Практичне заняття 13. Двовимірна дискретна випадкова величина

Задача.Дискретна двомірна випадкова величиназадана законом розподілу

	1	3	4
–1	0,04	2а	0,1
0	0,05	0,2	0,1
2	а	0,05	0,01

Знайти:1) параметра; 2) закони розподілу випадкових величинта; 3) функцію розподілу; 4) функції розподілута; 5); 6)та; 7)та; 8); 9).

Розв’язання.1) Параметразнаходимо з умови, тобто

, або .

2) Знайдемо значення

, ,

і запишемо ряд розподілу випадкової величини

	1	3	4
	0,24	0,55	0,21

Аналогічно знаходимо

, ,

і запишемо ряд розподілу випадкової величини

	–1	0	2
	0,44	0,35	0,21

3) Використовуючи формулу, знайдемо двомірну функцію розподілу,,,,,

, ,

,

,

,

.

4) Скориставшись законами розподілу випадкових величинта, знайдемота:

, ,

,;

, ,

,.

5)

.

6) Для обчисленнятаскористаємось рядами розподілу випадкових величинта:

,

.

7) Обчислюємо дисперсії випадкових величинта:

8) Для обчислення коефіцієнта кореляції необхідно спочатку знайти,та:

, ,

.

Підставивши отримані значення в формулу, знайдемо коефіцієнт кореляції .

9) . Обчислимо значення умовних ймовірностей:

, ,.

Знайдемо умовне математичне сподівання

.

Задача 2.Дискретна двомірна випадкова величиназадана законом розподілу:

	–2	–1	0	2
1	0,03	0,07	0,25	0,08
2	0,04	0,05	0,1	0,15
4	0,02	0,01	0	0,2

Знайти:1) закони розподілу випадкових величинта; 2) функцію розподілу; 3) функції розподілута; 4).

Практичне заняття 14. Двовимірна неперервна випадкова величина

Задача.Двовимірна випадкова величинамає щільність розподілув областііпоза областю.

Знайти: 1) параметр а; 2) ймовірність потрапити в область.

Розв’язання.1) Параметразнаходимо з умови, що, тобто

.

Звідки .

2) .

Задача.Двовимірна випадкова величинамає щільність розподілув прямокутній областііпо за областю.

Знайти:1) функцію розподілу; 2)та; 3)та; 4).

Розв’язання.1) За означенням, тодіякщоабо;

, якщо iякщо,.

2) Для того щоб знайти тапотрібно визначитита. Знайдемо ці щiльностi розподiлiв за формулами:,.

,

.

Математичні сподівання знаходимо за формулами

,

.

3) ,

.

4) Для знаходження коефiцiєнта кореляцiï спочатку обчислимо,та

.

, .

Тодi .

Практичне заняття 15. Статистичні оцінки параметрів розподілу

Приклад. За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки

X = xi	–6	–4	–2	2	4	6
ni	5	10	15	20	40	10
Wi	0,05	0,1	0,15	0,2	0,4	0,1

потрібно:

1. Побудувати F ^(x) і зобразити її графічно;

2. Накреслити полігони частот і відносних частот.

Розв’язання. Згідно з означенням та властивостямиF ^(x) має такий вигляд:

Графічне зображення F ^(x) подано на рис. 106.

Рис. 106

Полігони частот та відносних частот зображено на рис.107, 108.

Рис. 107

Рис. 108

Приклад.За заданим статистичним розподілом вибірки

X = xi	2,5	4,5	6,5	8,5	10,5
ni	10	20	30	30	10

потрібно:

1) обчислити ,, ;

2) знайти Mo^, Me^;

3) обчислити R, V.

Розв’язання.Оскільки, то згідно з формулами (354), (357), (358) дістанемо:

.

Для обчислення визначається

Тоді .

= 5,16.

= 2,27.

Mo^= 6,5; 8,5.

Отже, наведений статистичний розподіл вибірки буде двомодaльним. Me^ = 6,5, оскільки варіанта х = 6,5 поділяє варіаційний ряд 2,5; 4,5;6,5; 8,5; 10,5 на дві частини: 2,5; 4,5 і 8,5; 10,5, які мають однакову кількість варіант.