Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

АиГ_1_Зыза

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

686.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пример 2.

Вычислите определители: а)¯¡3

¡6¯; á)¯¡1

¡4

¡7

¯.

3 5

5 7 5

5¯

3 ¡3 ¡5 ¡8

¡3

¡1 3

4 3

6¯

¯¡

¤ а) Приведем определитель к треугольному виду следующими

элементарными преобразованиями. Сначала ко 2-й строке прибавим 1-ю, а к 4-й - удвоенную 3-ю. Затем к 3-й строке, умноженной на 3, прибавим 1-ю строку, умноженную на (-2). Затем к полученным на первом шаге 3-й

è4-é строкам прибавим 2-ю строку, умноженную соответственно на (-9)

è(-7). На последнем шаге к полученной на втором шаге 4-й строке прибавим 3-ю, умноженную на (-1). Имеем:

¯¡3

¡6¯

= 1

¯0

¡1

¯=

¯0

¡1

¯ = 1 3( 1)( 2) 9=18:

¡3

¡5 ¡8

¡3

¡5

¡8

3 ¡3 ¡5 ¡8

¡ ¡

¡ ¡ ¡

¡ ¡

¢ ¡ ¡ ¢

4 3

6¯

¯0

¯0 0

¯¡

7 5

¯0

11 1¯

¯0 0

19¯

б) Обозначим¯

исходный¯

определитель¯ ¯

через

. Сначала¯

элементарными преобразованиями столбцов преобразуем в нули все элементы 4-й строки, кроме a43. Для этого вычтем удвоенный 3-й

столбец из 1-го и 4-го, прибавим удвоенный 3-й столбец ко 2-му. Затем разложим получившийся определитель по элементам 4-й строки. Поступая аналогичным образом для полученного определителя 3-го порядка, имеем:

7 13 5

15¯

¯¡ ¡

28 95

¡5 ¡1

5 5

1 0

¯¡

0 1

7 13 15¯

22 28 95¯

=( 1)4+3

¡3 2

=( 1)2

¡2

162:

¯13

¡18 ¡7

16¯

¡18 16

¯¡

Пример 3. Дан 4£4-определитель со столбцами a; b; c; d. Как изменит-

ся значение определителя, если его столбцы заменить на столбцы

a, 3a ¡ b, c, d?

¤ Чтобы перейти от столбцов a; b; c; d к столбцам a; 3a¡b; c; d, после-

довательно выполним следующие элементарные преобразования: сначала умножим все элементы 2-го столбца на (¡1), а затем к полученному 2-му

столбцу прибавим утроенный 1-й столбец. После первого элементарного преобразования определитель поменяет знак на противоположный, а после второго - не изменится. Поэтому в результате указанной замены

столбцов определитель поменяет знак. ¥

Пример 4. Вычислите определитель

	¯¡1		x	0	:::	0	0¯
	¯	0	1	x	:::	0	0¯
	¯	1	2	3	:::	n¡1	n
n-го порядка:	¯						¯
	¯: : : :¡: : : : : : : : : : : : : : : :¯.
	¯	0	0	0	:::	x	¯
	¯	0	0	0	:::	x	0¯
	¯	0	0	0	:::	1	¯
	¯	0	0	0	:::	1	x¯
	¯					¡	¯
	¯						¯
	¯						¯
	¯						¯

¤ Обозначим данный определитель через

и разложим его по

элементам последнего столбца. Имеем:

¡1 x

0 : : :

2 3 : : :

n ¡ 1

¡1 x : : :

¯¡1 x

0 : : :

= ( 1)n+1

1 : : :

+ x

1 x : : :

¯: : : : : : : : : :¡: : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯: : : : :¡: : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

0 : : :

1 x

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

0 : : :

0 0 : : :

1¯

равен (

1, а второй¯

Первый определитель¯

- верхний треугольный¯

è¯

1) ¡

- такого же вида, как и исходный, но порядка n ¡ 1. Таким образом,

для нахождения n получаем рекуррентное соотношение	n	= n + x n¡1.
Применяя рекуррентную формулу для n¡1, затем для	n¡2	è ò.ä.,
получим n = n + (n ¡ 1)x + (n ¡ 2)x2 + ¢ ¢ ¢ + 2xn¡2 + xn¡1. ¥

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1

8 a21x1 + a22x2

¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2

¢ ¢ ¢

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>an1x1 + an2x2 + ¢ ¢ ¢ + annxn = bn

Обозначим

a11 a12 ::: a1n

b1 a12 ::: a1n

a11 b1 : : : a1n

a11

a12 : : : b1

=¯a21

a22

::: a2n¯;

¯b2 a22

::: a2n¯;

=¯a21

: : :

a2n¯

; : : : ;

¯a21

a22 : : : b2¯

¯: : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯: : : : : : : : : : : : : : :¯

¯a

::: a ¯

¯b

::: a

¯a

: : :

a ¯

¯a

: : :

b ¯

nn¯

¯ n1

nn¯

¯ n1

n¯

Определитель¯

называется¯

(основным)¯ ¯

определителем¯

системы¯

, à îïðå¯-

делители

i, i 2 f1; : : : ; ng, вспомогательными определителями.

Правило Крамера для решения такой системы заключается в следующем:

система имеет единственное решение в точности тогда, когда

6= 0, è ýòî

решение определяется по формулам Крамера:

x1 =

; x2 =

; : : : ; xn =

> x+2y+z =8

Пример 5. Решите систему по формулам Крамера: > 3x+2y+z =10.

:4x+3y¡2z =4

= ¯3

¤ Вычислим определитель системы:

= 14. Ò.ê.

6= 0,

¯4

2¯

то правило Крамера применимо. Вычислим вспомогательные¯ ¯

определители:

1 = ¯10 2

1 ¯

= 14;

2 = ¯3 10 1

= 28;

3 =

¯3 2 10¯

= 42:

4 3

2¯

¯4 4

2¯

¯4 3 4

8 2

1 8

1 2 8

¡ ¯

Отсюда по¯

формулам¯

Крамера имеем:¯

x =

= 1;

y =

= 2;

z =

= 3: ¥

Индивидуальное задание

Задача 1. Выпишите все члены 5 £ 5-определителя, содержащие данные множители и входящие в выражение определителя со знаком: а) "+"; б) "¡".

á)

a24a33

a35a42a51

a15a34a42

a23a34

a24a43

a15a42a34

a22a31

a14a32a43

a23a35

a25a53a31

a23a34a45

a42a54

a31a14

a31a13a45

a25a42

a13a35a44

a34a45

a15a34a42

a24a41a13

a14a21

a13a24

a14a42a51

a41a32

a22a31a43

Задача 2. Вычислите определители:

à)

¯10 10 11 11¯

¯2 2 ¡3 1¯

¯1 0 0 0¯

3 0

3¯

¯11 12 12 12¯

¯0 0 1 0¯

¯2 8 5 0¯

5 0

4¯

9 10 10 11

3 2 ¡3 0

4 3 2 1

0 0

2 2

¯12 12 13 14¯

¯0 5

2 4¯

¯3 7 4 0¯

5¯

¯¡

0 0¯

2 2 2 1

¯3 1 1 1¯

¯10 11 12 13¯

0 0¯

2 0 3 0

¯2 1 1 1¯

¯11 10 11 12¯

2 1 0¯

¯3 3 4 0¯

8 5 9 5¯

¯12 11 10 11¯

¯¡ ¡

¯¡

2 1¯

¯4 0 5 0¯

7 7 7 4¯

¯13 12 11 10¯

¯¡ ¡

2 0 3

¯1 1 1 1¯

4 3 2 0

5 1

2¯

3 3

3¯

¯1 2 1 2¯

3 0 4 5

3 7

1 4¯

¯¡

¯¡3 0 0 0

¯1 1 3 1¯

¯2 1 3 2¯

9 2

7¯

¯¡

5 0 7

¯1 2 1 4¯

¯1 0 0 0¯

6 1

2¯

á)


1		¯¡1 ¡1 ¡1 1 1¯													2	¯11 12 12 13 13¯							3			¯1 3 1 0 0¯
1		¯		0		0		0 1 0¯							2	¯11 12 13 13 14¯							3			¯1 6 4 1 0¯
		¯		5		4		0		1		0				10		10	11	11	12						1			1		0		0	0
		¯		1		1		0		1			¯			¯		13	14	14		¯				¯				10	10			5		¯
		¯		1		1		0		1		1¯				¯12		13	14	14	15¯					¯1				10	10			5	1¯
		¯		6		5		0		1			¯			¯		14	14	15		¯				¯				15	20			15		¯
		¯		6		5		0		1		0¯				¯12		14	14	15	16¯					¯1				15	20			15	6¯
		¯				1	2 0						¯			¯		0 2 3 4 5				¯				¯		3 6 5 6 4								¯
		3¯				1	2 0						2¯			¯		0 2 3 4 5				¯				¯		3 6 5 6 4								¯
		¯				¡2	¡2			1			¯			¯		1 1 2 3 4				¯				¯		5 9 7 8 6								¯
		¯2				¡2	¡2			1			¯2			¯		1 1 2 3 4				¯				¯		5 9 7 8 6								¯
4	¯¡				¡ ¡ ¡						¡			¯	5		¯				¯		6				¯									¯
4	¯	0				0	1		0				0	¯	5		¯1 0 1 2 3¯						6				¯6 12 13 9 7¯
	¯													¯			¯				¯						¯									¯
	¯	4				2	¡2 0						5	¯			¯				¯						¯									¯
	¯	4				2	¡2 0						5	¯			¯1 0 0 0 1¯										¯2 5 4 5 3¯
	¯						¡							¯			¯	0		0 0	¯	1					¯			3 2 0						¯
	¯	0				1¡ 1 1 1 1							0	¯			0¯	0		0 0	¯	1					¯0			3 2 0						¯5
	¯	0				1	2 0						0	¯			¯1 0 0 1 2¯										¯4 6 6 5 4¯
	¯													¯			¯				¯						¯									¯
	¯				¯						¯			¯		¯		¡	¡			¯			¯					¡				¡			¯
					¯						¯					¯		¡	¡			¯			¯												¯
					¯1 2 1 4 1¯											¯	2 3			0 3 4¯					¯				1 2 3 5 2¯
					¯						¯					¯						¯			¯¡												¯
7					¯1 1 1 1 5¯										8	¯¡5 4				3 4 5¯			9		¯		0			0 0 0 1¯
7					¯1 1 3 1 1¯										8	¯	4	5		2 2 3¯			9		¯		0			4 2 1 3¯
			0		¯	0 0 0					¯	1				¯¡						¯			¯					2 0				3			¯
			0		¯	0 0 0					¯	1				¯11 12 13 14 15¯									1¯					2 0				3		3¯
					¯						¯					¯						¯			¯												¯
10		¯			¯	0	1	¡			¡		¯		11	¯		14	15	16		¯	12	¯						¡	0			1		0		¯
10		¯0				0	1	0			0		¯		11	¯13		14	15	16	17¯		12	¯1						3	0			1		0		¯
		¯	0			2 5			4		¡¯	2				¯12 13 14 15 16¯								¯	1¯					¡5 0				0		1¯		¯
		¯				3 2 2							¯			¯						¯		¯						3		3		3				¯
		¯0				3 2 2						4¯				¯14 15 16 17 18¯								¯1						3		3		3		3¯
		¯				¡					¡		¯			¯						¯		¯						¡ ¡			¡ ¡					¯
		¯2 3 4 5										5¯				¯15 16 17 18 19¯								¯1 0							0			0		0		¯
		¯									¡		¯			¯						¯		¯														¯
		¯									¡		¯			¯						¯		¯														¯
		¯											¯			¯						¯		¯														¯
		¯											¯			¯						¯		¯														¯

Задача 3. Дан 4 £ 4-определитель со столбцами a; b; c; d. Как изменится значение определителя, если его столбцы заменить на указанные ниже столбцы?

	a)	á)	â)
1	a + b; b; c; d	a; a + 2b; c; d	¡b; a; c; d
2	a; b ¡ 2c; c; d	a; b; b ¡ 2c; d	a; ¡c; ¡d; b
3	2a + 3b; c; d; b	a; a + 2b; c; d	a+b; b+d; c; d+a

4	a; b; 2c ¡ 3d; d	a; b; c; 2c ¡ 3d	a+c; b; c+d; d+a
5	a; c; ¡b; d	2a + d; b; c; d	a+b; b+c; c+a; d
6	a; b; c; 3c ¡ d	a; b; c; 2c ¡ 3d	a; b+c; c+d; d+b
7	a; 2b ¡ c; c; d	a; b; 2b ¡ c; d	a; b; 2b¡c; d
8	¡b; ¡a; c; d	a; b; 3c ¡ d; d	a; b¡c; c¡d; d¡b
9	a; 2b ¡ 3c; c; d	a; b; 2b ¡ 3c; d	a¡b; b¡d; c; d¡a
10	2a + 3c; b; c; d	a; b; 2a + 3c; d	a¡c; ¡b; c¡d; d¡a
11	a; b; 3b + c; d	a; 3b + c; c; d	a¡b; b¡c; c¡a; d
12	a; b; c; 3b + d	a; 3b + d; c; d	a; b¡c; c¡d; d¡b

Задача 4. Вычислите определитель n-го порядка:

: : :

2¯

¯1

:::

¡1

: : :

2¯

¯1

:::

¡1

: : :

:::

¯n n 3 : : : n¯

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯: : : : : : : : : : : : :¡: : : : : : : : : :¯

: : :

1 : : : 2

:::

¯: : : : : : : : : : : : : : : : :¯

2¯

¯1

: : :

:::

n ¡1

¯n n n : : : n¯

¯n

2¯

¯1

1¯

0 0

x y 0 0 : : :

¯ n

:::

: : :

0 x y 0 : : :

0 0

¡¯

0 0 x y : : :

0 0¯

:::

: : :

¯1

1¯

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯: : : : : : : : : : : : :¡: : : : : : : : : : : :

¯: : : : : : : : : : : : : : : :¯

:::

: : :

0 0 0 0 : : :

x y

::: 1

: : :

¯1

0¯

¯y 0 0 0 : : :

0 x¯

: : :

:::

: : :

¡1

¯1

¯¯

: : :

¯¯

a2 +x

:::

¯b

: : :

¯: : : : : : : : : : : : : : : :¡: : : : : : : :¯

:::

¯: : : : : : : : : : : : : : : : :¯

: : :

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯b

¡1

: : :

:::

+x¯

¯b

: : :

a¯

: : :

:::

¯1

: : :

1¯

¯0

: : :

0¯

¯1

:::

: : :

1¯

¯¡

: : :

:::

¯n

: : :

1¯

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯: : : : : : : : : : : : : : : : :¯

¯0

: : :

3¯

¯1

:::

a +b

: : :

n¯

Задача 5. Решите систему уравнений по формулам Крамера:

x + y ¡ z = 36

x + 2y + z = 4

2x ¡ 4y + 9z = 28

x ¡ y + z = 13

3x ¡ 5y + 3z = 1

7x + 3y + 6z = ¡1

:¡ 2x + y = 5

: x + y + z¡= 36

7x + 2y¡+ 3z = 15

x + y + z = 7

2x + 7y z = 8

7x + 9y 9z = 5

x + 3z = 16

2x ¡ 3z = ¡17

5x ¡ 3y + 2z = 15

5y + z = 10

6x 5z = 7

<10x 11y + 5z = 36

5¡x ¡ y ¡ z = 0

:x + 3¡y ¡ 6z = 12

x¡+ y ¡ 2z = 4

8 x + 2y + 3z = 14

3x + 2y + 5z = ¡10

3x + 3y + 5z = 1

4x + 3y + 2z = 16

2x + 5y 3z = 6

2x y 7z = 8

:¡4x + 2y ¡ 9z = 28

x ¡ y +¡z = 36

:¡7x +¡3y¡+ 2z = ¡15

3x + 7y ¡ 6z = ¡1

¡3x + 2z = ¡17

¡5x + 2y ¡ 3z = ¡15

9x + 7y + 9z = 5

5x + 6z = 7

10x + 5y

11z = 36

Литература по теории

[1, ãë. 1, ŸŸ 2-7], [2, ãë. 2, ŸŸ 4, 5]

Номера практических заданий

[5: •• 232, 235-240, 248-256, 261-263, 266, 275-281] [6: •• 90-98, 100-104, 111-117, 123-136, 188-194, 197-205, 208, 212-216, 236-

240, 257-272, 279-284, 290-293, 297-301, 425-434]

Вопросы для самопроверки

1)Какая перестановка n чисел имеет наибольшее число инверсий? Чему оно равно?

2)Как изменится определитель, если к его 1-й строке прибавить удвоенную 2-ю?

3)Как изменится определитель, если к его удвоенной 1-й строке прибавить 2-ю?

4)Как изменится определитель n-го порядка, если знаки всех его элементов заменить на противоположные?

5)Как изменится определитель n-го порядка, если все его элементы умножить на p?

6)С каким знаком входит в определитель n-го порядка произведение элементов его побочной диагонали?

7)Как изменится определитель n-го порядка (n > 3), если из первой его строки вычесть вторую, из второй третью и из третьей первую?

8)Как изменится определитель, если все его элементы aij умножить на ij?

9)Чему равно количество миноров k-го порядка для определителя n-го порядка?

10)Какие из следующих высказываний верны для системы n уравнений от n переменных: а) если определитель системы равен нулю, то система не

имеет решений; б) если система имеет бесконечно много решений, то ее определитель равен нулю?

Дополнительные задачи

1)Докажите, что для любого k 2 f0; : : : ; n(n2¡1) g существует перестановка n чисел, которая имеет k инверсий.

2)Как изменится определитель n-го порядка, если: а) все его столбцы запи-

сать в обратном порядке; б) каждый его элемент заменить симметричным относительно побочной диагонали?

3)Докажите, что кососимметрический определитель нечетного порядка равен нулю.

4)Докажите, что если определитель n-го порядка содержит более чем n2 ¡n нулевых элементов, то он равен нулю.

5)Вычислите определитель n-го порядка, треугольный относительно побо- чной диагонали.

6)Все элементы главной диагонали n £ n-определителя равны нулю, а все

остальные его элементы отличны от нуля. Сколько членов, равных нулю, имеет такой определитель?

7)Докажите, что разложение Лапласа определителя n-го порядка по k строкам совпадает с разложением по остальным n ¡ k строкам.

8)Докажите, что произвольный определитель равен сумме двух определителей, один их которых получен из данного путем прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки числа p, а другой путем прибавления ко всем элементам той же строки числа ¡p.

9)Докажите, что если в определителе n-го порядка все миноры k-го порядка (k < n) равны нулю, то и все миноры больших порядков тоже равны нулю.

10)Как изменится определитель, если все его элементы aij умножить на ci¡j?

11)Чему равно наибольшее возможное значение 3 £ 3- определителя, элеме-

нты которого равны §1?

(xn)¯,

12) Вычислите определитель

'2(x1) '2(x2) ::: '2

ãäå

(x1) '1

(x2) ::: '1

(xn)

'k(x)

¯: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :¯

)

) ::: '

¯'

)¯

k2 f1; : : : ; ng многочлены (k ¡ 1)-й степени со старшим

коэффициентом 1.

VI. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Понятия:

1)сумма матриц;

2)произведение матриц;

3)произведение матрицы на число;

4)транспонированная, симметрическая, кососимметрическая матрица;

5)диагональная, треугольная, скалярная, единичная матрица;

6)обратная матрица;

7)элементарная матрица, элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы.

Факты:

1)свойства операций над матрицами;

2)теорема об определителе произведения матриц;

3)критерий существования обратной матрицы;

4)связь между элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы и элементарными матрицами.

Матрицей размера m £ n

числовое поле), i 2 f1; : : : ; mg, j

A = (aij) =

называется совокупность чисел aij 2 P (P 2 f1; : : : ; ng, расположенных в виде таблицы:

a11	a12	: : :	a1n	1
0a21	a22	: : :	a2n	1	:
@				A
Ba: :m:1: : :a:m: :2: : :: :: :: : : a: :mn: :C

Числа aij называются элементами матрицы, i; j индексами элемента aij. Матрица, у которой m = n, называется квадратной порядка n. Матрица размера 1£n называется вектор-строкой, а размера m£1 вектор-столбцом.

Матрицы A = (aij) è B = (bij) называются равными, если они имеют оди-

наковые размеры и aij =bij äëÿ âñåõ i; j. Равенство матриц обозначается A=B.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через O.

Совокупность элементов матрицы с равными индексами называется главной диагональю матрицы, а соответствующие элементы диагональными.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, лежащие вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица называется скалярной, если все ее диагональные элементы равны между собой. Скаляр-

ная матрица называется единичной, если ее диагональные элементы равны 1, и обозначается E.

Åñëè A = (aij), B = (bij) (m £ n) - матрицы, то (m £ n) - матрица A + B = (aij + bij) называется суммой матриц A è B; åñëè k 2 P , òî (m £ n) - матрица kA = (kaij) называется произведением матрицы A на число k.

Матрицей ¡A называется матрица (¡1) ¢ A, а разность двух матриц A è B определяется так: A ¡ B = A + (¡B).

Åñëè A=(aij) (m£n)-матрица, B =(bij) (n£p)-матрица, то их произве-

f1;: : : ;mg j 2 f1;: : : ;pg

AB получается

дение AB =(cij) определяется как (m£p)-матрица, в которой cij

kn=1 aikbkj, i 2

. Т.е. -я строка матрицы

как "скалярное

произведение" i-й строки матрицы A íà j-й столбец матрицы B. Например:

1 2 3

1 1 + 2

(¡2) + 3 ¢ 0

1 2 + 2 1 + 3 3

¡3 13

;

2 1

µ¡

1 2 3

Ã¡

µ¡

1¢

1 + 2¢

( 2) + 3

1¢

2 + 2¢

1 + 3¢

5 9

0 3

¡ ¢

¶ µ¡

2 3

1 ¢ 1+2 ¢ (¡1)

1 ¢ 2+2 ¢ 2

3+2

¡1

Ã¡2

1 2 3

=Ã¡2 ¢ 1+1 ¢ (¡1) ¡2 ¢ 2+1 ¢ 2 ¡2¢

¢ 3+3¢

¢ 3!

=Ã¡3

¡2

3!:

µ¡

1+3

(

2+3

3+3

Из приведенного выше примера следует, что умножение матриц некоммутативно, т.е. AB =6 BA. Если для матриц A, B выполнено AB = BA, òî îíè

называются перестановочными, или коммутирующими.

Операции сложения и умножения матриц, умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: A+B =B+A (коммутативность сложения);

A+(B +C) = (A+B)+C (ассоциативность сложения); A+O = A; A ¡ A = O;

k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA; A(BC) = (AB)C (ассоциативность

умножения); (A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB (дистрибутивность умножения относительно сложения); k(lA) = (kl)A; 1 ¢ A = A. Здесь k; l 2 P , а размеры матриц A; B; C согласованы.

Пусть A=(aij) (m£n)-матрица. Матрица (aji) размера n£m называется транспонированной к A и обозначается AT . Квадратная матрица A называется

симметрической, если A = AT , и кососимметрической, если A = ¡AT .

Степенью Am (m 2 N) квадратной матрицы называется матрица Am =

A ¢ A ¢ : : : ¢ A .

}

100

ðàç

µ1 ¡1¶ .

Пример 1. Найдите матрицу D , ãäå D =

¤ Будем вычислять последовательно степени D2

; D3; : : : матрицы D äî

µ1 ¡1¶µ1 ¡1¶ µ0 2¶

обнаружения закономерности. Имеем: D2 =

¡2

1 ¡2

2 0

2E. Тогда D100 = (D2)

= 250E50 = 250E = µ

250

. ¥

250

f(A) =

Åñëè f(x) = a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢+ an¡1x + an многочлен, A квадратная матрица, то многочленом f(A) от матрицы A называется матрица

a0An + a1An¡1 + : : : an¡1A + anE.													f(x) = x ¡2x ¡3x+5 C = Ã4											1 1!.
								f(C)					f(x) = x ¡2x ¡3x+5 C = Ã4											1 1!.
																							1	1		2
	Пример 2. Найдите									, ãäå					3		2				,		1	3		1
	Пример 2. Найдите									, ãäå											,		1	3		1
						10		6	5				36	33	31
	¤					10		6	5				36	33	31
		Имеем			2	8	11		6	,	3		43	47	33	. Тогда						3			2
		Имеем				8	11		6	,			43	47	33	. Тогда				f(C)=C ¡2C ¡3C+
5E =			43		C =	Ã9		8	10! C =Ã57 43						36!					f(C)=C ¡2C ¡3C+
5E =	Ã57		43	36!¡2		Ã9		8	10!¡3		Ã4 1 1!+5					Ã0 0			1!		=Ã27	24	18!			¥
	36		33	31		10		6	5			1	1	2		1		0	0		18	18	15
	43		47	33		8	11		6			1	3	1		0		1	0		24	21	18 .

Определитель квадратной матрицы A обозначается jAj èëè det A. Квадратная матрица A называется вырожденной (или особенной), если det A = 0, и невырожденной (или неособенной), если det A 6= 0. Åñëè A; B n £n-матрицы,

òî det(AB) = det A det B.

Пусть A квадратная матрица. Матрица X того же порядка называется обратной к матрице A, åñëè AX = XA = E, и обозначается X = A¡1. Åñëè A¡1 существует, то матрица A называется обратимой.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Если A = (aij) квадратная невырожденная матрица порядка n, Aij

алгебраические дополнения к элементам ее определителя, то

A¡1 = 1

A11

A21

: : : An1

0A12 A22

: : : An21

jAj BA: :1:n: : :A: :2n: : : :: :: :: : :A: :nn: :C

A =

Ã5

A¡

Пример 3. Пусть

. Найдите обратную матрицу

Ò. ê. det A = 5 = 0, òî A¡1

существует. Последовательно находим

¯3 4¯

A12 = ¡ ¯5 4¯ = 1; A13 =

¯5 3¯

A11 =

= 9;

= ¡12;

2 2¯

3¯

A =

= 2;

A =

¯= 2;

A =

= 1;

¡ ¯

2¯

3 2¯

= 1; A

3¯

1 1¯

1¯

3 4¯

5¯

¡ ¯

¯4

¡¯

¡5

Следовательно, A¡1 = 1

¡7

1 .

512

¡12

@¡ 5

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические пособия

#
05.03.2016686.21 Кб16АиГ_1_Зыза.pdf
#
05.03.2016567.15 Кб59АиГ_2_Лиманский.pdf
#
05.03.2016199.05 Кб12СРС _Реутова.pdf