- •Міністерство освіти і науки україни
- •Практичне заняття 2. Теореми додавання і множення ймовірностей
- •Практичне заняття 3. Формула повної ймовірності. Формула бейєса
- •Практичне заняття 4. Послідовність незалежних випробувань
- •Практичне заняття 5. Послідовність незалежних випробувань
- •Практичне заняття 6. Дискретна випадкова величина
- •Практичне заняття 7. Неперервна випадкова величина
- •Практичне заняття 8. Неперервна випадкова величина
- •Практичне заняття 9. Неперервна випадкова величина
- •Практичне заняття 10. Закони розподілу дискретної випадкової величини
- •Практичне заняття 11. Закони розподілу неперервної випадкової величини
- •Практичне заняття. 12. Нормально розподілена випадкова величина
- •Розв’язання.
- •Практичне заняття 13. Двовимірна дискретна випадкова величина
- •Практичне заняття 14. Двовимірна неперервна випадкова величина
- •Практичне заняття 15. Статистичні оцінки параметрів розподілу
- •Практичне заняття 16. Статистичні оцінки параметрів розподілу
- •Практичне заняття 17. Довірчі інтервали
- •Практичне заняття 18. Статистичні гіпотези
- •Практичне заняття 19. Статистичні гіпотези
- •Практичне заняття 20. Критерій згоди пірсона
- •Практичне заняття 21. Елементи теорії кореляції
- •Практичне заняття 22. Випадкові процеси
- •Практичне заняття 23. Моделювання випадкових величин методом монте-карло
- •Практичне заняття 24. Системи масового обслуговування. Ланцюги маркова
- •Таблиця значень функції
- •Таблиця значень функції
- •Таблиця значень функції
- •Додаток 4 Таблиця значень , що задовольняють рівність
- •Додаток 5 Таблиця значень
- •Додаток 6 Критичні точки розподілу Ст’юдента (t-розподілу)
- •Додаток 7 Критичні точки розподілу Фішера (f-розподілу)
- •Критичні значення критерію Колмогорова для деяких .
- •Рівномірно розподілені випадкові числа
Практичне заняття 19. Статистичні гіпотези
1. Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких відомі.
2. Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей.
Приклад.За заданими статистичними розподілами двох вибірок, реалізованих із двох генеральних сукупностей, ознаки яких мають нормальний закон розподілу зі значенням дисперсій генеральних сукупностей,
xi |
12,2 |
13,2 |
14,2 |
15,2 |
16,2 |
|
yj |
8,4 |
12,4 |
16,4 |
20,4 |
24,4 |
5 |
15 |
40 |
30 |
10 |
|
10 |
15 |
35 |
20 |
20 |
при рівні значущості = 0,01 перевірити правдивість нульової гіпотези, якщо альтернативна гіпотеза
Розв’язання.Оскільки, обчислимо,:
.
.
Для альтернативної гіпотези будується правобічна критична область. Критичну точкузнаходимо з рівності
.
Правобічна критична область зображена на рис. 131.
Рис. 131
Обчислимо спостережуване значення критерію
Висновок.Оскільки, тоне відхиляється.
Приклад.ОзнакиХіYдвох генеральних сукупностей, елементами яких є однотипні заклепки, мають нормальний закон розподілу зі значеннями дисперсійDx= 2,2 мм2,Dy= 2,8 мм2.
При реалізації двох вибірок із генеральних сукупностей дістали статистичні розподіли:
yi |
9,7 |
9,8 |
9,9 |
10 |
10,1 |
10,2 |
|
xj |
8,9 |
9,2 |
9,5 |
9,8 |
10,1 |
|
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
1 |
|
|
1 |
4 |
5 |
6 |
4 |
При рівні значущості = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези, якщо альтернативна гіпотеза.
Розв’язання.Ураховуючи, що, обчислимо
мм.
мм.
При альтернативній гіпотезі будуємо лівобічну критичну область, критичну точку для якої знаходимо з рівності
.
Лівобічна критична область зображена на рис. 132.
Рис. 132
Обчислюємо спостережуване значення критерію
Висновок.Оскільки, то відсутні підстави для відхилення.
Приклад.Для дослідження розтягування певного типу гуми після хімічного оброблення було відібрано шість її мотків, кожний з яких було розділено навпіл і одна його половина була піддана хімічній обробці, а друга – ні.
Потім за допомогою приладу, що вимірює розтягування матеріалу, мотки гуми були виміряні і результати вимірювання наведені у вигляді двох статистичних розподілів ознак ХіY, які мають нормальний закон розподілу з відомими значеннями генеральних дисперсійDx= 10;Dy= 16.
yi |
16,7 |
17,2 |
17,3 |
18,1 |
18,4 |
19,1 |
|
xj |
16,2 |
16,3 |
17 |
17,6 |
18,4 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
При рівні значущості = 0,001 перевірити правдивість нульової гіпотези, якщо альтернативна гіпотеза.
Розв’язання.Обчислимо значення,.
Оскільки , то маємо:
.
.
При альтернативній гіпотезі будується двобічна критична область.
Оскільки , тообчислюємо, використовуючи рівність
.
Критична область зображена на рис. 133.
Рис. 133
Обчислимо спостережуване значення критерію
Висновок.Оскільки, то немає підстав відхиляти.
Приклад.З допомогою двох радіовимірних приладів вимірювалась відстань до певного об’єкта. Результати вимірювання наведені у вигляді двох статистичних розподілів ознак:Y– відстань, виміряна першим радіоприладом, таХ– другим. При цьомуYіХє незалежними між собою і підпорядковані нормальному закону розподілу. Статистичні розподіли мають такий вигляд:
yi, км |
195 |
198 |
201 |
204 |
207 |
210 |
|
10 |
20 |
30 |
20 |
15 |
5 |
xj, км |
184 |
188 |
192 |
196 |
200 |
204 |
|
5 |
15 |
30 |
40 |
6 |
4 |
При рівні значущості = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези, якщо альтернативна гіпотеза.
Розв’язання.Значення дисперсій генеральних сукупностей невідомі. Необхідно обчислити
Оскільки , то
км.
; .
км.
;
;
; .
При альтернативній гіпотезі будуємо правобічну критичну область, критична точка якої, ураховуючи те, що обсяг вибірки великий, знаходиться з рівності
.
Критична область зображена на рис. 134.
Рис. 134
Спостережуване значення критерію обчислюється так:
.
Висновок.Оскільки, то відсутні підстави для відхилення.
Приклад. Протягом доби двома приладами вимірювали напругу в електромережі. Результати вимірювання наведено у вигляді статистичних розподілів
yi |
223 |
227 |
229 |
230 |
235 |
|
1 |
2 |
6 |
2 |
1 |
xj |
216 |
217 |
219 |
228 |
236 |
|
2 |
3 |
5 |
1 |
1 |
Припускаючи, що випадкові величини ХіY(напруга у вольтах) є незалежними і мають нормальний закон розподілу ймовірностей, за рівня значущості = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотезипри альтернативних гіпотезах:
1) ;
2) .
Розв’язання. Обсяги вибірок відповідно дорівнюють,.
Обчислимо значення ,,,:
;
;
;
;
;
;
;
.
1) Для перевірки правильності нульової гіпотези при альтернативній гіпотезі будуємо правобічну критичну область. Ураховуючи, що статистичний критерій має розподіл Стьюдента з та рівнем значущості = 0,001, за таблицею (додаток 6) знаходимо критичну точку.
Правобічна критична область зображена на рис. 135.
Рис. 135
За формулою (459) обчислюємо спостережуване значення критерію
.
Висновок. Оскільки, топриймається.
2) Для альтернативної гіпотези будується двобічна критична область. Беручи до уваги, що, а, тоді. Двобічна критична область зображена на рис. 136.
Рис. 136
З попередніх обчислень маємо .
Висновок. Оскільки, то в цьому разі немає підстав для прийняття.
Приклад. З двох вибірок обсягом,, реалізованих із двох генеральних сукупностей, ознаки якихХіYє незалежними і мають нормальний закон розподілу,oбчислені значення.
При рівні значущості = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези, якщо альтернативна гіпотеза.
Розв’язання. Статистичний критерій у цьому разі є випадковою величиною
, тобто , що має розподіл Стьюдента зступенями свободи.
Для альтернативної гіпотези будуємо лівобічну критичну точку.знаходимо за таблицею(додаток 6).Звідси маємо, що.
Критична область зображена на рис. 137.
Рис. 137
Обчислимо спостережуване значення критерію
.
Висновок. Оскільки, топриймається.
Приклад. Під час дослідження стабільності температури в термостаті дістали такі результати: 21,2; 21,8; 21,3; 21,0; 21,4; 21,3.
З метою стабілізації температури було використано удосконалений пристрій, після цього заміри температури показали такі результати: 37,7; 37,6; 37,6; 37,4. Чи можна за рівня значущості = 0,01 вважати використання удосконаленого пристрою до стабілізатора температури ефективним?
Розв’язання. Очевидно, що ефективність стабілізаторів без удосконаленого пристрою і з ним залежить від дисперсій вимірюваних ними температур. Отже, задача звелась до порівняння двох дисперсій.
Обчислимо виправлені вибіркові дисперсії
;
;
;
;
;
;
;
.
Обчислимо спостережуване значення критерію
.
Число ступенів вільності для більшої виправленої дисперсії ,, для меншої,.
Оскільки удосконалення стабілізатора температур може тільки зменшити дисперсію, то будуємо правобічну критичну область. Отже, .
Критичну точку знаходимо за таблицею (додаток 7) відповідно до заданого рівня значущості = 0,01 і числа ступенів свободи= 5,= 3,.
Схематично правобічна критична область зображена на рис. 138.
Рис. 138
Висновок. Оскільки, дані спостережень не дають підстав відхилити нульову гіпотезу, тобто вдосконалення термостабілізатора є ефективним.
Приклад. За заданими статистичними розподілами вибірок, які реалізовано з генеральних сукупностей, ознаки якихХіYє незалежними і мають нормальний закон розподілу,
yi |
1,2 |
2,2 |
3,2 |
4,2 |
5,2 |
|
1 |
2 |
4 |
2 |
3 |
xj |
0,8 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4 |
|
2 |
6 |
1 |
1 |
2 |
при рівні значущості = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези, якщо альтернативна гіпотеза.
Розв’язання. Обчислимо значення,:
;
;
;
;
;
.
;
.
Обчислимо спостережуване значення критерію .
Для альтернативної гіпотези будуємо правобічну критичну область. Знайдемо за таблицею (додаток 7) критичну точку
Критична область зображена на рис. 139.
Рис. 139
Висновок. Оскільки, нульова гіпотезає правильною.