Практичне заняття 20. Критерій згоди пірсона

Приклад. В таблиці наведено відхилення (в мк) діаметрів виготовлених на верстаті валків від заданого розміру

0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
15	75	100	50	10

Вибіркове середнє дорівнює 11,8 мк., а вибіркове стандартне відхилення – 4,7 мк.. Розрахувати теоретичні частоти попадання у відповідні інтервали варіаційного ряду, вважаючи розподіл діаметрів валків нормальним, а його параметри рівними їхнім оцінкам за вибіркою.

Розв’язання. Розрахуємо теоретичні частоти нормального розподілу, вважаючи параметри розподілу відомими і рівними їх оцінкам за вибіркою:мк., мк.,. Теоретичні ймовірностіпопадання випадкової величинив інтервалирівні, де– функція Лапласа, а кінці інтервалівобчислені за формулами, причому найменше значеннярівне, а найбільше. Теоретичні частоти.

Складемо розрахункову таблицю

1	0	5		–1,45	–0,5000	–0,4265	0,0735	18,375
2	5	10	–1,45	–0,38	–0,4265	–0,1480	0,2785	69,625
3	10	15	–0,38	0,68	–0,1480	0,2517	0,3997	99,925
4	15	20	0,68	1,74	0,2517	0,4591	0,2074	51,85
5	20	25	1,74		0,4591	0,5000	0,0409	10,225
							1,0000	250

Приклад. Вимірювання зросту юнаків віком 17 років дав такі результати:

h = 4 cм	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182	182-186
ni	8	14	20	32	12	8	4	2

Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознакa Х– зріст юнака. При рівні значущості= 0,01 перевірити правильність висунутої нульової гіпотези.

Розв’язання. Для заданого статистичного розподілу побудуємо гістограму частот (рис. 143).

Рис. 143

За формою гістограми частот можемо припустити, що ознака Хмає нормальний закон розподілу. Отже, висуваємо нульову гіпотезуН₀: ознакаХмає нормальний закон розподілу ймовірностей.

Для перевірки правильності Н₀використаємо критерій згодиПірсона.

Отже, необхідно обчислити теоретичні частоти, а для цього знайдемо значення , побудувавши дискретний розподіл за заданим інтервальним, а саме:

xi	156	160	164	168	172	176	180	184
ni	8	14	20	32	12	8	4	2

cм;

см.

Обчислення теоретичних частот наведено в таблиці:

xi	xi+1	ni
154	158	8	– 2,04	– 1,42	– 0,4793	– 0,4222	6
158	162	14	– 1,42	– 0,79	– 0,4222	– 0,2852	14
162	166	20	– 0,79	– 0,16	– 0,2852	– 0,0636	22
166	170	32	– 0,16	0,464	– 0,0636	0,1772	24
170	174	12	0,464	1,09	0,1772	0,3621	19
174	178	8	1,09	1,72	0,3621	0,4573	10
178	182	4	1,72	2,34	0,4573	0,4904	3
182	186	2	2,34	2,97	0,4904	0,4986	1

Обчислення спостережуваного значення наведено в таблиці:

ni	npi	ni – npi	(ni – npi)2
8	6	2	4	0,667
14	14	0	0	0
20	22	– 2	4	0,182
32	24	8	64	2,667
12	19	– 7	49	2,579
8	10	– 2	4	0,4
4	3	1	1	0,333
2	1	1	1	1

.

За таблицею (додаток 8) знаходимо значення

Критична область зображена на рис. 144.

Рис. 144

Висновок. Оскільки, немає підстав для відхилення нульової гіпотезиН₀про нормальний закон розподілу ймовірностей ознакиХ.

Приклад. За заданим статистичним розподілом вибірки:

h= 4 cм	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ni	40	30	20	6	4

з’ясувати гіпотетично закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х. При рівні значущості= 0,01 перевірити правильність цього припущення.

Розв’язання. Для визначення закону розподілу ознакиХпобудуємо гістограму частот (рис. 145).

Рис. 145

За формою гістограми частот можна гіпотетично стверджувати, що ознака Хмає експоненціальний закон розподілу ймовірностей.

Для перевірки правильності цього твердження використаємо критерій згоди Пірсона. Теоретичні частоти в цьому разі обчислюються за формулою

,

де .

Отже, необхідно обчислити , побудувавши дискретний статистичний розподіл за наведеним інтервальним, а саме:

xi	5	15	25	35	45
ni	40	30	20	6	4

Оскільки , то

.

Тоді .

Обчислення теоретичних частот наведено в таблиці:

xi	xi+1	ni
0	10	40	1	0,522	48
10	20	30	0,522	0,273	25
20	30	20	0,273	0,142	13
30	40	6	0,142	0,074	7
40	50	4	0,074	0,0039	7

Обчислення спостережуваного значення критерію наведено в таблиці:

ni	npi	ni – npi	(ni – npi)2
40	48	–8	64	1,33
30	25	5	25	1
20	13	7	49	3,77
6	7	– 1	1	0,14
4	7	– 3	9	1,29

.

За таблицею (додаток 8) знаходимо значення критичної точки

.

Критичну область зображено на рис. 146.

Рис. 146

Висновок. Оскільки, нульова гіпотеза про експоненціальний закон розподілу ознакиХприймається.