Пример построения интервального вариационного ряда

Пусть измерен некоторый экономический показатель в 30 регионах:

23 29 35 7 11 18 23 30 36 18 11 8 13 20 25 27 14 30 20 20 24 19 21 26 22 16 26 25 33 27

Расставим экспериментальные данные в возрастающем порядке:

6 8 11 11 13 14 16 18 18 19 20 20 20 21 22 23 23 24 25 25 26 26 27 27 29 30 30 33 35 36

По таблице 1 определяем число классов

Таблица 1

Объем выборки n	Число классов K
6-11	4
12-22	5
23-46	6
47-93	7
94-187	8
188-377	9
378-755	10
756-1515	11

Для n=30 число классовK=6. Найдем минимальное и максимальное значения вариант: х_min=7, х_max=36. Определим вариационный размахR= х_min-х_max=36-6=30.

Определим величину классового интервала: ===5.

Х_н1= х_min=6; Х_в1= х_min+=6+5=11

Обобщим полученные данные в таблице:

Таблица 2

Номера классов	Классовые интервалы	Серединные значения классов	Частоты	Накопленные частоты
1	6-11	8,5	4	4
2	11-16	13,5	3	7
3	16-21	18,5	7	14
4	21-26	23,5	8	22
5	26-31	28,5	5	27
6	31-36	33,5	3	30

График, называемый гистограммой получается, если в прямоугольной системе координат отложить по оси абсцисс границы классов, а по оси ординат их частоты.

Если серединные точки вершин прямоугольников гистограммы соединить между собой, получится график дискретного варьирования, называемый полигоном распределения.

1.2. Мода распределения – это наиболее часто встречающееся значение ряда.

3. Среднее арифметическое распределения находится по формуле х_ср= (х₁+х₂+х₃+ …+х_n)/n

4. Дисперсия распределения находится по формуле:

D=

1.5. Стандартное отклонение S=

Пример расчета рангового коэффициента корреляции

Пусть при исследовании десяти человек получены следующие показатели Х и Y. Выясним, существует ли между ними связь. Для этого подсчитаем ранговый коэффициент корреляции и дадим его графическую интерпретацию.

Таблица 3

Х	Y
175	2
176	3
179	8
180	9
181	6
184	7
185	13
186	11
191	10
192	12

Найдем ранг (порядковый номер по убыванию) каждого из значений х и у: R_xиR_y, затем найдем разности соответствующих ранговd, возведем их в квадрат, получим ряд значенийd². Если значения одинаковые, то приписывается промежуточный средний ранг, например, 6,5.

Просуммируем их и подставим в формулу:

r_s=1-.

Таблица 4

№	X	Y	Rx	Ry	|d|	d2
1	175	2	1	1	0	0
2	176	3	2	2	0	0
3	179	8	3	5	2	4
4	180	9	4	6	2	4
5	181	6	5	3	2	4
6	184	7	6	4	2	4
7	185	13	7	10	3	9
8	186	11	8	8	0	0
9	191	10	9	7	2	4
10	192	12	10	9	1	1
Сумма:						30

В нашем случае: r_s=1-=0,81.

Оценим значимость коэффициента корреляции

t_факт.==3,92.

По таблице 5 Приложения 2 определяем, что для уровня значимости р=0,05 t_крит.=2,31. Следовательно, вычисленный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и между показателями х и у наблюдается линейная связь выше среднего.

Для графической интерпретации по оси х откладываются значения признака х, по оси у – значения признака у.

рис.6. Графическая интерпретация коэффициента корреляции.

По значению коэффициента корреляции и графической интерпретации можем сказать, что между признаками х и у есть средняя прямая связь.

Пример расчета показателей рядов динамики

Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней, к таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.

Система средних показателей включает средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Показатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменных базах сравнения. При этом принято называть сравниваемый уровень отчетным, а уровень, с которым производится сравнение, ‑ базисным. Для расчета показателей анализа динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается либо начальный уровень в ряду динамики, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели анализа динамики называются цепными.

Важнейшим статистическим показателем анализа динамики является абсолютное изменение ‑ абсолютный прирост (сокращение).

Абсолютный прирост характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста.

Абсолютный прирост Абсолютный прирост

(цепной): (базисный):

где у_i ‑ уровень сравниваемого периода; у_i-1 ‑ уровень предшествующего периода; у₀ ‑ уровень базисного периода.

Цепные и базисные абсолютные приросты представлены в табл. 5. Они показывают прирост (сокращение) производства электроэнергии по годам и абсолютное изменение по сравнению с 1989г.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному, т.е. общему приросту за весь промежуток времени:

.

По данным табл. 5 сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному приросту за весь период, млрд кВт.ч: Таблица 5

Динамика производства электроэнергии в Российской Федерации

Год	Млрд кВт.ч	Абсолютный прирост, млрд. кВт.ч		Темпы роста		Темпы прироста, %
		= =	= =			= =	= =
		1	2	3	4	5	6
1989 1990 1991 1992 1993 1994	1077 1082 1068 1008 957 876	‑‑ 5 ‑14 ‑60 ‑51 ‑81	‑‑ 5 9 ‑69 ‑120 ‑201	‑‑ 100,5 98,7 94,4 94,9 91,5	‑‑ 100,5 99,2 93,6 88,9 81,3	‑‑ 0,5 ‑1,3 ‑5,6 ‑5,1 ‑8,5	‑‑ 0,5 -0,8 ‑6,4 ‑11,1 ‑18,7
Итого 6068 =‑201 ‑ П=0,813 ‑ ‑ ‑
Примечание: В графе 1 – сравнение с уровнем предшествующего года; в графе 2 – с уровнем 1989г.

= 5 – 14 – 60 – 51 – 81 = ‑ 201.

Для характеристики интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени исчисляют темпы роста (снижения).

Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчетного уровня к базисному.

Показатель интенсивности изменения уровня ряда, выраженный в долях единицы, называется коэффициентом роста, а в процентах -темпом роста. Эти показатели интенсивности изменения отличаются только единицами измерения.

Коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть уровня, с которым производится сравнение, составляет сравниваемый уровень (если он меньше единицы). Темп роста всегда представляет собой положительное число.

Коэффициент роста Коэффициент роста

(цепной): (базисный):

Темп роста Темп роста

(цепной): (базисный):

Итак, Т_р = К_р * 100.

Цепные и базисные коэффициенты роста, характеризующие интенсивность изменения производства электроэнергии в России по годам, и за весь период исчислены в табл. 5. Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь (если базисные коэффициенты исчислены по отношению к начальному уровню ряда динамики): произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь период,а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.

Взаимосвязь легко проверить:

.

Проверим взаимосвязь цепных и базисных темпов роста на нашем примере: П = 1,005 * 0,987 * 0,944 * 0,949 * 0,915 = 0,813.

Относительную оценку скорости измерения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).

Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения и вычисляется как отношение абсолютного прироста к абсолютному уровню, принятому за базу сравнения.

Темп прироста может быть положительным, отрицательным или равным нулю, выражается он в процентах и долях единицы (коэффициенты прироста).

Темп прироста Темп прироста

(цепной): (базисный):

; .

Темп прироста (сокращения) можно получить и из темпа роста, выраженного в процентах, если из него вычесть 100%. Коэффициент прироста получается вычитанием единицы из коэффициента роста:

Т_пр = Т_р – 100; К_пр = К_р – 1.

Цепные и базисные темпы прироста (сокращения) производства электроэнергии исчислены в табл. 5.