81

Остается признать, что VР 0 , то есть точка Р – мгновенный центр скоростей

тела.

Возьмем точку Р за полюс. Скорость точки А

VA VP VAP VAP ; VA VAP AP ,

откуда VAPA (угловая скорость тела).

Скорость точки В

Итак, скорость любой точки тела равна ее скорости во вращательном движении вместе с телом вокруг мгновенного центра скоростей. Скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Глава 2.4. Сложное движение точки

2.4.1.Составные части сложного движения точки

В ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным рассматривать движение точки по отношению к двум системам координат, одна из которых считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Рассмотрим движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе координат Ах1у1z1 , которая, в свою очередь движется относительно системы координат Охуz, условно принятой за неподвижную (рис. 2.20).

82

Рис. 2.20

Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе координат Ах1у1z1 , называется относительным движением.

Траектория ДС, описываемая точкой М в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость движения точки М по отношению к подвижной системе координат Ах1у1z1 называется относительной скоростью, а ускорение – относительным ускорением.

Движение, совершаемое подвижной системой координат Ах1у1z1 и всеми неизменно связанными с ней точками по отношению к неподвижной системе координат Охуz , называется переносным движением.

Скорость точки М* подвижной системы координат Ах1у1z1 , с которой в данный момент совпадает точка М, называется переносной скоростью точки М, а ее ускорение – переносным ускорением.

Движение, совершаемое точкой М по отношению к неподвижной системе координат Охуz , называется абсолютным или сложным. Траектория ВС точки в этом движении называется абсолютной траекторией, а скорость и ускорение – абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.

83

2.4.2.Теорема о сложении скоростей точки в сложном движении

Теорема. При сложном движении точки ее абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство. Пусть точка М движется по отношению к подвижной системе координат Ах1у1z1 , которая, в свою очередь, движется произвольным образом по отношению к неподвижной системе координат Охуz (рис. 2.21).

Рис. 2.21

Движение подвижной системы координат Ах1у1z1 определяется радиусвектором rA точки А и направлением единичных векторов i , j, k .

Относительный радиус-вектор точки М

x1i y1 j z1k ,

где х1 , у1 , z1 – координаты точки М1 в подвижной системе координат.

Абсолютный радиус-вектор точки М r rA rA x1i y1 j z1k

Найдем абсолютную скорость взятой точки

V ddtr dtd rA xi yj zk VOTH VПЕР ,

84

где VOTH и VПЕР - относительная и переносная скорость точки.

Переносная скорость точки (координаты х1, у1, z1 не изменяются)

VПЕР ddtrA x1 ddti y1 dtdj z1 ddtk .

выражает собой теорему о сложении скоростей точки в сложном движении. 2.4.3.Теорема о сложном ускорении точки в сложном движении

Теорема. При сложном движении точки ее абсолютное ускорение равно геометрической сумме относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса

Ах1у1z1 считается неподвижной, а точка М движется по отношению к этой системе.

При вычислении апер и Vпер делается предположение о том, что точка М покоится по отношению к подвижной системе координат Ах1у1z1 и перемещается вместе с ней по отношению к неподвижной системе координат Охуz .

Ускорение Кориолиса определяется по формуле

где – вектор мгновенной угловой скорости вращения подвижной системы координат вокруг мгновенной оси вращения АР (рис. 2.21).

Величину и направление ускорения Кориолиса можно найти с помощью определения векторного произведения двух векторов.

85

В движущейся точке М построим вектор, равный вектору мгновенной скорости вращения подвижной системы координат, а затем выполним построение вектора акор , являющегося векторным произведением векторов 2 и VOTH (рис. 2.22).

Рис. 2.22

Вектор акор перпендикулярен к плоскости, содержащей векторы 2 и

VOTH . Вектор акор направлен в ту сторону, откуда переход вращением от вектора 2 к вектору VOTH на наименьший угол виден происходящим против

хода часовой стрелки.

Величина вектора ускорения Кориолиса определяется по формуле (рис. 2.22)

Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих трех случаях:

а) При поступательном переносном движении подвижной системы координат Ах1у1z1 , когда = 0 (в течение всего времени движения точки или в данный момент).

б) Когда вектор относительной скорости точки в течение всего времени ее движения или в данный момент параллелен вектору (VOTH || ).

в) Когда относительная скорость точки в данный момент времени равна нулю (VOTH = 0).