5.8. Чисельні методи і алгоритми рішення задач аналізу технічних систем

Більшість задач аналізу технічних систем зводяться до розв'язку систем алгебраїч-них і звичайних диференціальних рівнянь. З розвитком автоматизованих розрахунків найбільш вживаними стають чисельні методи і алгоритми.

Серед чисельних методів апроксимації виділяють задания стандартних функцій шляхом представлення їх у вигляді рядів. Зокрема, використовують ряд функцій, ряд Тейлора, застосовують інтерполяцію для апроксимації функції, та інші.

Найбільш часто використовують лінійно-кускову і параболічну інтерполяцію.

Чисельний розв'язок рівнянь включає чисельне диференціювання, чисельне ін-тегрування функції, чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь, розв'я-зок систем лінійних рівнянь, розв'язок нелінійних алгебраїчних рівнянь і т.д. Якщо функція задана таблично, то найпростіші формули чисельного диференціювання отри-мують в результаті диференціювання інтерполяційних формул. Найпростіша формула чисельного інтегрування функції - формула прямокутників базується на визначенні інтегралу. Часто використовують також формули трапецій і Сімпсона.

Чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь можливе як явни-ми, так і неявними методами. Найпростіша формула чисельного інтегрування ОДР - формула явного методу Ейлера, використовують також неявний метод Ейлера, мето-ди Адамса, Рунге-Кутта та інші.

В систему лінійних алгебраїчних рівнянь закладено метод виключень Гауса.

5.9. Аналіз технічних процесів

Процедури аналізу технічних процесів передбачають розв'язок їх функціональних моделей. Функціональні моделі відображають фізичні процеси, що мають місце в тех-нічних системах (у обладнанні, інструменті, пристосуванні, оброблюваному матеріалі).

Розповсюдженими є дискретні моделі, змінні яких дискретні, а множина рішень обмежена. В більшості випадків проектування технічних процесів використовують ста-тичні моделі, рівняння яких не враховують інерційнІсть процесів в технічних системах.

За формою зв'язків між вихідними, внутрішніми і зовнішніми параметрами при здійсненні технічних процесів розрізняють моделі у вигляді систем рівнянь (алгорит-мічні моделі) і моделі у вигляді явних залежностей вихідних параметрів від вну-трішніх і зовнішніх (аналітичні моделі). Опис математичних співвідношень на рівнях структурних, логічних і кількісних властивостей приймає конкретні форми в умовах певного технічного процесу. Вибір типу ММ, найбільш ефективної в умовах конкретної задачі, визначається сутністю технічного процесу, формою представлення початкової інформації, загальною метою дослідження.

Особливості процедур аналізу технічних процесів в залежності від складності задач визначають різні принципи побудови і вибору моделей. Часто виникає необхідність розробки менш точної моделі, але разом з тим більш корисної для практики. Виникають дві задачі: з одного боку, - треба розробити модель, на якій простіше отримати чисельні розв'язання, а з другого - забезпечити максимально можливу точність моделі. З метою спрощення для аналізу використовують такі прийоми, як виключення параметрів, змі-на характеру параметрів, зміна функціональних співвідношень між параметрами (наприклад, лінійна апроксимізація), зміна обмежень (їх модифікація, поступове вклю-чення обмежень до умови задачі). Процедури аналізу технічних процесів передбачають використання типових методів і алгоритмів рішення задач.