АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_1_Зыза

21

Задача 3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A è B и параллельной вектору w¯.

Задача 4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.

Задача 5. Найдите угол между плоскостями ¼1 è ¼2.

Задача 6. Составьте систему линейных неравенств, множество решений которойвнутренние точки тетраэдра ABCD.

Задача 7. Определите, какие ребра тетраэдра ABCD пересекает плоскость ¼1.

Задача 8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей ¼1 è ¼2 и перпендикулярной плоскости ¼1.

Задача 9. Составьте уравнение плоскости ¼, проходящей через линию пересече- ния плоскостей ¼1 è ¼2 и точку A. Найдите расстояние от ¼ до точки B.

Литература по теории

[8, ãë. 5, ŸŸ 3, 5]

Номера практических заданий

[11: •• 13, 125, 1326, 1327, 1341, 1357, 1358, 1361, 1362, 1387, 1390, 1393]

Вопросы для самопроверки

1)При каком условии на коэффициенты плоскость ¼ : Ax+By +Cz +D = 0 параллельна оси Ox? плоскости Oyz?

2)Когда ¼ k Oy? плоскости Oxz?

3)Когда ¼ k Oz? плоскости Oxy?

4)Когда ¼ проходит через начало координат?

5)Какой вид имеет уравнение плоскости, полученной из ¼ параллельным переносом на вектор v¯ = (®; ¯; °)?

6)При каком условии точка M(x0; y0; z0) лежит между параллельными пло-

скостями l : Ax + By + Cz + D = 0 è m : Ax + By + Cz + D1 = 0?

7)При каком условии точка M(x0; y0; z0) принадлежит тупому двугранному

9) Четыре плоскости Aix + Biy + Ciz + Di = 0; i = 1; 2; 3; 4, пересекаются

в одной точке. Покажите, что определитель четвертого порядка, составленный из коэффициентов этих плоскостей, равен нулю.

10) Справедливо ли утверждение, обратное к 9)?

22

11)Докажите, что утверждение из 9) справедливо, если слова "пересекаются в одной точке" заменить словами "попарно параллельны".

12)Вытекает ли из равенства нулю определителя из 9), что четыре плоскости попарно параллельны или пересекаются в одной точке?

Дополнительные задачи

1) Составьте уравнение плоскости ¼, åñëè:

à) M1(a; 0; 0); M2(0; b; 0); M3(0; 0; c) 2 ¼ (в отрезках);

á) ¼ проходит через ось Oy и точку M(1; 2; 5).

2)Найдите проекцию вектора m = (4; 5; ¡3) на плоскость x + y + z ¡ 1 = 0.

3)Выведите формулу расстояния от точки M0 (x0; y0; z0) до плоскости ¼ :

Ax + By + Cz + D = 0.

4)Найдите длину высоты ha тетраэдра ABCD, опущенной из вершины A,

åñëè A(1; 3; 7), B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0; 1).

5)Докажите, что точка D лежит в плоскости ABC в точности тогда, когда

ее координаты являются линейной комбинацией с суммой коэффициентов 1 соответствующих координат точек A; B; C, и лежит внутри треугольни-

êà ABC в точности тогда, когда ее координаты выпуклая комбинация соответствующих координат точек A; B; C.

6) Найдите расстояние между параллельными плоскостями Ax + By + Cz +

D = 0 è Ax + By + Cz + D1 = 0.

7)Составьте уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов, образованных плоскостями 2x ¡ 2y + z ¡ 1 = 0 è 3y + 4z ¡ 5 = 0.

8)Придумайте алгоритм проверки того, пересекает ли плоскость Ax + By +

Cz + D = 0 отрезок M1M2; M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2).

9) Найдите точку, симметричную началу координат относительно плоскости

6x + 2y ¡ 9z + 121 = 0.

10)Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно двум плоскостям 2x ¡ y + 5z + 3 = 0 è x + 3y ¡ z ¡ 7 = 0.

11) Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки L(0; 0; 1) è N(3; 0; 0) и образующей угол 60± с плоскостью xOy.

12)Найдите центр и радиус сферы, вписанной в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 11x ¡ 10y ¡ 2z ¡ 57 = 0.

23

IV. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Понятия:

1)параметрические уравнения прямой;

2)канонические уравнения прямой;

3)задание прямой системой линейных уравнений.

Факты:

1)методы перехода от одних видов уравнений прямой к другим;

2)расстояние от точки до прямой;

3)расстояние между скрещивающимися прямыми.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей системой двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

½A1x + B1y + C1z + D1 = 0 l : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 :

Здесь v¯1 = (A1; B1; C1) è v¯2 = (A2; B2; C2) неколлинеарные векторы. Второй способ задания прямой системой параметрических уравнений:

l : x = ®t + x0; y = ¯t + y0; z = °t + z0; ®2 + ¯2 + °2 6= 0:

Здесь прямая траектория равномерного и прямолинейного движения точки со скоростью v¯ = (®; ¯; °) и начальным положением (x0; y0; z0) (ïðè t = 0). Вектор

v¯, параллельный l, называется направляющим вектором прямой l. Параметр t рассматривается как время.

Параметрические уравнения можно переписать в виде системы:

Эти уравнения носят название канонических. Здесь некоторые из знаменателей могут быть равны нулю. Например, если ® = 0, то предполагается, что x = x0

для всей прямой.

Пример 1. Составьте уравнения прямой, проходящей через точки

A(1; 2; 5) è B(2; ¡1; 3).

¤ Имеем v¯ = AB = (1; ¡3; ¡2). Если в момент времени t = 0 материальная точка находится в положении A, а в момент времени t - в положении M(x; y; z), òî MA = tv¯. Отсюда

è x = t + 1; y = ¡3t + 2; z = ¡2t + 5

24

¤ Первый способ. Пусть ¼1 : x+2y¡z+4 = 0 è ¼2 : 3x¡y+2z+5 = 0 -

две плоскости, пересекающиеся по прямой l. Тогда v¯ = [¯n1; n¯2] - направ-

z = ¡7t - система параметрических уравнений, задающая прямую l. Êàíî-

Пример 4. Дана точка M(1; 3; 7) и прямая l: x = 2t + 1, y = 3t ¡2, z =

¡t+4. Составьте: а) уравнение плоскости ¼1, содержащей прямую l и проходящей через точку M; б) уравнение плоскости ¼2, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку M.

¤ а) Вектор v¯ = (2; 3; ¡1) параллелен l, а, значит, и

N(1; ¡2; 4) 2 l, а, значит, N 2 ¼1. Требуется провести плоскость через точки M è N параллельно вектору v¯ (см. пример 3 из раздела III "Плоскость в пространстве"). Имеем w¯ = MN = (0; ¡5; ¡3); n¯ = [¯v; w¯] =

Расстояние ½(M; l) от точки M(x1; y1; z1) до прямой l : x = ®t + x0; y =

27

3)При каком условии прямые li : x = ®it + xi; y = ¯it + yi; z = °it + zi; i= 1; 2, скрещиваются?

4)При каком условии те же прямые лежат в одной плоскости?

5)При каком условии те же прямые параллельны?

6)При каком условии те же прямые пересекаются?

7)При каком условии те же прямые перпендикулярны?

8)При каком условии те же прямые совпадают?

9)При каком условии прямая x = ®t+x0; y = ¯t+y0; z = °t+z0 и плоскость

Ax + By + Cz + D = 0 параллельны?

10)При каком условии те же прямая и плоскость пересекаются?

11)При каком условии те же прямая и плоскость перпендикулярны?

12)При каком условии та же прямая лежит в той же плоскости?

Дополнительные задачи

4)Проведите прямую через точку M(1; 7; ¡1) так, чтобы она пересекала прямые l : x¡2 1 = y+33 = z1 è m : x+51 = y¡2 2 = z+13 .

5)Составьте уравнение прямой, перпендикулярной плоскости Oxz и пересекающей две прямые x = t, y = ¡4+t, z = 3¡t è x = 1¡2t, y = ¡3+t,

z =4¡5t.

6)Составьте уравнение прямой, пересекающей ортогонально две прямые: ось Oy и прямую x = 3 + 4t; y = 1 ¡ t; z = 2 + 5t.

9)Опустите перпендикуляр из начала координат на прямую x¡2 2 = y¡3 1 = z¡1 3 .

10)Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней единичного куба.

11)Найдите расстояние между диагональю единичного куба и скрещивающейся с ней диагональю грани этого куба.

12)Составьте уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся

прямым x = 3 + t; y = 1 ¡ t; z = 2 + 2t è x = ¡t; y = 2 + 3t; z = 3t.

28

V. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Понятия:

1)перестановка;

2)инверсия;

3)транспозиция;

4)подстановка;

5)четность (нечетность) перестановок и подстановок;

6)определитель;

7)транспонирование определителя;

8)элементарные преобразования строк и столбцов определителя;

9)минор;

10)дополнительный минор;

11)алгебраическое дополнение.

Факты:

1)число перестановок из n символов;

2)изменение четности перестановок и подстановок при транспозициях;

3)свойства определителей (изменение определителя при транспонировании и при элементарных преобразованиях его строк и столбцов);

4)значение определителя треугольного вида;

5)теорема Лапласа;

6)разложение определителя по строке (столбцу);

7)правило Крамера, формулы Крамера.

Упорядоченная совокупность чисел (®1; ®2; : : : ; ®n), среди которых нет равных и каждое из которых есть одно из чисел 1; 2; : : : ; n, называется перестановкой этих чисел. На множестве из n чисел общее количество перестановок равно n! Говорят, что в данной перестановке числа i è j образуют инверсию, если i > j, но в перестановке i расположено левее j. Перестановка называется четной,

если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае. Транспозицией называется преобразование перестановки, при котором меняются местами какие-либо два ее элемента (не обязательно стоящие рядом). Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Подстановкой степени n чисел 1; 2; : : : ; n называется взаимно однозначное отображение множества f1; 2; : : : ; ng на себя. Подстановки записывают в виде

личество подстановок степени n также равно n! Подстановка называется четной, если общее число инверсий в перестановках, образованных ее верхней и

29

нижней строками, четно, и нечетной в противном случае. Транспозиция подстановки это транспозиция одной из перестановок в верхней либо нижней строках подстановки (но не в обеих сразу). Всякая транспозиция меняет четность подстановки на противоположную.

Пусть задана таблица из чисел aij, i; j 2 f1; : : : ; ng. Определителем (детерминантом) n-го порядка, составленным из этих чисел, называется сумма

1; 2; : : : ; n; s число инверсий в соответствующей подстановке.

Таким образом, определитель n-го порядка это алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых равен произведению n элементов таблицы, взятых

по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца. Член входит в сумму со знаком "плюс", если подстановка, составленная из индексов его сомножителей, четна, и со знаком "минус", если эта подстановка нечетна.

Транспонирование определителя это замена его i-й строки на i-й столбец и наоборот для всех i.

Определитель обладает следующими свойствами: 1) при транспонировании определитель не меняется;

2) при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный;

3) при умножении всех элементов его строки (столбца) на фиксированное число определитель умножается на это число;

4) при прибавлении к одной из его строк (столбцов) другой строки (столбца), умноженной на фиксированное число, определитель не меняется.

Преобразования, описанные в свойствах 2)-4), называют элементарными преобразованиями строк (столбцов) определителя.

Определителем треугольного вида называется определитель, в котором aij = 0 ïðè i > j (верхний треугольный вид) или aij = 0 ïðè i < j (нижний

треугольный вид). Такие определители равны произведению диагональных эле-

30

Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов (k 2 f1; : : : ; ng), то определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором k-го порядка. Миноры первого порядка это элементы определителя, минор n-ãî порядка

это исходный определитель.

Пусть в строках определителя n-го порядка с номерами i1; i2 : : : ; ik è â столбцах с номерами j1; j2; : : : jk расположен минор M порядка k. Минор M0 порядка n ¡ k, расположенный в строках и столбцах определителя, оставшихся

после вычеркивания из него строк i1; i2 : : : ; ik и столбцов j1; j2; : : : jk, называется

дополнительным минором для минора M. Число (¡1)sM0, ãäå s = Pk (im +

m=1

jm), называется алгебраическим дополнением минора M. Алгебраическое дополнение элемента aij (минора 1-го порядка) обозначается через Aij.

Если зафиксировать произвольные k строк (столбцов) определителя порядка n (k 2 f1; : : : ; ng), то сумма произведений всех миноров k-го порядка,

построенных на элементах данных строк (столбцов), на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю (теорема Лапласа).

Частный случай теоремы Лапласа (при k = 1) это разложение определителя по i-й строке (i-му столбцу):

= ai1Ai1 + ai2Ai2 + ¢ ¢ ¢ + ainAin; = a1iA1i + a2iA2i + ¢ ¢ ¢ + aniAni:

Пример 1. Выпишите все члены 5£5-определителя, содержащие множи-

òåëü a13a35 и входящие в выражение определителя со знаком "+".

¤ Искомые члены определителя имеют вид a13a2ia35a4ja5k, ãäå fi; j; kg

имеют вид a13a21a35a42a54, a13a22a35a44a51, a13a24a35a41a52. ¥