АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_1_Зыза

11

II. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Понятия:

1)общее уравнение прямой на плоскости;

2)нормальный вектор к прямой на плоскости;

3)пучок прямых на плоскости;

4)выпуклое множество;

5)линейное неравенство от двух переменных.

Факты:

1)методы составления уравнения прямой на плоскости (по точке на прямой и нормальному вектору; по точке и параллельному вектору; по двум точкам);

2)угол между прямыми;

3)формула расстояния от точки до прямой;

4)взаимное расположение двух точек относительно прямой;

5)методы применения уравнений пучка прямых;

6)решение систем линейных неравенств.

Общее уравнение прямой l на декартовой плоскости имеет вид Ax + By + C = 0, ãäå A 6= 0 èëè B 6= 0. Т. е. точка M(x0; y0) 2 l тогда и только тогда, когда Ax0 + By0 + C = 0.

Нормальный вектор n¯ к прямой Ax + By + C = 0 имеет координаты

n¯ = (A; B).

Пример 1. Составьте уравнение прямой l, проходящей через точку M(3; 4) и ортогональной вектору n¯ = (5; ¡4).

¤ Уравнение l имеет вид 5x¡4y+C = 0. Подставим координаты точки M в это уравнение. Имеем: 5 ¢ 3 ¡ 4 ¢ 4 + C = 0; C = 1. Искомое уравнение

5x ¡ 4y + 1=0. ¥

Пример 2. Составьте уравнение прямой l, параллельной вектору v¯ = (¡2; 3) и проходящей через точку N(7; 4).

¤ Поменяв местами координаты вектора v¯ и знак у одной из координат, получим вектор n¯ = (3; 2). Ò. ê. (¯v; n¯) = 0, òî n¯ ? l. Значит, уравнение l имеет вид 3x+2y +C = 0. Далее, 3¢7+2¢4+C = 0; C = ¡29. Искомое уравнение 3x + 2y ¡ 29 = 0. ¥

Пример 3. Составьте уравнение прямой l, проходящей через точки

M(4; 1) è N(¡3; 6).

12

¤ Вектор v¯ = MN = (¡7; 5) параллелен l, тогда вектор n¯ = (5; 7) перпендикулярен l. Поэтому уравнение l имеет вид 5x + 7y + C = 0. Ò. ê. 5 ¢ 4 + 7 ¢ 1 + C = 0, òî C = ¡27. Искомое уравнение 5x + 7y ¡ 27 = 0. ¥

Пример 4. Найдите угол между прямыми l : 3x + 4y ¡ 5 = 0 è m : 7x ¡

Множество решений линейного неравенства Ax + By + C > 0 (èëè Ax +

By + C > 0) это полуплоскость (или открытая полуплоскость) с границей l. Если отложить нормальный вектор n¯ = (A; B) от точки, лежащей на l, òî

его конец будет находиться в указанной полуплоскости. Множество решений линейного неравенства Ax + By + C 6 0 (èëè Ax + By + C < 0) это другая

полуплоскость (открытая полуплоскость) с границей l.

Выпуклым множеством называется множество, которое вместе с любыми своими точками M; N содержит весь отрезок MN. Пересечение произво-

льной совокупности выпуклых множеств есть выпуклое множество. Полуплоскость выпуклое множество. Поэтому множество решений системы линейных неравенств выпукло. Если допустить бесконечные системы линейных неравенств, то в качестве их решений можно получить любые выпуклые множества.

Пример 5. Составьте систему линейных неравенств, множество решений которой - внутренние и граничные точки треугольника ABC,

åñëè A(1; 4), B(3; 5), C(8; 15).

¤ Составим уравнения прямых AB; BC; AC (см. пример 3). Имеем

AB : x ¡ 2y + 7 = 0; BC : 2x ¡ y ¡ 1 = 0; AC : 11x ¡ 7y + 17 = 0. Рассмотрим

положение точки C относительно прямой AB. Ò. ê. 8 ¡ 2 ¢ 15 + 7 = ¡15 < 0, òî C принадлежит полуплоскости, определяемой неравенством x¡2y +7 6 0. Аналогично точка B лежит в полуплоскости 11x¡7y +17 > 0

13

Точки M(x1; y1) è N(x2; y2) расположены по одну сторону от прямой l :

Ax + By + C = 0 в точности тогда, когда числа A1x + B1y + C1 è A2x + B2y + C2 имеют одинаковый знак.

Пример 6. Определите, какие стороны 4ABC из примера 5 пересекает прямая l : 3x ¡ 2y + 4 = 0.

¤ Подставим координаты вершин A; B; C в левую часть уравнения l.

Имеем A : 3 ¢ 1 ¡ 2 ¢ 4 + 4 = ¡1 < 0; B : 3 ¢ 3 ¡ 2 ¢ 5 + 4 = 3 > 0; C : 3 ¢ 8 ¡

2 ¢ 15 + 4 = ¡2 < 0. Поэтому прямая l пересекает стороны AB è BC и не пересекает сторону AC. ¥

Пучок прямых на плоскости это совокупность всех прямых, проходящих через фиксированную точку, или это совокупность всех прямых, параллельных заданной прямой (которая считается также принадлежащей пучку).

Пучок ¼ однозначно определяется любыми своими двумя различными прямы-

ìè l : A1x + B1y + C1 = 0 è m : A2x + B2y + C2 = 0. Обратно, любые две

несовпадающие прямые определяют некоторый пучок.

Любая прямая из пучка ¼ задается уравнением ®(A1x+B1y+C1)+¯(A2x+ B2y + C2) = 0. Åñëè ® 6= 0, то, разделив это уравнение на ®, получим еще один вид уравнения прямой пучка: A1x + B1y + C1 + ¸(A2x + B2y + C2) = 0. Следует отметить, что в таком виде нельзя задать прямую m из этого пучка.

Пример 7. Даны прямые l : 3x ¡ 2y + 6 = 0, m : 7x + y ¡ 1 = 0,

k : x ¡ 7y ¡ 6 = 0. Составьте уравнение прямой s, проходящей через точку пересечения прямых l è m и параллельной прямой k.

¤ Искомая прямая s находится среди прямых пучка, образованного l è m. Поэтому уравнение s èùåì â âèäå (3x ¡ 2y + 6) + ¸(7x + y ¡ 1) = 0 , ò. å. (3+7¸)x+(¡2+¸)y+(6¡¸) = 0. Осталось определить ¸. Ò. ê. s k k,

¤ Как и в примере 7, уравнение t èùåì â âèäå (3x ¡ 2y + 6) + ¸(7x +

y ¡ 1) = 0, èëè (3 + 7¸)x + (¡2 + ¸)y + (6 ¡ ¸) = 0. Ò. ê. t ? k, то векторы (1; ¡7) è (3 + 7¸; ¡2 + ¸) ортогональны, т. е. 3 + 7¸ + (¡7)(¡2 + ¸) = 0;

17 = 0. Значит, среди прямых (3x ¡ 2y + 6) + ¸(7x + y ¡ 1) = 0 прямой t нет. Проверим прямую m. Вектор, ей ортогональный, - это v¯ = (7; ¡1),

14

а вектор, ортогональный k, - ýòî w¯ = (1; ¡7). Ò. ê. (¯v; w¯) = 0, òî v¯ ? w¯ è m ? k. Значит, t совпадает с m. ¥

Пример 9. Составьте уравнения касательных к окружности (x¡1)2+(y¡

4)2 =2, проходящих через точку пересечения прямых l, m из примера 7.

¤ Задачу можно переформулировать так: найти прямые, принадлежащие

пучку, образованному l; m и удаленные от центра окружности (1; 4) на расстояние, равное радиусу R = p2 этой окружности. Решение снова ищем

â âèäå p : (3 + 7¸)x + (¡2 + ¸)y + (6 ¡ ¸) = 0. По формуле расстояния имеем

j(3+7p¸)¢1+(¡2+¸)¢4+(6¡¸)j = p2. Отсюда (3 + 7¸ + 4(¸ ¡ 2) + 6 ¡ ¸)2 = 2[(3 + 7¸)2+

(3+7¸)2+(¡2+¸)2

(¡2+¸)2]; (10¸+1)2 =2(26+38¸+50¸2); 20¸+1=52+76¸; ¸=¡51=56. Поэтому

рассматриваемого пучка не проверена прямая

òî m - тоже касательная и решение задачи. ¥

Индивидуальное задание

Задача 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору v¯.

Задача 2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку B и параллельной вектору v¯.

Задача 3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A è B.

15

Задача 4. Найдите угол между прямыми l è m.

Задача 5. Составьте систему линейных неравенств, множество решений которой внутренние и граничные точки треугольника ABC.

Задача 6. Определите, какие стороны пересекает прямая l.

Задача 7. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересече- ния прямых l è m и параллельной прямой k.

Задача 8. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересече- ния прямых l è m и перпендикулярной прямой k.

Задача 9. Составьте уравнения касательных к окружности ¾, проходящих через точку пересечения прямых l è m.

Литература по теории

[8, ãë. 5, ŸŸ 1, 2]

Номера практических заданий

[11: •• 243, 244, 247-249, 252-255, 258, 261, 269, 278, 279, 283, 294, 295]

Вопросы для самопроверки

1)При каком условии прямая l : Ax + By + C = 0 параллельна оси Ox?

2)Когда l k Oy?

3)Когда l проходит через начало координат?

4)Какой вид имеет уравнение прямой, полученной из l параллельным переносом на вектор v¯ = (®; ¯)?

5)При каком условии точка M(x0; y0) лежит между параллельными пря-

ìûìè l : Ax + By + C = 0 è m : Ax + By + C1 = 0?

6)При каком условии точка M(x0; y0) принадлежит острому углу, образованному прямыми l : Ax + By + C = 0 è m : A1x + B1y + C1 = 0?

7)Какое множество точек на плоскости задает уравнение

8) Три прямые Aix + B¯ iy + Ci = 0¯; i = 1; 2; 3, пересекаются в одной точке.

¯¯A1 B1 C1¯¯

Покажите, что d = ¯¯A2 B2 C2¯¯ = 0.

¯A3 B3 C3¯

9)Справедливо ли утверждение, обратное к 8)?

10)Докажите, что утверждение из 8) справедливо, если слова "пересекаются в одной точке" заменить словами "попарно параллельны".

11)Вытекает ли из равенства d = 0 (см. вопрос 8)), что три прямые попарно параллельны или пересекаются в одной точке?

16

12)Можно ли внешние точки треугольника задать как множество решений системы линейных неравенств?

Дополнительные задачи

1)Найдите проекцию вектора m = (¡4; 7) на прямую 2x + 3y ¡ 6 = 0.

2)Найдите точку, симметричную точке N(¡5; 13) относительно прямой 2x¡

0 отрезок M1M2; M1(x1; y1); M2(x2; y2).

12)Даны две вершины A(93; 80); B(10; 2) треугольника ABC и точка пересе- чения его медиан M(1; 1). Найдите координаты третьей вершины C.

17

III. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Понятия:

1)общее уравнение плоскости;

2)нормальный вектор к плоскости;

3)пучок плоскостей;

4)линейное неравенство от трех переменных.

Факты:

1)методы составления уравнения плоскости (по точке на плоскости и нормальному вектору; по точке и двум некомпланарным векторам; по двум точкам и параллельному вектору; по трем точкам);

2)угол между плоскостями;

3)формула расстояния от точки до плоскости;

4)взаимное расположение двух точек относительно плоскости;

5)методы применения уравнения пучка плоскостей;

6)решение систем линейных неравенств.

Общее уравнение плоскости ¼ в декартовом пространстве имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, ãäå A2 + B2 + C2 =6 0. Т. е. точка M (x0; y0; z0) 2 ¼ тогда и только тогда, когда Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

Нормальный вектор n¯ к плоскости Ax+By+Cz+D = 0 имеет координаты

n¯ = (A; B; C).

Пример 1. Составьте уравнение плоскости ¼, проходящей через точку M(1; 3; 2) и ортогональной вектору n¯ = (3; ¡5; 4).

¤ Уравнение ¼ имеет вид 3x ¡ 5y + 4z + D = 0. Подставим координаты точки M в это уравнение. Имеем: 3¢1¡5¢3+4¢2+D = 0; D = 4. Искомое уравнение есть 3x ¡ 5y + 4z + 4 = 0. ¥

Пример 2. Составьте уравнение плоскости ¼, параллельной векторам

v¯ = (1; 2; ¡5) è w¯ = (3; ¡4; 2) и проходящей через точку M(7; ¡2; 6).

¤ Вектор n¯ = [¯v; w¯] = (¡16; ¡17; ¡10) ортогонален ¼. Далее, как в

примере 1, ¼ : ¡16x ¡ 17y ¡ 10z + D = 0; ¡16 ¢ 7 + 17 ¢ 2 ¡ 10 ¢ 6 + D = 0;

D = 138. Искомое уравнение есть ¡16x ¡ 17y ¡ 10z + 138 = 0. ¥

Пример 3. Составьте уравнение плоскости ¼, проходящей через точки L(1; 5; ¡1) è M(3; 4; ¡2) и параллельной вектору v¯ = (6; 1; ¡1).

¤ Вектор w¯ = LM = (2; ¡1; ¡1) параллелен ¼. Далее, как в примере

2, n¯ = [¯v; w¯] = (¡2; 4; ¡8); ¼ : ¡2x + 4y ¡ 8z + D = 0. Для вычисления

18

D можно в уравнение ¼ подставить любую из точек L, M. Подставим

L: ¡2 ¢ 1 + 4 ¢ 5 ¡ 8 ¢ (¡1) + D = 0; D = ¡26. Искомое уравнение есть

¡2x + 4y ¡ 8z ¡ 26 = 0. ¥

Пример 4. Составьте уравнение плоскости ¼, проходящей через

21z+D = 0. Для определения D в уравнение ¼ можно подставить любую из точек K, L, M. Подставим K: 18 ¢ 1 ¡ 6 ¢ 3 + 21 ¢ 7 + D = 0; D = ¡147 . Искомое уравнение (после сокращения на 3) åñòü 6x ¡ 2y + 7z ¡ 49 = 0. ¥

Пример 5. Найдите угол между плоскостями ¼ : 2x ¡ 3y + z ¡ 4 = 0 è

Множество решений линейного неравенства Ax + By + Cz + D > 0 (èëè

Ax + By + Cz + D > 0) это полупространство (или открытое полупростран-

ñòâî),

ограниченное плоскостью ¼. Если отложить нормальный вектор n¯ = (A; B; C) от точки, лежащей на ¼, то его конец будет находиться в указанном полупространстве. Множество решений линейного неравенства Ax + By + Cz + D 6 0 (èëè Ax + By + Cz + D < 0) это другое полупространство (открытое полупространство) с границей ¼.

Множество решений системы линейных неравенств выпуклое множество. Если допустить бесконечные системы линейных неравенств, то в качестве их решений можно получить любые выпуклые множества в пространстве.

Пример 6. Составьте систему линейных неравенств, множество решений которой - внутренние точки тетраэдра ABCD, åñëè A(1; 2; 1),

B(3; 1; 2), C(2; 3; 3), D(¡1; 0; 4).

¤ Составим уравнения плоскостей ABC, ABD, ACD, BCD (см. пример 4). Имеем ABC : x+y ¡z ¡2 = 0; ABD : x+8y +6z ¡23 = 0; ACD :

19

x ¡ y + 1 = 0; BCD : 5x ¡ 2y + 9z ¡ 31 = 0. Рассмотрим положение точки D относительно плоскости ABC. Ò.ê. ¡1 ¢ 1+0 ¢ 1¡1 ¢ 4¡2 = ¡7 < 0, òî D принадлежит полупространству, определяемому неравенством x+y¡z¡2 < 0. Аналогично точка C лежит в полупространстве x+8y+6z¡23 > 0 с границей ABD, точка B - в полупространстве x ¡ y + 1 > 0 с границей ACD и точка A - в полупространстве 5x ¡ 2y + 9z ¡ 31 < 0 с границей BCD.

>

>

>

:5x ¡ 2y + 9z ¡ 31 < 0

Точки L(x1; y1; z1) è M(x2; y2; z2) расположены по одну сторону от плоскости ¼ : Ax + By + Cz + D = 0 в точности тогда, когда числа Ax1 + By1 + Cz1 + D è Ax2 + By2 + Cz2 + D имеют одинаковый знак.

Пример 7. Определите, какие ребра тетраэдра ABCD из примера 6 пересекает плоскость ¼ : x + y + z ¡ 5 = 0.

¤ Подставим координаты вершин A, B, C, D в левую часть урав-

нения ¼. Имеем A : 1+2+1¡5 < 0; B : 3+1+2¡5 > 0; C : 2+3+3¡5 > 0;

D : ¡1 + 0 + 4 ¡ 5 < 0. Поэтому плоскость ¼ пересекает ребра AB, AC, BD è CD и не пересекает ребра AD è BC. ¥

Пучок плоскостей в пространстве это совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую, или это совокупность всех плоскостей, параллельных заданной плоскости (которая считается также принадлежа-

щей пучку). Пучок ¸ однозначно определяется любыми своими двумя различ-

ными плоскостями ¼1 : A1x+ B1y + C1z + D1 = 0 è ¼2 : A2x+ B2y + C2z + D2 = 0.

Обратно, любые две несовпадающие плоскости определяют некоторый пучок. Любая плоскость из пучка ¸ задается уравнением ®(A1x + B1y + C1z +

D1) + ¯(A2x + B2y + C2z + D2) = 0. Åñëè ® 6= 0, то, разделив это уравнение на ®, получим еще один вид уравнения плоскости пучка: A1x + B1y + C1z + D1 + °(A2x + B2y + C2z + D2) = 0. Следует отметить, что в таком виде нельзя задать плоскость ¼2 из этого пучка.

Пример 8. Даны плоскости ¼1 : 2x + y + 3z ¡ 4 = 0 è ¼2 : x +

y ¡ z + 5 = 0. Составьте уравнение плоскости ¼, проходящей через линию пересечения плоскостей ¼1 è ¼2 и ортогональной плоскости ¼1.

¤ Искомая плоскость ¼ находится среди плоскостей пучка, образованного ¼1 è ¼2. Поэтому уравнение ¼ èùåì â âèäå 2x + y + 3z ¡ 4 + °(x +

y ¡ z + 5) = 0 , ò. å. (2 + °)x + (1 + °)y + (3 ¡ °)z ¡ 4 + 5° = 0. Осталось

определить °. Ò.ê. ¼ ? ¼1, то нормальные векторы n¯ = (2+°; 1+°; 3¡°)

20

è m¯ = (2; 1; 3) соответственно к ¼ è ¼1 ортогональны: (¯n; m¯ ) = 0; (2 + °) ¢ 2 + (1 + °) ¢ 1 + (3 ¡ °) ¢ 3 = 0; 9 = 0. Значит, среди плоскостей

Пример 9. Определите расстояние от плоскости ¼, проходящей через линию пересечения плоскостей ¼1 è ¼2 из примера 8 и точку M(3; 2; ¡1), до точки L(1; 4; 6).

¤Как и в примере 8, уравнение ¼ èùåì â âèäå (2+°)x+(1+°)y+(3¡

°)z ¡ 4 + 5° = 0. Ò. ê. M 2 ¼, òî (2 + °) ¢ 3 + (1 + °) ¢ 2 ¡(3 ¡ °) ¡ 4 + 5° = 0;

Задача 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору v¯.

Задача 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку B и параллельной векторам v¯ è w¯.