Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

АиГ_1_Зыза

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

686.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

На комплексной плоскости числа

n, которые можно найти по формулам

wk =	p		µcos	' + 2¼k	+ i sin	' + 2¼k	¶; k 2 f0; : : : ; n ¡ 1g:
		½		n		n
	n

wk располагаются в вершинах правиль-

íîãî n-угольника с центром в начале координат и радиусом описанной окруж-

ности n ½.

Пример 1. Найдите действительные x è y из уравнения

(1 + 2i)x + (3 ¡ 5i)y = 1 ¡ 3i.

¤ Запишем левую часть уравнения как комплексное число в

алгебраической форме, а затем воспользуемся условием равенства½ äâóõ

x + 3y = 1

комплексных чисел. Имеем: (x + 3y) + i(2x ¡ 5y) = 1 ¡ 3i;

2x ¡ 5y = ¡3.

Отсюда x = ¡4=11, y = 5=11. ¥

1¡i

Пример 2. Вычислите, пользуясь формулой Муавра: ³

1+ip

¤ Приведем число, стоящее в основании степени, к

тригонометрической форме. Имеем:

1+ip3=r1(cos '1 +i sin '1); r1 =q12 +(p3)2 = 2; cos '1 =

; sin '1 =

; '1 =

;

1¡i=r2(cos '2 +i sin '2); r2 =

12 +12 = 2; cos '2 = p

; sin '2 =¡p

; '2 =¡

;

´´

1 + ip3

cos

+ i sin

cos(

¼ ) + i sin(

¼ )

= p

cos

+ i sin

cos

12 +i sin

:По формуле Муавра Ã

! = p2

cos

12 +i sin 12

¶¸

7¼

7¼¡

1+ip3

7¼

¶¶=210

¡3

µcos µ20¢ 12¶+i sin µ20¢ 12

cos

¡3

+i sin

=29(1¡ip3): ¥

7¼

´´

Пример 3. Решите уравнение: z3 + 4¯z = 0.

¤ Первый способ. Будем искать решения в алгебраической форме.

Пусть z =x+iy. Тогда z3

xy2

i(3x2y

y3),

z¯ = x

iy è (x3

¡3

xy2

= (

¡3 2

4x) + i(3x2y ¡ y3 ¡ 4y) = 0;

( y(3x2¡ y2

4) = 0. Решая систему, получим

x(x

+ 4) = 0

следующие пары чисел: (0; 0);

2; p

;

2; ¡p

;

¡p

2; p

¡p

2; ¡p

;

¢ ¡

¢ ¡ 1

= 0

¢2 ¡=

2¢

Таким образом, решениями уравнения будут числа z

, z

p i,

z3 = p

¡ p

i, z4 = ¡p

+ p

i, z5 = ¡p

¡ p

Второй способ. Будем искать решения в тригонометрической форме.

Пусть z =r(cos '+i sin '). Тогда z3 =r3(cos 3'+i sin 3'), z¯=r(cos '¡i sin ')= r (cos(¡')+i sin(¡')), ¡4¯z = 4r (cos(¡')+i sin(¡')) (cos ¼ + i sin ¼) =

r (cos(¼

')+i sin(¼

')) è r3

(cos 3' + i sin 3') = 4r (cos(¼

')+i sin(¼

'));

(

3' = (¼ ¡ ') + 2¼k (k 2 Z).

Из первого уравнения имеем r =0 èëè r =2

= 4r

(поскольку r > 0), а из второго - '1 = ¼=4, '2 = 3¼=4, '3

= 5¼=4,

= 7¼=4 (поскольку ' 2 [0; 2¼)). Таким образом, имеем решения z1 = 0,

+ p

i, z3 = 2 (cos(3¼=4) + i sin(3¼=4)) =

2(cos ¼=4 + i sin ¼=4) =

¡p

+ p

i, z4 = 2 (cos(5¼=4) + i sin(5¼=4)) = ¡p

¡ p

z5 = 2 (cos(7¼=4) + i sin(7¼=4)) = p

¡ p

i. ¥

Пример 4. Решите уравнение: z2 ¡ (3 ¡ 2i)z + (5 ¡ 5i) = 0.

¤ Найдем дискриминант уравнения: D = (3 ¡2i)2 ¡4(5 ¡5i) = ¡15 + 8i.

Найдем квадратные корни из дискриминанта. Это числа вида u + vi, такие

÷òî

(u+vi)

= ¡15+8i

)+2uvi = ¡15+8i

. Отсюда

¡ v2 = ¡15

¡v

(

2uv = 8 .

Система имеет решения (¡1; ¡4)

è (1; 4). Значит, p

§(1 + 4i). Корни

исходного квадратного уравнения есть z1

= (3¡2i)+(1+4i) = 2 + i

(3¡2i)¡(1+4i)

z2 =

= 1 ¡ 3i

Пример 5. Вычислите все значения корня

(1 i)5

(1+¡ip

и изобразите их

3)3

на комплексной плоскости.

¤ Представим числитель и знаменатель подкоренной дроби в

тригонометрической форме. Имеем: 1 ¡ i

¡¼4 +i sin

¡¼4 ,

cos

1 + ip

(ñì. ïðèìåð 2).

Далее, по формуле Муав-

cos

+i sin

¢¢

ðà,

cos

3¼

+i sin

3¼

, (1+ip3)3

=8(cos ¼+i sin ¼). Отсюда

)

¡2

¡ ¢4

4¢¢

3¼

= s4

4p2

+ i sin

7¼

wk =

(1 +¡ip3)3

= s

8(cos ¼

4+ i sin ¼)4

cos

+ i sin

7¼ +2k¼

7 + 8k

cos

+i sin

= p8

cos

+i sin

;

k = 0; : : : ; 3:

На комплексной плоскости найденные четыре значения w0; w1; w2; w3 ðàñ-

положатся на окружности радиуса r	1
		8

	= p2 и разделят ее на четыре равные

части, причем Arg w0 = 716¼ , Arg w1 = 1516¼ , Arg w2 = 2316¼ , Arg w3 = 3116¼ . ¥

Пример 6. Изобразите на комплексноpé плоскости множество всех чисел z, для которых jz ¡ 2 ¡ 2ij 6 j1 ¡ i 3j.

¤ Вычислим j1¡ip3j = p1+3 = 2. Неравенство jz ¡(2+2i)j 6 2 выражает тот факт, что расстояние между точкой z и точкой 2+2i не больше 2. Т.е. искомое множество - круг радиуса 2 с центром в точке (2; 2). ¥

Индивидуальное задание

Задача 1. Найдите действительные x è y из уравнения:

1				(2 + i)x + (3 ¡ 2i)y = 13 ¡ 4i																									7	(7 + i)x + (6 + 2i)y = 47 + 9i
2			(3 + 5i)x ¡ (4 + 2i)y = ¡15 + 3i																							8				(2 + 3i)x + (¡1 + 2i)y = 4 + 13i
3			(4 + 3i)x + (3 + 5i)y = 26 + 36i																							9				(¡5 + 3i)x ¡ (¡2 + 4i)y = ¡3 ¡ 15i
4			(3 + 7i)x ¡ (2 + 4i)y = 13 + 31i																							10				(¡5 + 3i)x + (¡3 + 4i)y = ¡36 + 26i
5				(2 + 7i)x + (3 ¡ 5i)y = 13 ¡ i																						11				(4 + 2i)x ¡ (7 + 3i)y = 31 + 13i
6			(5 + 3i)x + (¡7 + 2i)y = 1 + 13i																							12				(1 + 7i)x + (2 + 6i)y = 9 + 47i
	Задача 2. Вычислите, пользуясь формулой Муавра:

				1								1+i				´	30	4	(¡1+ip					3)15			7					(¡1¡ip						3)20		10					1¡i						40
										1+ip										(1¡i)20															(1+i)15									1¡ip
										1+ip					3					(1¡i)20															(1+i)15									1¡ip					3
								³ p3+i											(1+ip3)																	p3 i						³(p3+i)´
																50									20														24												20

				2														5									8			1 ¡						2¡				11

																				(1+i)15																									(1¡i)25
												1¡i								(1+i)15																									(1¡i)25
								³(p						¡i)´25					(¡p				¡i)25							³						p			´30				(1¡p							i)30
													3									3																										3
													3									3															3+i											3
				3							(1+i)15							6		(1¡i)20							9			³1 ¡									´	12			(1+p							i)20
																																				2
																																				2												3
	Задача 3. Решите уравнение:

		1							z	2		= iz¯						4	2									7			z			4		2			= 0		10	2				+ iz¯ = 0
		1							z			= iz¯						4	z	z¯4= 2 ¡22i								7			z				+34¯z				= 0		10	z2				+ iz¯ = 0
								z	3									5		z¯4= 2 ¡22i									8						+34¯z						11	z2			z¯ = 2 + 2i
		2						z	z¯ = 4i									5	z = 4¯z										8						z = z¯						11	z			z¯ = 2 + 2i
		2										¡								3															3											2
		3			z			2				¡						6	z	3	+ z¯ = 0							9							3	z¯ = 4i					12			z		2	= 2iz¯
		3			z				+ 2iz¯ = 0									6	z		+ z¯ = 0							9							z	z¯ = 4i					12			z			= 2iz¯
	Задача 4. Решите уравнение:

			1					z2 ¡ (5 + 2i)z + 9 + 7i = 0																					7				z2 + (5 + 4i)z + 11 + 7i = 0
			2				z2 ¡ (4 + 5i)z ¡ 1 + 13i = 0																						8				z2 + (7 + 3i)z + 4 + 13i = 0
			3					z2 ¡ (5 + i)z + 18 ¡ i = 0																						9			z2 ¡ (3 + 4i)z + 5i = 0
			4			z2 ¡ (6 + 2i)z + 11 + 10i = 0																							10				z2 ¡ (5 + 2i)z + 9 + 7i = 0
			5					z2 ¡ (4 + i)z + 9 ¡ 3i = 0																					11				z2 + (5 + 3i)z + 4 + 7i = 0
			6				z2 + (¡6 + i)z + 10 ¡ 6i = 0																						12				z2 ¡ (3 + 6i)z ¡ 3 + 11i = 0

Задача 5. Вычислите все значения корня и изобразите их на комплексной плоскости:

2	p			2 2i 3 5				p		16 + 16i 8			pp		2 2i		11		p			16 + 16i
1		4		8 ¡ 8ip		3	4	4	¡8 + 8ip		3	7	4	¡8 ¡ 8ip		3		10	4		8 + 8ip		3
3	p		p6 64		p		6	4		2p3 + 2i		9			¡p6 8i			12		p3 2 2i
	4				p			p3						3					p3
		¡ ¡													¡					¡
								p
				¡				p	¡						¡							¡

Задача 6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих условию:

à)

1jz + 2j = Re z ¡ 2 6jz ¡ 1j 6 3jz ¡ 4j < 2jz ¡ 9j

jz ¡ 2j = Re z

jz ¡ 1j < jzj 6 jz ¡ ij

3jz + z¯j + jz ¡ z¯j = 2 3jz ¡ 4j 6 6jz ¡ 1j < 2jz ¡ 9j

4	jz ¡ 2j2= Im z		jzj < 2 6 jz ¡ 2j
5	Re z2	= 0	jz + 6ij < 2jz + 3ij 6 3jz ¡ 2ij
6	Re z3	= 1	jzj < jz + 1j 6 jz ¡ 2j
7	Re z2	= 0	jz + 6ij < 3jz ¡ 2ij 6 2jz + 3ij
8	Im z = 1		jz + 1j 6 jz ¡ 2j < jzj
9	jzj + jz ¡ 2ij = 2		2 6 jzj < jz ¡ 2j
10 jz ¡ 2j = Re z + Im z			jz ¡ 2j 6 jzj < jz + 1j
11 jzj + jz ¡ 2ij = 3			jzj 6 jz ¡ 1j < jz ¡ ij
12	z + z¯ = zz¯		jz + 1j < jzj 6 jz ¡ 2j

Литература по теории

[1, ãë. 4, ŸŸ 17-19], [2, ãë. 1, ŸŸ 3, 5]

Номера практических заданий

[5: •• 101-109, 112, 113, 118, 119, 123, 124, 130, 136, 139, 140, 143, 145-149]

Вопросы для самопроверки

1)Известно, что произведением двух сопряженных чисел является действительное число. Справедливо ли обратное утверждение?

2)Каков геометрический смысл умножения комплексного числа на фиксированное комплексное число с модулем 1?

3)Каков геометрический смысл умножения комплексного числа на фиксированное действительное число?

4)При каких условиях jz1 + z2j = jz1j + jz2j (z1; z2 2 C)?

5)Пусть z1z2 2 R. Верно ли, что z1 = z¯2?

6)Пусть z1z2 2 R è z1 + z2 2 R. Верно ли, что z1 = z¯2?

7)Какую тригонометрическую форму имеют числа: а) ¡1; á) ¡i; â) cos ' ¡

i sin '; ã) ¡ cos ' ¡ i sin '?

8)Известно, что корень n-й степени из 1 является точкой единичной ок-

ружности. Верно ли, что каждая точка единичной окружности является корнем некоторой степени из 1?

9)Когда в неравенстве jz1j ¡ jz2j 6 jz1 ¡ z2j достигается знак равенства?

10)Справедлива ли формула Муавра при целом отрицательном показателе степени?

(z3¡z1)(z4¡z2) (z4¡z1)(z3¡z2)

11)

Можно ли утверждать, что 2

+ 5i < 10 + 6i?

12)

Является ли следующая форма записи комплексных чисел тригономет-

рической:

4 ;

¢¤

cos

;

± + sin 20±¢)?

4 ¡

à) 2

i sin

¡¼2

+ cos

¡¼2

;

á) cos 23¼ ¡ i sin 23¼ ;

â)

¡ 3

cos ¼5

+ i sin ¼5

ã) sin

3¼

+ i cos

3¼

ä)

¼ + i sin

å)

(cos 20

Дополнительные задачи

1) Вычислите:

a) cos		2¼	+ cos	4¼	+ cos	6¼	+ cos	8¼	;
		5
			5		5		5
á)	cos	27¼ + cos 47¼ + ¢ ¢ ¢ + cos 127¼ ;
â)	n
	Pk=1 sin kx:

2)Выразите: а) cos 5x через cos x è sin x; á) tg 5x через tg x.

3)Найдите сумму корней n-й степени из 1.

4)Вычислите:


à) 1	+ Cn1 cos x + ¢ ¢ ¢ + Cnn cos nx;
á) 1	+ a cos ' + a2 cos 2' + ¢ ¢ ¢ + an cos n';
â) C1 sin x+C2 sin 2x+: : :+Cn sin nx;
	n	n	n
ã) limn!1		¡1+ 21 cos x+ 41 cos 2x+: : :+		1	cos nx¢:
				2n

5) Докажите, что четыре точки zi, i 2 f1; : : : 4g, лежат на одной окружности в точности тогда, когда число

действительное.

6)Вычислите: а) 1 + " + "2 + ¢ ¢ ¢ + "n¡1; á) 1 + 2" + 3"2 + ¢ ¢ ¢ + n"n¡1, ãäå " первообразный корень n-й степени из 1 (т.е. "k 6= 1 ïðè k 2 f1; : : : ; n¡1g).

7)Докажите, что все корни 7-й степени из 1, кроме 1, являются первообразными.

8)Выясните геометрический смысл преобразований C ! C, определяемых

функциями f, g è f(g): à) f(z) = 1 ¡ z;¯

g(z) = 1 + z;

á) f(z) = iz +

2; g(z) = i(z + 2).

Докажите, что если jzj = 1 è z 6= ¡1, то число z представимо в виде

1+ti

z = 1¡ti , ãäå t 2 R.

ãäå¯

Вычислитеj j

произведениеj j j j

z1z22 2 3 1,

11)

! =

(a + b! + c!

)(a +¯ b! + c!)

2 .

10)

Пусть z1 = z2 = z3 = 1. Докажите, что

z1+z2+z3

= 1.

+z z +z z

12)

Докажите, что все матрицы вида

µ¡z2

z¯1

¶, ãäå z1; z2 2 C, образуют

z¯2

кольцо. Есть ли в этом кольце делители нуля?

IX. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ

Понятия:

1)многочлен от одной переменной, его степень;

2)равенство многочленов;

3)сумма и произведение многочленов;

4)делимость;

5)наибольший общий делитель многочленов;

6)корень многочлена;

7)неприводимый многочлен;

8)кратный корень.

Факты:

1)теорема о делении многочлена с остатком;

2)теорема о НОД в алгоритме Евклида;

3)свойства делимости многочленов;

4)теорема Безу;

5)деление многочлена на x ¡ c по схеме Горнера;

6)основная теорема алгебры;

7)разложение многочлена на неприводимые множители над полями R è C;

8)признак кратности корня;

9)интерполяционная формула Лагранжа.

Многочленом f(x) над полем P называется выражение вида a0xn+a1xn¡1+

¢ ¢ ¢ + an. Здесь a0; a1; : : : ; an 2 P	(a0 6= 0) коэффициенты многочлена f(x), x
переменная. Число n (2 Z+)	называется степенью многочлена f(x) è îáî-

значается deg f. Выражение x0 отождествляется с единицей.

Над многочленами выполняют действия сложения (вычитания) и умножения по правилам, известным из средней школы. Относительно этих операций

множество P [x] всех многочленов над полем P образует кольцо. В кольце P [x] выполнимо деление с остатком: для произвольных многочленов f(x) è g(x) =6 0 существует единственная пара многочленов q(x) (неполное) частное и r(x) остаток, таких что f(x) = g(x)q(x) + r(x), причем deg r < deg g. Åñëè r(x) = 0, то говорят, что f(x) делится на g(x).

Деление с остатком выполняют	2	+ 2x ¡ 12	x + 5
в обычной форме (деление "уголком",
	x2

как для натуральных чисел). Напри-	x	+ 5x	x ¡ 3
		¡ 3x ¡ 12
ìåð:
		¡ 3x ¡ 15
		3

Наибольшим общим делителем многочленов f(x) è g(x) называется многочлен, делящийся на любой общий делитель f(x) è g(x). Такой многочлен

определяется однозначно с точностью до постоянного ненулевого множителя и обозначается НОД(f(x); g(x)). Для его нахождения используется алгоритм

последовательного деления алгоритм Евклида: f(x) = g(x)q(x)+r(x), g(x) =

r(x)q1(x) + r1(x), r(x) = r1(x)q2(x) + r2(x), : : : , rk¡2(x) = rk¡1(x)qk(x) + rk(x),

rk¡1(x) = rk(x)qk+1(x). Тогда НОД(f(x); g(x)) = rk(x).

Отметим, что в процессе последовательного деления можно умножать делимое и делитель на произвольные ненулевые константы, поскольку НОД определяется с точностью до ненулевого постоянного множителя.

Пример 1. Найдите наибольший общий делитель многочленов

f(x) = 2x5 ¡ 3x4 ¡ 5x3 + x2 + 6x + 3 è g(x) = 3x4 + 2x3 ¡ 3x2 ¡ 5x ¡ 2.

¤ Применяя алгоритм Евклида, имеем: 3f(x) = g(x)¢2x+(¡13x4 ¡9x3 + 13x2 + 22x + 9). Умножим полученную разность на 3 и продолжим деление:

¡39x4¡27x3+39x2+66x+27 = g(x)¢(¡13)+(¡x3+x+1). Теперь разделим g(x)

на остаток r(x) = ¡x3 + x + 1. Имеем: g(x) = r(x)(¡3x ¡2). Таким образом, можно принять НОД(f(x); g(x)) = x3 ¡ x ¡ 1. ¥

Важнейший случай деления с остатком деление на двучлен x ¡c. Справедлива теорема Безу: остаток от деления многочлена f(x) íà x ¡c равен f(c).

Число c называется корнем многочлена f(x), åñëè f(c) = 0. Любой много- член f(x) 2 C[x] имеет комплексный корень (основная теорема алгебры). Если f(x) 2 R[x] è z 2 C его корень, то сопряженное число z¯ также корень f(x).

Число c является корнем многочлена f(x) в точности тогда, когда f(x) делится на x ¡ c. Такое деление удобно проводить с помощью схемы Гор-

нера. Она состоит из двух строк. В первой строке располагаются коэффициенты a0; a1; : : : an многочлена f(x), а во второй коэффициенты частного

b0; b1; : : : ; bn¡1, вычисляемые последовательно					по формулам b0 = a0, bk =
cbk¡1 + ak, k = 1; : : : ; n ¡ 1, и остаток r				= cbn¡1 + an. Иногда впереди пишут
значение c.
Например, разделим f(x) = x4 + 4x3 ¡ 18x2 + 20x ¡ 7 íà x ¡ 1 по схеме
Горнера:	1	4	-18	20	-7

1	1	5	-13	7	0

Получили, что f(x) = (x ¡ 1)(x3 + 5x2 ¡ 13x + 7), ò. å. r = 0.

Разложение многочлена f(x), deg f =n, по степеням двучлена x¡c ýòî

представление его в виде f(x)=c0+c1(x¡c)+c2(x¡c)2+: : :+cn(x¡c)n. Из формулы Тейлора следует, что ck = k1! f(k)(c), k = 0; 1; : : : ; n. Коэффициенты c0; c1; : : : ; cn

Пример 3. Отделите кратные множители многочлена

удобно находить с помощью схемы Горнера, вычисляя последовательно остаток от деления f(x) íà x¡c, затем полученного частного на x¡c è ò.ä.

Пример 2. Разложите многочлен f(x)=x5 ¡3x3 +x2 ¡ 2x+1 по степеням

двучлена x¡1.

	1	0	-3	1	-2	1
1	1	1	-2	-1	-3	-2
1	1	2	0	-1	-4
¤ Применяя схему Горнера, имеем: 1	1	3	3	2
1	1	4	7
1	1	5
1	1

Таким образом, f(x)=(x¡1)5 +5(x ¡ 1)4 +7(x ¡ 1)3 +2(x ¡ 1)2 ¡4(x ¡ 1)¡2. ¥

Многочлен f(x) 2 P [x] называется неприводимым над полем P , если он не разлагается в произведение двух многочленов из P [x] степени, меньшей deg f. В противном случае многочлен f(x) называется приводимым над P . Многочлены над полями C è R разлагаются в произведение неприводимых многочленов: над C в произведение линейных, а над R в произведение линейных и квад-

ратичных многочленов с отрицательным дискриминантом.

Число c называется корнем многочлена f(x) кратности k (k 2 N), åñëè f(x) делится на (x¡c)k и не делится на (x¡c)k+1. Ïðè k = 1 корень c называется простым, при k > 2 кратным. Если c является корнем кратности k для многочлена f(x), то для его производной f0(x) число c является корнем кратности k ¡1. Справедлив критерий кратности корня: все кратные корни многочлена f(x), и только они, являются корнями многочлена НОД(f(x); f0(x)).

f(x)=x6¡6x4¡4x3+

9x2 +12x+4.

¤ Имеем f0(x)=6x5¡24x3¡12x2+18x+12. Найдем d(x)=ÍÎÄ(f(x); f0(x)).

Применяя алгоритм Евклида, получим d(x) = x4 + x3 ¡ 3x2 ¡ 5x ¡ 2. Выясним, имеет ли d(x) кратные множители. Найдем d1(x) = ÍÎÄ(d(x); d0(x)) = x2 +2x+ 1 = (x+1)2. Ò.ê. x+1 - множитель кратности 2 для многочлена d1(x), òî x + 1 - множитель кратности 3 äëÿ d(x). Ò.ê. d(x) - полином степени 4 со старшим коэффициентом 1, òî d(x) = (x+1)3(x¡c). Сравнивая свободные члены d(x) è (x + 1)3(x ¡ c), получим, что c = 2 è d(x) = (x + 1)3(x ¡ 2). Значит, x + 1 è x ¡ 2 - множители соответственно кратностей 4 è 2 для исходного многочлена f(x). ¥

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет вычислить многочлен f(x) степени n, если известны его значения f(xi) = yi, i 2 f1; 2; : : : ; n + 1g, â

(n + 1) различных точках x1; x2; : : : ; xn+1:

n+1

(x ¡ x1) : : : (x ¡ xi¡1)(x ¡ xi+1) : : : (x ¡ xn+1)

f(x) =

(xi

x1) : : : (xi

1)(xi

xi+1) : : : (xi

xn+1)

Пример 4.

Используя интерполяционную формулу Лагранжа, постройте

многочлен f(x) наименьшей степени по данной таблице значений:

¡1

136

¤ Согласно формуле Лагранжа, имеем:

f(x) = 8

(x ¡ 0)(x ¡ 1)(x ¡ 2)(x ¡ 3)

+ 1

(x + 1)(x ¡ 1)(x ¡ 2)(x ¡ 3)

(¡1 ¡ 0)(¡1 ¡ 1)(¡1 ¡ 2)(¡1 ¡ 3)

(0 + 1)(0 ¡ 1)(0 ¡ 2)(0 ¡ 3)

(x + 1)(x ¡ 0)(x ¡ 2)(x ¡ 3)

+ 17

(x + 1)(x ¡ 0)(x ¡ 1)(x ¡ 3)

(1 + 1)(1

0)(1

2)(1

(2 + 1)(2

0)(2

1)(2

+136

(x + 1)(x ¡ 0)(x ¡ 1)(x ¡ 2)

= 3x4

4x3 + 1:

(3 + 1)(3

0)(3

1)(3

Индивидуальное задание

Задача 1. Вычислите наибольший общий делитель многочленов f(x) è g(x).

	f(x)	g(x)		f(x)	g(x)


1	x2 + 4x + 4	x3 ¡ 6x2 + 12x ¡ 8	7	3x2 + 2x + 1	x3 ¡ 3x + 2
2	x2 ¡ 2x + 1	x3 ¡ 8x + 3	8	3x2 + 4x + 4	x3 ¡ 8
3	x2 + 2x + 3	2x3 ¡ 9x + 27	9	x2 ¡ 1	4x3 + 3x2 + 2x + 1
4	x2 + 3x ¡ 4	x3 ¡ 3x2 + 3x ¡ 1	10	9x2 ¡ 4	x3 ¡ 3x2 + 3x ¡ 1
5	3x2 ¡ 4x + 3	2x3 + 3x2 ¡ 1	11	3x2 + 8x ¡ 3	x3 ¡ 3x ¡ 2
6	3x2 + 3x + 2	2x3 ¡ 3x2 ¡ 4	7	x2 ¡ 4x + 12	x3 ¡ 2x + 4

Задача 2. Разложите многочлен h(x) по степеням: а) двучлена x ¡ 2; б) двучлена x + 1.

					h(x)											h(x)									h(x)
1		x4		4x3 +16x					¡	16	5			3x4		¡	4x3 +1					9	x4	6x2 +8x		¡	3
2				¡ 4		3			¡		6			4		¡	3	+27				10		¡5	4	¡
2				3x	¡	8x +16					6			x		4x		+27				10	4x		5x +1
3	5			3	¡		2		15x+4		7	3x	5		¡4				3		5x+2	11	5		¡4
3	x	¡	10x +20x						15x+4		7	3x		10x +10x						¡3	5x+2	11	3x +5x +5x+3
4		¡		4		3		¡2			8			¡5		4				¡3		12		4
4		3x +8x +6x ¡1									8	3x ¡15x					+20x ¡16					12	x +32x+48

Задача 3. Отделите кратные множители многочлена f(x):

f(x)

x5 ¡410x3 ¡320x2 ¡215x ¡ 4

¡ 6x

4+ 16x3

¡ 24x2

+ 20x ¡ 8

x ¡515x

4+ 8x

3+ 51x2

¡ 72x + 27

x + 2x

+ x

¡2

+ 5x

¡4

7x + 7x

¡2

5x + 3x

+ 5x + 4x + 4

71x

+ 5x

31x

¡3

¡ 4

¡2

x + 4x + 4x

12x + 9

x + 12x

5+ 45x 4+ 48x

3¡ 21x

2¡ 50x ¡ 25

4x + 15x + 20x + 10x

11 x

10x

+ 45x

+ 117x

117x + 190x

194x

5¡

¡ x ¡ x

¡ x ¡ x ¡ 1

Задача 4. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, постройте полином f(x) наименьшей степени по данной таблице значений:

	f(1)	f(2)	f(3)	f(4)		f(1)	f(2)	f(3)	f(4)		f(1)	f(2)	f(3)	f(4)
1	2	1	4	3	5	¡1	2	¡4	3	9	3	1	2	5
2	1	4	2	1	6	¡2	¡1	¡4	¡3	10	1	3	2	1
3	3	1	4	2	7	2	1	¡4	¡3	11	¡1	3	2	1
4	4	¡1	2	2	8	1	¡2	¡4	3	12	1	3	¡2	1

Литература по теории

[1, ãë. 5, ŸŸ 20-24], [2, ãë. 3, ŸŸ 1-4, 6]

Номера практических заданий

[5: •• 546, 549-552, 554-557, 577-580, 585, 587, 589, 590, 592, 593, 624-626]

Вопросы для самопроверки

1) Может ли некоторый многочлен при делении на (x ¡ 1)(x ¡ 2) è íà (x ¡ 2)(x ¡ 3) давать соответственно остатки 2x è 4x?

2)Известно, что число c является k-кратным корнем многочлена f(x) è s- кратным корнем многочлена g(x). Какую кратность имеет корень для многочлена f(x)g(x)? f(x) + g(x)?

3)Многочлены p(x) è p0(x) взаимно просты. Следует ли из этого, что многочлен p(x) не имеет кратных корней?

4)Многочлен p(x) не имеет кратных корней. Следует ли из этого, что многочлены p(x) è p0(x) взаимно просты?

5)Пусть число c является корнем четного многочлена p(x). Будет ли корнем число ¡c для многочлена p(x)? А для нечетного многочлена?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические пособия

#
05.03.2016686.21 Кб16АиГ_1_Зыза.pdf
#
05.03.2016567.15 Кб59АиГ_2_Лиманский.pdf
#
05.03.2016199.05 Кб12СРС _Реутова.pdf