АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_1_Зыза

ÓÄÊ 514.14

Алгебра и геометрия (высшая алгебра и аналитическая геометрия). Методическое пособие для студентов специальности "Прикладная математика" дневной и заочной формы обучения / А. В. Зыза, А. М. Кизименко, В. В. Лиманский, Д. В. Лиманский, В. И. Хаджинов. - Донецк, ДонНУ, 100, 96 с.

Пособие содержит дидактические материалы по высшей алгебре и аналитической геометрии, предназначенные для студентов специальности "Прикладная математика" дневной и заочной формы обучения. Приведены краткие теоретические сведения, решения типовых задач и предложены тексты индивидуальных заданий. Содержание всех материалов соответствует программе курса "Алгебра и геометрия" в объеме I семестра.

Печатается по решению Ученого совета математического факультета ДонНУ (протокол N49 от 25 апреля 2006 г.)

Компьютерный набор и верстка в LATEX 2": Д. В. Лиманский

°c ДонНУ

°c А. В. Зыза, А. М. Кизименко, В. В. Лиманский, Д. В. Лиманский, В. И. Хаджинов, 2006

3

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III. Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 V. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 VI. Алгебра матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 VII. Общая теория систем линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 VIII. Алгебра комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 IX. Алгебра многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 X. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Образцы тестовых заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Тематическое содержание курса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее методическое пособие содержит тексты индивидуальных заданий в 12 вариантах по высшей алгебре и некоторым разделам аналитической геометрии.

Перечень основных понятий и фактов в каждом из разделов пособия, их краткое изложение, наличие вопросов для самопроверки, а также образцов решения типовых задач способствует успешному усвоению материала. Каждое индивидуальное задание состоит из серии однотипных и одинаковых по сложности задач, а приводимые в каждом разделе дополнительные задания усиливают творческую, неалгоритмическую часть курса. В конце пособия приведены образцы тестовых заданий и перечень тем, иллюстрирующих тематическое содержание курса.

Содержание всех материалов пособия соответствует программе курса "Алгебра и геометрия" в объеме 1-го семестра для студентов 1-го курса специальности "Прикладная математика", а также требованиям, предъявляемым к методическому обеспечению курсов для студентов, обучающихся по кредитномодульной системе.

5

I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Понятия:

1)коллинеарность и компланарность векторов;

2)базисы на плоскости и в пространстве;

3)ориентация;

4)скалярное произведение;

5)векторное и смешанное произведения.

Факты:

1)критерии коллинеарности и компланарности;

2)критерий совпадения ориентаций у двух базисов;

3)связь между скалярным, векторным и смешанным произведениями;

4)формула, выражающая двойное векторное произведение через скалярное;

5)формула для вычисления площади треугольника;

6)формула для вычисления объема тетраэдра.

Если задана система координат, то вектор v¯ можно задавать, указывая его координаты: v¯ = (x; y; z) (или на плоскости v¯ = (x; y)).

Два вектора коллинеарны, если они параллельны некоторой прямой. При этом нулевой вектор считается параллельным любой прямой. Поэтому нулевой вектор коллинеарен любому.

Три вектора компланарны, если они параллельны некоторой плоскости. При этом нулевой вектор считается параллельным любой плоскости. Поэтому три вектора, содержащие хотя бы один нулевой, компланарны.

Базис векторов на плоскости это упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости. Упорядоченность означает, что указано, какой из век-

торов пары первый, а какой второй. Разложение вектора v¯ по базису fe¯1; e¯2g это представление v¯ â âèäå v¯ = x1e¯1 + x2e¯2. Числа x1; x2 называются координа- тами вектора v¯ в базисе fe¯1; e¯2g. Любой вектор однозначно раскладывается по

заданному базису.

Базисом векторов в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Упорядоченность означает, что указано, какой из ве-

кторов тройки первый, какой второй, а какой третий. Разложение вектора v¯ по базису fe¯1; e¯2; e¯3g это представление v¯ â âèäå v¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + x3e¯3. Числа x1; x2; x3 называются координатами вектора v¯ в базисе fe¯1; e¯2; e¯3g. Любой

вектор однозначно раскладывается по заданному базису.

Два вектора на плоскости коллинеарны в точности тогда, когда определитель второго порядка, составленный из координат этих векторов в некоторой

6

декартовой системе, равен нулю. Аналогично три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов, равен нулю.

Пример 1. Разложите вектор v¯=(13; 9) по базису e¯1 = (2; 3), e¯2 =(3; 1).

x2 =3. ¥

Два базиса на плоскости одинаково ориентированы, если первый вектор каждого базиса можно совместить со вторым поворотом на угол, меньший 180±,

в одном и том же направлении (по или против часовой стрелки). При этом базисы рассматриваются из одного полупространства, ограниченного данной плоскостью.

Два базиса в пространстве одинаково ориентированы, если первый вектор каждого базиса можно совместить со вторым поворотом на угол, меньший

180±, в одном и том же направлении (по или против часовой стрелки). Базисы

Пример 3. Определите проекцию вектора v¯ = (3; ¡5; 7) на плоскость, параллельную векторам e¯1 = (2; 1; 1) è e¯2 = (¡1; 1; 3).

7

¤ Имеется в виду нахождение такого вектора w¯, ÷òî w¯ = x1e¯1 + x2e¯2 è ÷òî v¯ ¡ w¯ ? e¯i, i = 1; 2. Поэтому (¯v ¡ x1e¯1 ¡ x2e¯2; e¯i) = 0; i = 1; 2. Отсюда

щадью параллелограмма, построенного на v¯ è w¯ как на сторонах: j[¯v; w¯]j = jv¯jjw¯j sin \(¯v; w¯). Вектор [¯v; w¯] перпендикулярен и v¯, è w¯. Ориентация векторов

компланарны. В противном случае модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на сомножителях как на ребрах. (¯u; v;¯ w¯)

8

Индивидуальное задание

Задача 1. По указанным координатам вершин и векторов в параллелограмме ABCD найдите координаты остальных его вершин.

Задача 3. Найти проекцию вектора v¯ на направление, определенное вектором e¯.

Задача 4.Найти проекцию вектора v¯ на плоскость,параллельную векторам e¯1;e¯2.

Задача 5. Определите площадь треугольника ABC.

9

Задача 6. Определите объем тетраэдра ABCD (точки A; B; C из задачи 5).

Литература по теории

[8, ãë. 2]

Номера практических заданий

[11: •• 7, 77, 79, 85, 87, 88, 1191, 1196, 1197, 1202. 1205, 1208, 1222, 1226, 1228, 1235, 1238, 1239]

Вопросы для самопроверки

1)Два вектора коллинеарны. Верно ли, что каждый из них пропорционален другому?

2)Два из трех векторов коллинеарны. Докажите, что эти три вектора компланарны.

3)Три вектора e¯1; e¯2; e¯3 компланарны. Можно ли утверждать, что e¯1 = ®e¯2+

¯e¯3?

4) Векторы e¯1; e¯2 неколлинеарны, а e¯1; e¯2; e¯3 компланарны. Докажите, что

e¯3 = ®e¯1 + ¯e¯2.

5)В каком случае три попарно ортогональных вектора компланарны?

6)Три точки на плоскости не лежат на одной прямой. Сколько базисов на этой плоскости можно составить из векторов с концами в этих точках?

7)Тот же вопрос для четырех некомпланарных точек в пространстве.

8)Сравните ориентации базисов fe¯1; e¯2; e¯3g è fe¯3; e¯1; e¯2g .

9)Векторы e¯1; e¯2; e¯3 компланарны. Может ли система [¯e1; e¯2], [¯e2; e¯3], [¯e3; e¯1]

10

Дополнительные задачи

1)Даны точки A(x1; y1); B(x2; y2). Найдите координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении m : n, считая от точки A. Выразите радиус вектор rC точки C через радиус векторы rA; rB концов отрезка AB.

2)Зная радиус векторы r1; r2; r3 вершин треугольника ABC, найдите

радиус вектор точки пересечения его медиан (центра тяжести вершин треугольника).

3)Докажите, что точка D лежит в плоскости ABC в точности тогда, когда

ее радиус-вектор rD линейная комбинация радиус-векторов

точек A; B; C с суммой коэффициентов 1, и лежит внутри треугольника ABC в точности тогда, когда rD выпуклая комбинация rA; rB; rC.

4)Известно, что ABCD прямоугольник. Докажите, что для произвольной точки M справедливо равенство MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

5)В параллелепипеде даны длины OA = a, OB = b, OC = c трех его ребер, выходящих из вершины O, è óãëû \BOC = ®, \COA = ¯, \AOB = °. Вычислите: а) длину диагонали OD параллелепипеда; б) его объем.

6)Докажите, что плоñкость, проведенная через концы трех некомпланарных векторов a, b, c, исходящих из начала координат, перпендикулярна вектору [a; b] + [b; c] + [c; a].

½1; i=j

0; i6=j . Пользуясь операциями скалярного и векторного умножения,1 2 3 1 2 3 i j

найти формулы для векторов b1; b2; b3 базиса, взаимного базису a1; a2; a3.

11)Докажите, что в произвольном тетраэдре сумма векторов, перпендикулярных к его граням, направленных во внешнюю сторону и равных по модулю площадям соответствующих граней, равна нулю.

12)В каждой из плоскостей трехгранного угла проведена прямая, перпендикулярная ребру угла, не лежащему в соответствующей плоскости. Докажите, что все три проведенные прямые лежат в одной плоскости.