Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

АиГ_1_Зыза

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

686.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

2)система, содержащая линейно зависимую подсистему, сама линейно за-

висима;

3)система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима;

4)если после добавления вектора к линейно независимой системе полу-

чается линейно зависимая система, то добавляемый вектор линейная комбинация векторов .

Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) этой матрицы линейно зависимы.

Базис линейного подпространства W пространства Rn это такое линейно независимое упорядоченное множество векторов из W , что любой вектор из W

линейная комбинация векторов данного базиса. Количество векторов в любом базисе W называется размерностью подпространства W и обозначается dim W .

Ранг системы векторов-строк это наибольшее число линейно независимых векторов этой системы. Ранг матрицы это ранг системы ее строк. Наибольшее число линейно независимых строк матрицы (ранг по строкам) совпадает с наибольшим числом ее линейно независимых столбцов (ранг по столбцам) и совпадает с наибольшим порядком ненулевых миноров (ранг по минорам). Ранг произведения матриц не превышает ранга каждого из сомножителей.

Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений это базис линейного пространства всех ее решений. Однород-

ная система n линейных уравнений от n переменных имеет ненулевое решение

в точности тогда, когда ее определитель равен нулю. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера Капелли).

Пример 3. Разложите вектор v¯ = (5; 12; 23; 37) по базису

e¯1 = (1; 1; 1; 1), e¯2 = (1; 2; 3; 4), e¯3 = (1; 3; 6; 9), e¯4 = (1; 4; 10; 19).

¤ Требуется найти такие числа x1; x2; x3; x4, ÷òî v¯ = x1e¯1 + x2e¯2 +

x3e¯3 + x4e¯4. Поэтому (5; 12; 23; 37) = x1(1; 1; 1; 1) + x2(1; 2; 3; 4) + x3(1; 3; 6; 9) + x4(1; 4; 10; 19) = (x1 + x2 + x3 + x4; x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4; x1 + 3x2 + 6x3 + 10x4; x1 +

4x2+9x3+19x4). Приравнивая покомпонентно последний вектор к вектору v¯ и решая полученную систему, найдем, что x1 =1; x2 =2; x3 =1; x4 =1. ¥

Пример 4. Определите размерность и базис линейной оболочки век-

торов v¯1 =(1; 3; ¡1; 5), v¯2 =(2; 5; 0; 4), v¯3 =(8; 21; ¡2; 22), v¯4 =(3; 8; ¡1; 9).

¤ Составим из векторов v¯1; v¯2; v¯3; v¯4 матрицу как из строк и приве- дем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк:

	1	3	¡1	5	1 s		1	3 ¡1		5	1 s		1	3	¡1 5
02		5	0	4		00		¡1	2	¡6		00		¡1 2		¡61		:
@	8	21	¡	22	A	@	0	¡	6	¡	A	@	0	0	0	0	A
			2		C			3		18							C
B3 8			¡1	9		B0		¡1	2	¡ 6 C		B0 0			0	0

Т.к. ступенчатая матрица имеет две ненулевые строчки, то размерность линейной оболочки векторов v¯1; v¯2; v¯3; v¯4 равна 2, а ненулевые строчки

w¯1 = (1; 3; ¡1; 5)

è w¯2 = (0; ¡1; 2; ¡6)

будут ее базисом. ¥

Пример 5.

Определите фундаментальную систему решений однородной

системы линейных уравнений AX =O, ãäå A=01

8 1, X =0x21.

2 ¡1

28C

Bx4C

¤ Решим систему методом Гаусса. Имеем:

2 ¡1 3 6

1 4 2 8

01 4

01 s

¡ ¯

01 s

01:

2 8 ¯

00 ¡9 ¡1 ¡10¯

00 9 1 10¯

Ò.å. @

- связные¯ A

0 0 0 0

8 5 13 34¯

30¯

¯ 0

x1; x2

; x4 ¯- свободные. Общее¯

решение

B6 6 10 28¯

0C B0 ¡18 ¡2 ¡20¯ 0C B0 0 0 0 ¯ 0C

переменные, а

системы:

. Составим таблицу:

¡10

(¡x3

¡ 10x4)

<x2

¡ 9

= ( 14x3

32x4)

Столбцы

x3; x4, заполняются

êàê

невырожденная

таблицы, соответствующие

матрица (например, единичная), а столбцы, соответствующие x1; x2, çà-

полняются по формулам общего решения системы. ФСР будет состоять из

¡¡

¡¡3 5

¢4

строк таблицы: X1 =

149 ;

91 ; 1; 0 , X2

329 ; ¡

109 ; 0; 1 . ¥

Пример 6. Найдите ранг матрицы B =

11.

¤ Приведем матрицу B ê

¡16

¡10

ступенчатому виду элементарными прео-

бразованиями строк. Получим ступенчатую матрицу с тремя ненулевыми
строками:	00 ¡1 ¡17			11. Поэтому ранг исходной матрицы равен 3. ¥
	1	2	6	1
	@	0	34	A
	0	0	34	2
	B0	0	¡0	0C


03		Пример 7. Методом окаймляющих миноров найдите ранг матрицы C =
						и максимальную линейно независимую систему ее строк.
		9	6	151
@	1	3	2	5	A
	2	1	4	3
B6		13	12	23C

¤ Рассмотрим миноры второго порядка,

содержащие левый верхний

угол матрицы C. Имеем

¯3

9¯ =

¯3

6¯ = ¯3

15¯

= 0, íî M = ¯2

1¯

= ¡5 6= 0.

Рассмотрим миноры третьего¯

¯порядка,¯ ¯

содержащие¯ ¯

минор M.¯

Имеем¯

1 3 2

1¯

3¯

1 3 5

¯3 9 6¯

¯3 9 15¯

¯2 1 4

= ¯2 1 3

= 0:

системы

Поэтому rank C¯ =2. Â¯

качестве¯

максимальной¯ ¯

линейно¯

независимой¯

¯2 1 4¯

¯2 1 3 ¯

¯6 13 12¯

¯6 13 23¯

строк C возьмем 1-ю и 3-ю строки, в которых расположен минор M. ¥

Пример 8. Найдите частное решение системы линейных уравнений

x + 2x + 4x + x4

= 8

а также фундаментальную систему решений

3x1

+ 6x2

+ 9x3

+ 8x4

= 26,

2x1

1+ 4x2

2+ 5x3

3+ 7x4

= 18

6x1

+ 12x2 + 18x3 + 16x4

= 52

соответствующей однородной системы.

¤ Решим систему методом Гаусса. Имеем:

00 0 ¡3 5¯

21:

02 4 5 7

181 s

00 0 ¡3

21 s

3 6 9 8

0 0

¯ 2

0 0 0 0¯

x1; x3

x2; x4

- свободные.¯

Общее решение¯

ñèñ-

23¯

B6 12 18 16¯

52C B0 0 ¡6 ¡10¯ 4C B0 0 0 0¯ 0C

Переменные

- связные, а

8x1 = ¡2x2 ¡

x4 +

. Для нахождения частного решения придадим

òåìû:

x2 =x4 =0

<x3

x4 ¡

свободным переменным любые значения, например,

. Получим

323 ; 0; ¡32

. Общее решение соответствующей однородной системы

X÷ =

; 0

получается из общего решения исходной неоднородной системы отбрасыва-

нием числовых слагаемых в правых частях:

8x1

= ¡2x2

¡ 3 x4 .

>x4

ФСР находим, как в примере :

: 0

= x4

<x3

. Векторы ФСР:

¡23

X1 = (¡2; 1; 0; 0), X2 = ¡¡233 ; 0; 35 ;

¡ 3

1¢. ¥

à)

á)

â)

x + 3y ¡ z = 0

¡2x ¡ z ¡ t + 4 = 0

4x + y + 3z + 2t = 3

x + y + z = 2

y ¡ z ¡ t + 7 = 0

2x + 3y + 4z + t = 1

>x + 4y

2z =

x + 3y

1 = 0

2x + 8y + 9z + t = 0

<x + 5y 3z = 2

+ 4y + 7z + 3t = 5

x + 2y¡+ 3z +¡3t = 1

3x ¡ 3y + 3z ¡ 5t + 9 = 0

6x3x + y + z + 2t + 2 = 0

2x + 3y + 4z + 4t = 3

¡ ¡

6x + y + 2z + 3t + 6 = 0

2x + 2y + 3z + 3t = 1

2x ¡ 3y + 2z ¡ 2t = 0

3x + 2y + 3z + 7t 6 = 0

3x 4y + 3z 3t = 1

x 2y + z t = 1

3x + 3y + 5z + 4t = 2

+ 2y + 3z + 5t + 8 = 0

: x¡+ 3y 2z¡ t + 7 = 0

9x 3x + y + z + t = 1

2x + 3y + 3z + 2t = 1

2x + y ¡ 4z ¡ 2t + 4 = 0

9x + y + 3z + 3t = 1

5x + 6y + 9z t = 0

¡ ¡

x + 2y + z + 3t = 2

¡ ¡

x + 2y 2z t + 5 = 0

6x 2z + t = 6

:3x + 3y + 2z +¡4t = 3

2xx++3y +¡ z +¡2t = 3

y + 3z = 2

y 4z 2t + 8 = 0

3x + 3y + 5z + 2t = 7

3x + 2y + 3z + 3t = 2

3x + 2y + z + 8t = 8

2x + y + 5z + t = 2

6x + 5y + 4z + 5t = 1

x + 4y + 2z + t = 6

2x + y + 7z = 1

6xx++54y

z + 2t = 2

2x + 2y + 3z + 3t = 2

y + 6z + 9t = 0

3x + 8z + 5t = 8

<2x + 2y + z + 5t = 6

2x + 5y 5z + 2t = 1

2x + 3y 3z 2t + 3u = 2

¡ ¡

4x + 3y + 4z + 3t = 4

3x + 9y 6z + 2t = 1

x + y z t + u = 1

2x + 3y + 3z + 4t = 3

2x + 5y ¡ z + 3t = 4

x + 2y ¡ 2z ¡ t + 2u = 1

¡ ¡

6x + y

2t = 3

2x + 5y + 3z + 4t = 9

x + 2y + z = 2

6x y + z = 9

x 2y + 2z 4t + 3 = 0

x + 2y + 3z + 4t + 3u=2

6x + 7y + 2z = 3

4x + 6y + z = 0

2x ¡ 2y + 3z ¡ 5t + 2 = 0

2x + 3y + 4z + 3t + 2u=1

2x 3y + 3z 6t + 5 = 0

3x + 4y + 5z + 2t + u=0

2x ¡ 3y + 2z = 9

x ¡ y + 3z ¡ 4t ¡ 2 = 0

> x + 3y + 5z + 9t + 7u=6

x + y 2z + 2t = 2

x + 2y + 2z 2u = 4

4x + 3y + 2z + t = 1

3x + y ¡ 5z + 5t = ¡6

2x + 2y + 3z ¡ 2t ¡ 2u = 5

4x + 4y + 3z + 2t = 2

4x + y t = 1

x + 3y 3z + 6t = 1

4x + 3y + 4z 2t 6u = 7

2x + 6y 2z + 7t = 9

x + y + z 2u = 2

8x + 5y + 3z + t = 1

x¡+2y

z+t=1

x + 2y

z +¡ t +¡2 = 0

4x + 2y + 3z +¡ t = 6

83x+2y¡3z+2t¡2u=5

2x + 4y ¡ z + t + 1 = 0

2x + 3y + 2z + 2t = 2

4x+3y

4z+t

3u=7

>x + 2y

2z + 2t + 5 = 1

3x + 4y + 3z + 2t = 3

2x+3y

2z+t

u=2

3x + 6y z + t = 0

< x + 6y + 3z + 3t = 2

x + 2y z

¡+ t + 2 = 0

44x + 2y 3z + t = 6

2x + 3y + 4z + 4t = 3

8 2x + 4y ¡ z + t + 1 = 0

84x + 3y + 3z + 2t = 7

x + y + z + 2t = 2

x + 2y 2z + 2t + 5 = 0

8x + 2y + 3z t = 8

3x + 5y + 7z + 6t = 5

¡2t

u = 1

x + y + 3z + 2t = 4

x + 2y + z

3x + 3y + 4z ¡= 2

3x + 6y z + t = 0

8x + y + 3z 4t = 9

3x + 8z + 7t = 5

3x + 2y + z ¡ 2t + u = 5

8 x + 3y + 2z = 0

y + z + 4t =

4x + y + z

t + 3u = 6

5x + 3y + 6z = 3

y + 5z + 3t = 1

2x + y + z t + u = 2

x 3y = 2

¡ ¡ ¡

>x + 3y + 2z +¡4t = 3

4x + 3y

¡+ 3z + t = 2

2x + 4y + z + 3t = 1

4x + y + 3z = 0

83x+2y¡5z+t¡2u=¡2

3x + 2y + z + 4t = 2

8x + 8y + 3z = 1

2x+3y 5z t u=1

x+2y 3z t u=0

¡ ¡ ¡

4x + 3y + 3t = 1

8x + 4y + 3z t = 1

2x + 2y + z = 1

x + 2y + 4z + t + 2u = 3

> x + 2y + 2z

4t = 4

2x + 6y ¡ z = 3

3x + 4y + z + 2t + 3u = 2

2x + 3y + 3z ¡ 6t = 7

3x + 5y + 2z = 1

3x + 8y

5z + 4t + 5u = 0

3x + 2y + 2z

4t = 8

x + 3y ¡ 2z = 3

2y ¡ 3z + t + u = 2

2x + y + z ¡ 2t = 5

																																																																																							55

												A																					B																										C																			D								F


1	01 ¡2 7																	8						1			0 4 8 18 7 1																	0			3									2						1 0											1	02 1 1 11											0	5	1
		2 ¡3 4																5											0 4 10 1															B	¡9 ¡7 ¡2 ¡1																												C		1 3 1 2											7
	B7 12 29																	¡	34C								B 1 7 17 3 C																	B		27 24 3																						6					C	B7				11 5 8C							B31C
	B						¡											¡						C			B														C			B					9 6 1 3																								C	B								C			B C
	@		4			3 2 1 4																		A			@2 1						11 2A											@					9 6 1 3																								A	@3				1 2 2 A							@	8	A
			4					¡7					18					¡21											10		18			40			17								¡33									¡29 ¡4												¡7										4		7	3	5						19
2		0					2 3 2 ¡31																				0		1 0				4 ¡11											016 14 4 21																														01 1 1 11											0	4 1
		B10 10 6 2																		C							B		2		¡	1 5					¡				6C			B						2				¡					2 2 4C															B4 2 3 3C											B12C
		B							¡											C							B				¡						¡					C		B										¡					¡									C						B							C				B C
		@					8		¡				4					5		A							@		11		4			56					5			A		@					11						10							3			1			A						@			5	3	4	4	A				@	16	A
							8			7			4					5											11		4			56					5										11						10							3			1												5	3	4	4						16
3			01 7										0 111																02 1				0 2 1											0				2 ¡2 4 ¡21																										01 2 1 21											0 6 1
						2					1		3					5											3		5			4		1			C					B			19								14							5					3								2			3	1	2						8
			B4 13 3 27C																										B3 2				1 0						C					B				5								1 4										¡				1C				B6				10 4 8C							B28C
			B																C										B										C					B																						¡						C		B								C			B C
			@				3 6 3 16												A										@	1 4			4 ¡1						A					@		¡13 ¡8 ¡5 ¡1																										A		@		3 5 2 4						A			@	14	A
							3 6 3 16																							1 4			4 ¡1													¡13 ¡8 ¡5 ¡1																														3 5 2 4										14
			3							2							1					1								3	1			1			4												4						3					1					2										3			1	3	2						9
	0								¡				¡					¡						1			00 4 10 11																	013 6 7 ¡11																														01					2 11						0		1
4	0		5 4 ¡5 4																					1			00 4 10 11																	013 6 7 ¡11																														01				2	2 11						0	6	1
	B												¡											C			B							¡				C						B																								C						B								C			B C
	@																							A			@							¡				A						@					3 3 0 3																			A						@		6		7	9 5			A			@	27	A
		14 ¡2 ¡8 1																						C						1 7 17 3																			3 3 0 3																			C								6		7	9 5							27
	B19 2														13 5									C			B2 2							4 3C										B27 16 11 5																								C						B7				9	11 6C						B33C
5		01 4 3 ¡21																									02 ¡1 3											51						010 7 3 21																														0	2			1	3 6 1						0121
					3				2				1					4		C									1		3				1			2												10						8				2					3									3				1	4		2				10
		B9 16 11																¡2		C							B4 12							¡4 8C										B							2 5									¡		3 4C												B14				6	20 28C						B68C
		B																		C							B							¡							C			B																¡						C								B										C	B C
		@				6			14				10					2		A							@				10				6			1			A						@				6					4				2					1	A								@	9			4	13	20				A	@	46	A
						6			14				10					2											1		10				6			1													6					4				2					1										9			4	13	20						46
6	0¡2 1 ¡4 3 1																										01 4 7 21																	0¡12 ¡7 ¡2 ¡31																														02 2 1 3								1			0 8 1
							1		0							7		6											3		1			1			2										7									4						1						2							1			1	2	1						5
				¡									¡														B4 1 3 3C																	B				34									21 8														5C			B8 8 10 10C											B36C
	B¡9 3												¡33 27C														B4 1 3 3C																	B				34						¡			21 8														5C			B8 8 10 10C											B36C
	B¡											¡											C				B													C				B¡										¡				¡ ¡															C	B								C			B C
	@						7		2					29				24					A					@			10			17			4			A				@		29									18							7						4					A	@	3			3	3	4		A			@	13	A
							7		2					29				24											1		10			17			4									29									18							7						4							3			3	3	4						13
7	0¡3 ¡2 ¡7 ¡121																										0 4 8							18 7 1										0¡7 2 ¡29 241																														03				1	7	111					0221
		2							1				4							7									0		4			10				1													9				3					33					27										1			2	4	7					14
																																															¡													¡
	B¡ ¡ ¡ ¡																									C	B														C			B¡																¡									C					B								C			B C
	@	4				3 2 8 10													29							A	@2 1							11 2A										@					9 16 11 2																				A					@3 1 5 4 A											@13A
	B			5 8 21																		34C					B 1 7							17 3 C										B¡1 0																¡7 6 C														B2				1	5	8 C					B16C
8			02 3 7 101																								0		1 0				4 ¡11											06 14 10																				¡21										01 1 3 21											0	7	1
			B4						¡		3 5 2 C																B		2		¡	1 5					¡				6C			B3 2 1																				¡4			C							B2 1 4 3C											B10C
			B						¡										C								B				¡						¡					C		B																							C							B							C				B C
			@				1			2			4					6	A								@		11		4			56					5			A				@								4						3					2		A							@			2	1	4	3	A				@	10	A
							1			2			4					6											11		4			56					5										1					4						3					2												2	1	4	3						10
9	0¡1 7 6 131																										05 1							4 21										014 ¡2 ¡8																						1 1								03				2	5	101					0201
						2				1					3			4											3		2			1			3									19								2							13					5									2			1	3	6					12
	B					5 11 16 27C																					B1 2						1 0C											B			3									2				¡								1C						B2				2	4	8 C					B16C
	B					5 11 16 27C																					B1 2						1 0C											B			3									2				¡1								1C						B2				2	4	8 C					B16C
	B																					C					B							¡					C					B									¡						¡						¡ C									B				1	6			C			B C
	@3					3			5 14 19A																		@3 0 1 2A																	@			5			4 13 3 27																4				A				@3				1	6	7 A					@17A
						3				0					3			3												4	0			4			1										5							4								5				4										1		1	2	4						8
10	0¡2 4 ¡2 2																								1		01 4 7 21																				03 6 3 161																											01				2	7	9		1			0191
	B				1 4 1														5						C		B4 1 3 3C																				B2							¡				1 3 5 C																B2				1	5	6 C					B14C
	B¡																								C		B													C							B							¡												C								B								C			B C
	@	¡1 ¡5 ¡8 ¡13																							A			@						17 4						A							@				1 7 0 11															A								@		3		2	9	11		A			@	25	A
		¡1 ¡5 ¡8 ¡13																											1 10					17 4																	1 7 0 11																									3		2	9	11						25
11	02 4 14 161																										0		3 ¡1 10 12 1															0							8 7									4 5 1														01 1					4	6			1		0121
				3					1				6					9									B		1		2			1						4			C						10						10					6					2		C							3				2	9	14					28
	B4 2															2 2 C											B		2 5				1							8			C	B							3 2 1 4																C							B2 6 20 28C											B56C
	B								¡ ¡												C						B																C	B																							C							B									C		B C
	@				1 3 10 11																A						@	¡1 3					¡6 ¡4										A			@					2 3 2 ¡3																A							@	4 3 13					20			A		@	40	A
					1 3 10 11																							¡1 3					¡6 ¡4																		2 3 2 ¡3																								4 3 13					20						40
12	0 0 1												2							3						1	01 4 10 11																	04 ¡7																18 ¡211														01				2	3	8		1			0141
				1					2							7							9							3	1			1			4										7						12							29					34										1			2	3	8					14
	¡							¡					¡					¡								C	B2 2							4 3C										B2 3 4																			¡			5 C								B1				3	4	10C					B18C
	B	6 3 24																	27							C	B2 2							4 3C										B2 3 4																						5 C								B1				3	4	10C					B18C
	B																									C			B									C						B								¡													¡				C					B								C			B		C
	@																									A	@											A						@								¡													¡				A					@		2		1	3	10		A			@	16	A
	¡7 ¡4 ¡29 ¡33																													1 7 17 3																		1 ¡2 7 ¡8																												2		1	3	10						16

Индивидуальное задание

(см. таблицы на с. 54, 54)

Задача 1. Решите системы методом Гаусса.

Задача 2. Методом Гаусса найдите матрицы, обратные для матриц A; B из задачи 3 раздела VI "Алгебра матриц".

Задача 3. Разложите вектор v¯ по базису e¯1; e¯2; e¯3; e¯4.

	e¯1	e¯2		e¯3	e¯4	v¯

1	(2; 4; 8; 3)	(2; 3; 5;	3)	(¡1; ¡1; ¡3; ¡2)	(1; 2; 4; 2)	(4; 6; 12; 6)
2	(2; 1; 2; 1)	(3; 1; 1;	1)	(11; 5; 3; 3)	(5; 2; 2; 4)	(2; 1; ¡3; ¡3)
3	(2; 1; 2; 3)	(5; 3; 10; 8)		(4; 2; 9; 9)	(1; 1; 7; 2)	(20; 11; 40; 37)
4	(3; 3; 6; 3)	(4; 5; 8;	5)	(1; 3; 1; 3)	(2; 5; 5; 7)	(3; 6; 8;	8)
5	(7; 2; 5; 2)	(9; ¡2; 6; 3)		(4; 1; 3; 1)	(2; 1; 2; 1)	(2; 6; 3;	0)
6	(6; 9; 3; 3)	(5; ¡1; 4; ¡9)		(¡2; 4; 2; 2)	(4; ¡1; ¡2; ¡11)	(4; ¡13; ¡1; 0)
7	(2; 4; 8; 3)	(2; 3; 5;	3)	(¡1; ¡1; ¡3; ¡2)	(1; 2; 4; 2)	(5; 8; 16; 8)
8	(2; 1; 2; 1)	(3; 1; 1;	1)	(11; 5; 3; 3)	(5; 2; 2; 4)	(13; 6; 0; 0)
9	(2; 1; 2; 3)	(5; 3; 10; 8)		(4; 2; 9; 9)	(1; 1; 7; 2)	(25; 14; 50; 45)
10	(3; 3; 6; 3)	(4; 5; 8;	5)	(1; 3; 1; 3)	(2; 5; 5; 7)	(6; 9; 14;	11)
11	(7; 2; 5; 2)	(9; ¡2; 6; 3)		(4; 1; 3; 1)	(2; 1; 2; 1)	(0; 5; 1; ¡1)
12	(6; 9; 3; 3)	(5; ¡1; 4; ¡9)		(¡2; 4; 2; 2)	(4; ¡1; ¡2; ¡11)	(6; ¡17; ¡3; ¡2)

Задача 4. Определите базис и размерность линейной оболочки следующих векторов.

	v¯1	v¯2	v¯3		v¯4	v¯5

1	(5; ¡3; 2; 4)	(2; ¡1; 3; 5)	(4; ¡3; ¡5; ¡7)		(1; 7; 0; 11)	¡ ¡ ¡
2	(5; 2; 4; 1)	(¡3; ¡1; ¡3; 7)	(2; 3; ¡5;	0)	(4; 5; ¡7; 11)	¡ ¡ ¡
3	(8; 7; 4; 5)	(3; 2; 1; 4)	(2; 3; 2; ¡3)		(1; ¡1; ¡1; 7)	(0; 5; 4; ¡17)
4	(8; 3; 2; 1; 0)	(7; 2; 3; ¡1; 5)	(4; 1; 2; ¡1; 4)		(5; 4; ¡3; 7; ¡17)	¡ ¡ ¡
5	(2; ¡3; 4; ¡5)	(1; ¡2; 7; ¡8)	(3; ¡4; 1; ¡2)		(4; ¡5; 6; ¡7)	(6; ¡7; 0; ¡1)
6	(2; 1; 3; 4; 6)	(3; 2; 4; 5; 7)	(4; 7; 1; 6; 0)		(5; 8; 2; 7; 1)	¡ ¡ ¡
7	(7; ¡4; 5; 9)	(3; ¡2; ¡1; ¡1)	(5; 4; ¡5;	4)	(¡3; 10; 5; 18)	¡ ¡ ¡
8	(8; 3; 7; ¡6)	(2; 1; 1; 8)	(6; 8; ¡12;	11)	(¡2; ¡2; 2; ¡11)	¡ ¡ ¡
9	(5; 5; 3; 1)	(11; 9; 5; 9)	(3; 2; 1; 4)		(1; 4; 3; ¡10)	(1; 4; 3; ¡10)
10	(1; 1; ¡1; 2; ¡5)	(15; 5; 5; 0; 5)	(9; 5; ¡1; 6; ¡13)		(¡1; ¡3; 5; ¡8; 21)	¡ ¡ ¡
11	(¡5; 4; ¡3; 2)	(¡8; 7; ¡2; 1)	(¡2; 1; ¡4; 3)		(¡7; 6; ¡5; 4)	(¡1; 0; ¡7; 6)
12	(6; 4; 3; 1; 2)	(7; 5; 4; 2; 3)	(0; 6; 1; 7; 4)		(1; 7; 2; 8; 5)	¡ ¡ ¡

Задача 5. Найдите фундаментальную систему решений однородной системы AX = O.

Задача 6. Найдите ранг матрицы B.

Задача 7. Методом окаймляющих миноров найдите ранг матрицы C и максимальную линейно независимую систему ее строк.

Задача 8. Найдите частное решение системы линейных уравнений DX = F , а также фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы DX = O.

Литература по теории

[1, ãë. 1, Ÿ1, ãë. 2, ŸŸ 8-12], [2, ãë. 2, ŸŸ 1-3]

Номера практических заданий

[5: •• 400(a,c,f,h), 443(a,c,e), 444(a,b,c,e), 447(a,d,e)]

[6: •• 567, 573, 575, 578-581, 691-693, 699, 702, 704, 712, 713, 715, 717]

Вопросы для самопроверки

1)Всегда ли система двух линейных уравнений от трех переменных имеет бесконечное множество решений?

2)Всегда ли сумма двух решений системы линейных уравнений является также решением этой системы? А полусумма?

3)Может ли система k линейных уравнений от p переменных, p > k, иметь

одно решение? Тот же вопрос для p < k.	и уравнение (a1 + a2)x +
4) Равносильны ли система (a2x + b2y + c2z = d2	и уравнение (a1 + a2)x +
a1x + b1y + c1z = d1
(b1 + b2)y + (c1 + c2)z = d1 + d2?

5) Векторы v¯1; v¯2; v¯3 линейно зависимы. Верно ли, что векторы v¯1 +v¯2; v¯2 + v¯3; v¯3 линейно зависимы?

6)Могут ли векторы v¯1 ¡ v¯2; v¯2 ¡ v¯3; v¯1 ¡ v¯3 быть линейно независимыми?

7)Какой ранг может иметь система векторов v¯1 +v¯2; v¯3 +v¯4; v¯1 +v¯4; v¯2 +v¯3?

8)При каких условиях на коэффициенты прямые A1x + B1y + C1 = 0 è

A2x + B2y + C2 = 0 параллельны? пересекаются?

9)При каком условии на коэффициенты три прямые проходят через одну точку?

10)Известно, что линейные оболочки векторов v¯1; v¯2; v¯3 è v¯1; v¯2 совпадают. Можно ли вектор v¯3 выразить через векторы v¯1 è v¯2?

11)Известно, что линейные оболочки векторов v¯1; v¯2 è v¯2; v¯3 совпадают. Мо- гут ли векторы v¯1; v¯2; v¯3 быть линейно независимыми?

12)При каком условии на коэффициенты системы линейных уравнений в любом ее решении первая компонента: а) равна нулю? б) принимает одно и то же значение?

Дополнительные задачи

1)Докажите, что любое линейное подпространство Rn совпадает с множес- твом решений некоторой однородной системы линейных уравнений.

2)Пусть X1 è X2 два решения любой системы линейных уравнений. До-

кажите, что тогда X = ®X1 + (1 ¡ ®)X2 (® 2 R) тоже решение этой системы.

3)Как может измениться ранг матрицы при изменении одного ее элемента?

4)Докажите, что rank(A + B) 6 rank A + rank B. Здесь A è B матрицы.

5)Заменив все элементы квадратной матрицы A на их алгебраические дополнения, получим матрицу A0. Какие значения может принимать

rank A0?

6)Докажите разрешимость матричного уравнения AXA = A для любой прямоугольной матрицы A.

7)Докажите, что любая матрица A ранга 1 может быть представлена в

	âèäå A = BT C, ãäå B è C однострочные матрицы: B = (b1; : : : ; bm),
	C = (c1; : : : ; cn).
8)	Докажите, что ранг кососимметрической матрицы четное число.
9)	Докажите, что вектор v¯ линейно выражается через векторы v¯1; : : : ; v¯k â
	точности тогда, когда ранг последней системы векторов не меняется при
	добавлении к ней вектора v¯.
10)	Докажите, что в матрице ранга r любой минор порядка r, образованный

пересечением r линейно независимых строк с r линейно независимыми

столбцами, отличен от нуля.
11) Составьте систему трех линейных уравнений от трех переменных, имею-
щую данные решения a¯ = (2; 0; 1)			è ¯
щую данные решения a¯ = (2; 0; 1)			b = (2; 2; ¡3).
12) Решите системы уравнений:
8x + ¸y + z = ¸		;	á)	8	5x + 2y = 1	:
à) >	¸x + y + z = 1			>	ax + 2z = 2
>		2		>
<				<
>				>
:				:
>x + y + ¸z = ¸				>x ¡ 2y + bz = 3

VIII. АЛГЕБРА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Понятия:

1)комплексное число;

2)геометрическая интерпретация;

3)сопряженные числа;

4)сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел;

5)модуль и аргумент;

6)тригонометрическая форма комплексного числа;

7)корни из комплексных чисел.

Факты:

1)свойства операций;

2)свойства модуля и аргумента;

3)условия равенства комплексных чисел в алгебраической и тригонометри- ческой формах;

4)умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;

5)формула Муавра;

6)вычисление всех значений корня из комплексного числа.

Комплексные числа это выражения вида z = a+bi, ãäå a, b действительные числа, а i так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию i2 = ¡1. При этом число a + bi равно числу c + di тогда и только тогда, когда a = c, b = d (условие равенства комплексных чисел, заданных в алгебраической форме). Для числа z = a + bi величина a называется действительной частью и обозначается через Re z, b мнимой частью и обозначается через Im z. Заметим, что Re z, Im z действительные числа.

Действия сложения, вычитания и умножения над комплексными числами выполняются как над многочленами от переменной i (для умножения нужно

еще использовать равенство i2 = ¡1): (a + bi) § (c + di) = (a § c) + (b § d)i,

(a + bi)(c + di) = (ac ¡ bd) + (ad + bc)i.

Для деления комплексных чисел нужно использовать прием избавления от иррациональности в знаменателе. Здесь иррациональность это i:

a + bi	=	(a + bi)(c ¡ di)	=	ac + bd	+	bc ¡ ad	i:
c + di		c2 + d2		c2 + d2
						c2 + d2

Важный момент этих вычислений тождество (c + di)(c ¡ di) = c2 + d2.

Действительные числа отождествляются с комплексными числами, имеющими мнимую часть 0, ò. å. a = a + 0 ¢ i, ãäå a 2 R. При этом операции над

действительными числами переходят в соответствующие операции над отождествленными с ними комплексными числами, в частности, 0 = 0 + 0 ¢ i, 1 =

1+0¢i. Множество всех комплексных чисел обозначается через C. Справедлива теорема о том, что C ïîëå, à R подполе поля C.

Åñëè z = a + bi, то через z¯ обозначается число a ¡ bi, которое называется сопряженным к z. Операция сопряжения обладает свойствами:

		z¯1
	z1
z1 § z2 = z¯1 § z¯2; z1z2 = z¯1 ¢ z¯2;	z1			; zn = (¯zn) ; n 2 N:
		=
	z2	=	z¯2
Кроме того, z 2 R , z = z;¯ zz¯ 2 R; z + z¯ 2 R.

Если на плоскости задана декартова система координат xOy, то комплексное число z = a+bi изображается точкой M(a; b) с координатами (a; b), а также вектором OM (с теми же координатами). Действительные числа изображаются точками оси Ox, поэтому ось Ox называется действительной осью). Числа вида bi = 0 + bi изображаются точками оси Oy. Такие числа называются мнимыми (или чисто мнимыми), поэтому ось Oy называется мнимой осью. Сама

декартова плоскîñòü¯íàçû¯ваетсяp комплексной плоскостью.

Величина jrj = ¯OM¯ = a2 + b2 называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается также через jzj. Óãîë ', на который нужно повернуть положительное направление действительной оси Ox против часовой стрелки до совпадения с лучом OM, называется аргументом числа z и обозначается через arg z. Здесь z =6 0. Повороту по часовой стрелке соответствуют отрицательные значения аргумента. Следует иметь в виду, что arg z многозначная функция z. Значение аргумента, лежащее в интервале [0; 2¼), называется главным зна- чением и обозначается через Arg z.

Åñëè ' = arg z, òî ' + 2¼k = arg z, k 2 Z. Ò. ê. a = r cos ', b = r sin ', òî

z = r(cos ' + i sin '). Это выражение называется тригонометрической формой

комплексного числа z. Равенство r(cos ' + i sin ') = ½(cos µ + i sin µ) ïðè r; ½ > 0 эквивалентно системе соотношений r = ½, ' = µ + 2¼k, k 2 Z. Это условие

равенства комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в триго-

нометрической форме выполняется по правилам:

[½1(cos '1 + i sin '1)] [½2(cos '2 + i sin '2)] = ½1½2 (cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)) ;

½1(cos '1 + i sin '1)	=	½1	(cos('1 ¡ '2) + i sin('1 ¡ '2)) ;
½2(cos '2 + i sin '2)		½2

[½(cos ' + i sin ')]n = ½n (cos n' + i sin n') ; n 2 Z (формула Муавра):

Корни n-й степени из комплексного числа z = ½(cos ' + i sin ') это числа w, такие что wn = z. Ïðè z =6 0 существует ровно n корней из z степени

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические пособия

#
05.03.2016686.21 Кб16АиГ_1_Зыза.pdf
#
05.03.2016567.15 Кб59АиГ_2_Лиманский.pdf
#
05.03.2016199.05 Кб12СРС _Реутова.pdf