобразования системы переводят ее в эквивалентную систему.

Систему уравнений удобно записывать в виде расширенной матрицы: (AjB). Тогда элементарным преобразованиям уравнений системы соответству-

ют элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы.

Матрица (aij) размера m £ n называется ступенчатой, если номера пер-

вых (считая слева направо) ненулевых элементов в ее строках образуют строго возрастающую последовательность, а нулевые строки (если они есть) стоят в

конце. Именно, существуют такие натуральные числа k1 < k2 < ¢ ¢ ¢ < kr, ÷òî

a®k® =6 0, ® 2 f1; : : : ; rg è a®i = 0 ïðè i 2 f1; : : : ; k® ¡ 1g, ® 2 f1; : : : ; rg. Ïðè

r < m строки r + 1; r + 2; : : : ; m нулевые.

Любую матрицу цепочкой элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатой.

Пусть расширенная матрица системы элементарными преобразованиями строк приведена к ступенчатому виду. Тогда:

1) если есть строка с нулевыми элементами до вертикальной черты и ненулевым элементом после черты, то система несовместна;

2) åñëè r = n и не имеет места случай 1), то система определенна; 3) если r < n и не имеет места случай 1), то система неопределенна.

50

через t, затем полученное выражение подставим в первое уравнение, от-

куда выразим x через y è t: z =¡23 t+ 13 ; x=¡y¡z¡t+1=¡y¡ 13 t+ 23 . Èòàê, общее решение исходной системы имеет вид x=¡y¡13 t+ 23 , z =¡23 t+ 13 . ¥

Метод Гаусса позволяет также решать матричные уравнения AX = B для произвольных матриц A è B. В частности, обратную матрицу можно найти, записав матричное уравнение AX = E â âèäå n систем линейных уравнений, каждая из которых от n переменных, с общей матрицей A, и одновременно