9

Введение

Теоретическая механика – это наука о наиболее общих законах движения и равновесия материальных тел.

Движение, понимаемое в самом широком смысле этого слова, охватывает собой все происходящие в мире явления – перемещения тел в пространстве, тепловые и химические процессы, сознание и мышление.

Теоретическая механика изучает простейшую форму движения – механическое движение. "Кто не знаком с законами движения, тот не может познать природы" (Галилео Галилей).

Так как состояние равновесия есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел.

Основная цель механики – открытие, изучение и практическое применение общих законов движения и равновесия материальных тел.

Механика – одна из древнейших наук. Она возникла и развивалась под влиянием запросов общественной практики, а также благодаря любознательности человеческого разума. Рождение механики произошло одновременно с изобретением, изготовлением и применением человеком первых древнейших орудий труда – рычага, наклонной плоскости, блока, клина, винта, веревки. Эти простейшие орудия сыграли роль научных методов, послуживших средством доказательства важнейших теорем и принципов механики. Архимедом (287 – 212 гг до новой эры) было обнаружено, что законы равновесия различных машин можно свести к равновесию рычага. Голландский ученый Стевин (1548 – 1620 гг) с помощью наклонной плоскости открыл закон параллелограмма сил. Лагранж (1736 – 1833 гг) использует систему блоков для доказательства основного принципа статики – принципа возможных перемещений. Равновесие веревки и веревочного многоугольника под действием сил послужило основой для создания графостатики, с помощью которой были выполнены многие расчеты стержневых

10

систем. Таким образом, эти простейшие орудия, предназначенные для поднятия тяжестей, оказались средствами абстрактного научного мышления.

Теоретическая механика относится к числу физико-математических дисциплин. Законы механики носят физический характер.

Рабочими инструментами механики служат различные математические методы. Многие математики внесли существенный вклад в развитие механики.

Теоретическая механика является научной основой целого ряда инженерных дисциплин – сопротивления материалов, теории механизмов и машин, статики и динамики сооружений, строительной механики, деталей машин и других.

Теоретическая механика служит научной базой целого ряда важнейших направлений современной техники, включая железнодорожный транспорт. На законах механики основаны расчеты самых разнообразных сооружений и машин (здания, мосты, тоннели, насыпи; локомотивы, железнодорожные вагоны, железнодорожные краны и т.д.).

Критерием достоверности результатов, к которым приходит любая наука, является практика. В этом отношении механика не представляет исключения. Производство, современная техника все чаще и чаще выдвигает перед наукой весьма сложные проблемы, разрешение которых возможно только на основании точного эксперимента и глубоких теоретических исследований.

Знание теоретической механики как научной базы современной техники совершенно необходимо каждому инженеру, в том числе инженеру железнодорожного транспорта.

Теоретическая механика направляет творческую энергию ученых и инженеров, давая им в краткой и ясной форме итог колоссального опыта человечества.

Развитие современной науки и техники указывает на все возрастающее значение теоретической механики.

Цель изучения теоретической механики – овладеть ее понятиями, законами и принципами, показать эффективность ее методов при решении сложных задач,

11

поставленных наукой и техникой; повысить уровень механико-математической подготовки студентов.

При изучении курса студент должен овладеть терминологией, основными теоремами и положениями, навыками их практического применения к решению задач и к анализу конкретных механических процессов на железнодорожном транспорте, в строительстве, в различных машинах, механизмах и т.д.

Теоретическую механику, как и математику, невозможно изучить без решения задач. Методами решения задач являются уравнения, законы, теоремы и принципы теоретической механики. Каждую задачу следует рассматривать как небольшую научно-исследовательскую работу.

Таким образом, изучение курса требует от студента не только работы с учебником и конспектом лекций для изучения теории, но и систематического решения задач и выполнения домашних контрольных работ. При добросовестном отношении к выполнению домашних контрольных работ студент практически гарантируется от провала на зачете и экзамене, получает прочные знания по предмету, преобретает интерес к самостоятельной работе.

Теоретическая механика состоит из трех разделовстатики, кинематики и динамики.

Статика есть учение о силах. Статика рассматривает общие свойства сил и законы их сложения, а также условия равновесия различных систем сил.

Кинематика есть учение о движении материальных тел с геометрической стороны без учета физических причин, вызывающих движение.

Динамика есть учение о движении материальных тел под действием приложенных сил.

Авторам хочется думать и они надеются, что настоящее учебное пособие окажется полезным для студентов второго курса механических специальностей, изучающих теоретическую механику.

Рисунки к лекциям выполнены профессором Капрановым И.В.

12

Ча с т ь 1 С Т А Т И К А

1.1.1Основные понятия и определения

Чтобы изучить те или иные стороны какого-либо явления природы, в науке используют абстракции, сосредотачивая внимание на самых существенных сторонах явления, отбрасывая второстепенные стороны.

Все понятия механики возникли в результате многовековых опытов и наблюдений над явлениями природы с последующим абстрактным обобщением.

К числу абстракций относятся понятия материальной точки, абсолютно твердого тела, силы и т.д.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, в котором расстояние между любыми его точками остается постоянным.

Другими словами, абсолютно твердое тело сохраняет неизменной свою геометрическую форму (не деформируется).

Твердое тело называется свободным, если его можно переместить из данного положения в любое другое положение. Твердое тело называется несвободным, если его перемещению препятствуют другие тела.

Под силой понимается действие одного тела на другое, выражающееся в виде давления, притяжения или отталкивания.

Сила – это мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия.

Примером силы служит сила тяжести. Это сила, с которой тело притягивается Землей, в результате которого несвободное тело оказывает на свою опору давление (статическое действие силы), а будучи свободным – падает на Землю с ускорением g = 9,81 М/с2 (динамическое действие силы).

13

Сила – векторная величина. Она характеризуется точкой приложения, линией действия, направлением вдоль линии действия и своей величиной или численным значением (модулем).

Для силы F имеем (рис. 1.1): А – точка приложения; аb – линия действия; направление силы вдоль этой линии от А к В (указывается стрелкой);

F = АВ– величина (модуль) силы.

Рис. 1.1

Силы будем изображать буквами F , P,Q , S и т.д. с черточками наверху. Величины этих сил изображаются теми же буквами, но без черточек наверху –

F, P,Q, S и т.д.

Совокупность сил, приложенных к телу, называется системой сил.

Две системы сил называются эквивалентными, если они оказывают на все точки тела одно и тоже действие.

Если под действием системы сил твердое тело остается в покое или совершает инерциальное движение (все точки тела движутся прямолинейно с постоянной и одинаковой для всех точек скоростью), то такое состояние тела называется состоянием равновесия, а приложенная система сил называется уравновешенной.

Если к данному телу приложена уравновешенная система сил, то говорят также, что эти силы находятся в равновесии.

Уравновешенная система сил называется еще статически эквивалентной нулю.

Сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей силой.

14

Силы, действующие на тело со стороны других тел, называются внешними силами.

Силы взаимодействия между частицами называются внутренними силами. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, называется

сосредоточенной силой.

Силы, действующие на все точки данного объема, поверхности или линии,

называются распределенными силами.

1.1.2Аксиомы статики

Воснове статики лежат несколько аксиом или положений, подтвержденных опытом и поэтому принимаемых без доказательства.

Аксиома 1 (о равновесии двух сил, приложенных к твердому телу)

Для равновесия двух сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны и противоположны, а также имели общую линию действия (рис. 1.2)

Рис. 1.2

Аксиома 2 (о присоединении или отбрасывании уравновешенной системы сил)

Не изменяя действия данной системы сил, можно прибавить к этой системе или отнять от нее любую уравновешивающую систему сил.

15

Аксиома 3 (закон параллелограмма)

Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке тела под углом друг к другу, выражается по величине и по направлению диагональю параллелограмма, построенного на заданных силах (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Величина равнодействующей силы и ее направление определяются соответственно по теореме косинусов и по теореме синусов

R F12 F22 2F1 F2 cos F1 ,^ F2 ;

Аксиома 4 (о равенстве сил действия и противодействия)

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равнопротивоположны и имеют общую линию действия (рис. 1.4)

FA FA

Силы FA и FA не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к различным телам.

Рис. 1.4

Таким образом, в природе силы встречаются по две-силы действия и противодействия.

16

Аксиома 5 (о независимости действия сил)

Если на твердое тело действует несколько сил, то каждая сила действует отдельно и независимо от других.

Аксиома 6 (о затвердевании деформируемого тела)

Если деформируемое тело под действием данной системы сил находится в равновесии, то равновесие не нарушится, если это тело затвердеет, то есть станет абсолютно твердым.

Из этой аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, необходимы и для равновесия деформируемого тела. Заметим, что эти условия равновесия сил для деформируемого тела не являются достаточными.

Сформулированные аксиомы и являются той основой, на которой строится вся статика сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

17

1.3 Связи и реакции связей. Аксиома об освобождаемости от связей.

При решении задач статики изучают несвободные твердые тела, которые соединены с другими твердыми телами или соприкасаются с ними.

Твердые или гибкие тела, которые препятствуют свободному перемещению данного тела в пространстве, называются связями.

Действие связи на тело эквивалентно действию силы на тело.

Сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией связи. Реакции связей называют еще пассивными силами. Силы, которые могут

вызвать движение тела после освобождения его от связей, называются

активными силами.

В статике рассматривают условия равновесия свободных тел. Чтобы применить их к несвободным телам, надо воспользоваться аксиомой освобождаемости от связей.

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если освободить его от связей и приложить к нему реакции связей (аксиома связей или принцип освобождаемости от связей).

Пусть, например, лампа весом Р подвешена к потолку при помощи нити АВ рис. 1.5.

Рис. 1.5

Нить АВ препятствует падению лампы на пол и, следовательно, является для лампы связью. Нить оказывает на лампу такое же действие, как и сила. Эта сила

18

Т, направленная по нити, и есть реакция (натяжение) нити (рис.5б). Заметим, что

ТР в соответствии с первой аксиомой статики.

1.4Простейшие типы связей и их реакции.

1.4.1Связь, осуществляемая посредством гладкой поверхности и плоскости. Тело опирается на гладкую поверхность в точке А (рис. 1.6а) .

Рис. 1.6

Реакция опорной поверхности N A приложена к телу в точке А и направлена по нормали к этой поверхности (рис. 1.6б). Поэтому сила N A называется нормальной реакцией.

К указанному типу связи относится так называемый подвижной каток (рис. 1.7а).

Рис. 1.7

В этом случае балка или ферма своим концом В опирается на цилиндрический каток. Реакция подвижного катка RB приложена к балке в точке В и направлена по нормали к опорной поверхности, по которой могут катиться катки(рис. 1.7б) .

1.1.4.2 Связь, осуществляемая посредством шарниров а) Цилиндрический шарнир (подшипник).

19

На болт надевается стержень, имеющий отверстие, диаметр которого несколько больше диаметра болта (рис. 1.8а).

Рис. 1.8

Стержень может вращаться вокруг оси болта (оси шарнира). Реакция цилиндрического шарнира RО лежит в плоскости, перпендикулярной к его оси О,

ипроходит через эту ось (рис.1.8б). Направление реакции RО заранее неизвестно

иопределяется при решении задачи.

б) Сферический шарнир (подпятник).

Стержень имеет на одном конце шаровую поверхность, которая укрепляется в опоре (рис. 1.9а).

Он может вращаться вокруг точки О – центра сферического шарнира. Реакция сферического шарнира RО проходит через его центр, причем ее направление заранее неизвестно и определяется при решении задачи (рис. 1.9б).

Рис. 1.9

1.4.3 Связь, осуществляемая посредством невесомого стержня с шарнирами на концах

Тело в точке А шарнирно соединено с невесомым стержнем АВ (рис. 1.10а).

20

Рис. 1.10

Реакция стержня S A направлена вдоль стержня (рис. 1.10б). Направление этой реакции заранее неизвестно и определяется при решении задачи.

1.4.4 Связь, осуществляемая посредством гибких тел (веревок, тросов, канатов, нитей и т.д.)

Тело подвешено на тросах АА1 и ВВ1 (рис. 1.11а).

Рис. 1.11

Реакция тросов ТА и ТВ называются натяжениями тросов. Они приложены к точкам А и В крепления тросов к телу и направлены вдоль тросов (рис. 1.11б). Так как тросы работают только на растяжение, то мы можем указать и направления реакций ТА и ТВ .

1.2.Сила и характеристики ее действия.

1.2.1Проекция силы на ось

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы на эту ось.

21

Рис. 1.12

Fx AB ab F cos ; (Рис.12а) Fx AB ab F cos F cos ;

180 ; cos cos . (Рис. 1.12б)

Проекции силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Для любого случая расположения силы относительно оси величина и знак проекции на ось определяется формулой

Прl F F cos(F ,^ l) F cos ,

где F ,^ l - угол между вектором силы F и положительным направлением оси l.

Проекция силы на ось равна произведению величины (модуля) силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

1.2.2 Проекция силы на плоскость Проекцией силы на плоскость называется вектор, заключенный между

проекциями начала и конца силы на эту плоскость.

В отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная. На (рис 1.13) Fху - проекция силы на плоскость Оху, причем Fху F cos , F , Fxy

23

Момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть плоскость, проходящую через линию ее действия и моментную точку, против часовой стрелки. В противном случае этот момент будет отрицательным.

1.2.5 Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат

Рис. 1.15

. На рис 1.15 в точке А (х,у,z) приложена силы F . Разложим эту силу

на составляющие вдоль осей координат F Fх Fу Fz и вычислим ее моменты относительно этих осей. В результате получим

Полученные формулы представляют собой аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.

1.2.6 Векторный момент силы относительно точки Векторным моментом силы относительно точки называется вектор, проекции

которого на оси координат равны соответствующим моментам силы относительно осей координат

24

где i , j,k -единичные векторы осей координат рис. 1.15.

1.3. Пара сил и характеристики ее действия 1.3.1 Пара сил. Момент пары

Парой сил или просто парой называется система двух равнопротивоположных сил, имеющих несовпадающие между собой линии действия рис. 1.16

Рис. 1.16

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары.

Плоскость, в которой лежат силы пары, называется плоскостью действия пары.

Сумма сил пары равна нулю F F 0 . Это означает, что пара сил не оказывает тягового (сдвигающего) действия на твердое тело.

Действие, оказываемое парой на тело, нельзя заменить действием одной силы. Следовательно, пара сил не имеет равнодействующей.

25

Пара сил является неприводимым, неупрощаемым элементом механики и наряду с силой представляет собой самостоятельную меру механического взаимодействия тел.

Моментом пары называется момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы

m F , F mA F mA F Fd ,

где d – плечо пары.

Момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению силы пары на ее плечо.

Момент пары численно равен площади параллелограмма, построенного на силах пары

m F , F площ.паралл.АВА В Fd .

Этот момент считается положительным, если силы пары стремятся повернуть ее плоскость действия против часовой стрелки. В противном случае момент пары будет отрицательным.

1.3.2. Теорема о моменте пары. Элементарные операции над парами Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки не

зависит от выбора точки и равна моменту пары.

Вычислим сумму моментов сил пары относительно произвольной точки О

(рис.16).

m0 (F ) m0 (F ) Fl F (d l) Fd m(F , F ) ,

где О – произвольная точка плоскости действия пары.

Таким образом, пара сил оказывает на любую точку одно и тоже вращательное действие, выражаемое моментом пары.

Над парой сил можно выполнять следующие элементарные операции: а) перенос и произвольный поворот пары сил в плоскости ее действия; б) перенос пары сил в любую другую плоскость;

в) изменение величины сил пары и ее плеча при условии сохранения момента и плоскости действия пары.

27

Проекция главного вектора на оси координат, его величина и направление в пространстве определяются по формулам:

Величина (модуль) главного вектора и углы, которые этот вектор образует с осями координат, определяются по формулам

1.4.2 Главный момент системы сил относительно точки и оси

Главным моментом системы сил относительно точки (центра) называется сумма векторных моментов всех сил относительно этой точки

M 0 m0 F1 m0 F2 ... m0 Fn n m0 FK .

K 1

Проекции главного момента на оси координат, его величина и направление в пространстве находятся по формулам

где О- начало системы координат Oxyz

Главным моментом плоской системы сил относительно точки называется сумма моментов всех сил системы относительно этой точки.

М0 m0 (F1 ) m0 (F2 ) ... m0 (Fn ) m0 (Fn ).

1.4.3Характеристики действия произвольной системы сил

Выясним физический смысл векторных величин R и М0 - характеристик (компонентов) действия системы сил. Главный вектор системы сил характеризует величину и направление тягового (сдвигающего) действия системы сил на

28

твердое тело, а его проекции на оси координат – величину и направление этого действия вдоль осей координат. Главный векторный момент системы сил относительно точки (центра) характеризует величину и направление вращательного действия системы сил относительно взятой точки, а его проекции на оси координат – величину и направление вращательного действия вокруг осей координат с началом в данной точке.

Главный момент плоской системы сил относительно точки характеризует также величину и направление вращательного действия системы сил относительно взятой точки.

1.4.4 Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Пусть мы имеем произвольную пространственную систему сил F1 , F2 ,..., Fn .

Вычислим главные векторы R и М0 , характеризующие действие этой системы сил на твердое тело.

Если R 0, то система сил на твердое тело никакого тягового (сдвигающего) действия не оказывает. При М0 0 система сил никакого вращательного действия относительно произвольной точки О не оказывает.

В случае выполнения условий R 0 и М0 0 твердое тело находится в равновесии, а приложенная к нему система сил является уравновешенной.

Условия равновесия любой системы сил в векторной форме имеют вид:

R 0 и М0 0 . (1.1)

В проекциях на оси координат с помощью (1.3.1) получаем условия равновесия любой системы сил в аналитической форме:

29

1.4.5Условия равновесия частных систем сил

1.4.5.1Пространственная система параллельных сил

Пусть все силы параллельны оси Ох. Это означает, что R (Rx ,0,0) и

M o (0, M y , M z ) .

Для условий равновесия этой системы сил получаем

1.4.5.2Пространственная система сходящихся сил

Усходящихся системы сил линии действия всех сил пересекаются в одной точке, называемой точкой схода. Пусть О – точка схода этой системы сил (начало

координат). Тогда R (Rx , Rу , Rz ) и M o (0,0,0) .

Условия равновесия имеют вид:

1.4.5.4 Плоская система параллельных сил Пусть все силы лежат в плоскости Оху и параллельны оси Ох. Тогда

R (Rx ,0,0) и M o (0,0, M z ) . В данном случае получаем

30

1.4.5.5 Плоская система сходящихся сил Пусть все силы лежат в плоскости Оху и О – точка схода сил. Тогда

R (Rx , Rу ,0) и M o (0,0,0) .

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил имеют вид

31 1.5.Центр системы параллельных связанных сил и центр тяжести твердого

тела.

1.5.1О двух математических моделях силы.

Встатике применяются две математические модели силы – в виде скользящего и в виде связанного вектора.

Цель применения математической модели силы в виде скользящего вектора состоит в упрощении операций с силами при преобразовании систем сил в тех задачах, где перенос сил по линиям их действия не влияет на их решение. К таким задачам прежде всего относится задача об определении условий равновесия свободного твердого тела. В случае переноса сил по линиям действия равновесие тела не нарушится, так как главный вектор и главный момент системы сил относительно произвольной точки не изменяются и остаются равными нулю.

Встатике есть такие задачи, в которых силу нельзя отображать скользящим вектором. Это прежде всего задача об определении положения центра тяжести твердого тела. Сила тяжести материальной частицы приложена к этой частице и

ееникуда нельзя переносить. При определении центра тяжести тела следует учитывать не только величину и направление сил тяжести его частиц, но и положение самих частиц, то есть точек приложения этих сил.

Вмеханике деформируемого тела силу относят к категории связанных векторов.

1.5.2Центр системы параллельных связанных сил

Будем считать все силы связанными векторами. Напомним, что связанный вектор приложен к данной точке и его никуда нельзя переносить.

Система параллельных сил имеет равнодействующую, равную главному вектору.

Центром системы параллельных сил называется точка, через которую проходит линия действия равнодействующей при любых поворотах сил

33

где RC FK ; представляет равнодействующую этой системы сил.

1.5.3 Центр тяжести твердого тела и его координаты

На любую частицу твердого тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует направленная по вертикали вниз сила, называемая силой тяжести. Для тел, размеры которого малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести его частиц можно считать параллельными друг другу и сохраняющими постоянную величину при любых поворотах тела .

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести отдельных частиц.

Сила тяжести тела есть равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела.

Будем считать твердое тело пластинкой или плоской конструкцией, лежащей в плоскости Оху.

Координаты центра тяжести, как центра системы параллельных сил, определяются по формулам

где рК – сила тяжести к-ой частицы тела; Р – сила тяжести всего тела, причем Р рК .

1.5.4 Центр тяжести однородного твердого тела Если тело однородное, то положение центра тяжести твердого тела не

зависит от вещества тела, а зависит лишь от его геометрической формы. а) Тело в виде плоской фигуры

Для этого случая получаем рК = γS sК, Р = γS S,

35

фигуру на нити в какой-нибудь другой точке В и отметим вертикаль ВВ1. Точка С пересечения прямых АА1 и ВВ1 есть центр тяжести фигуры (рис. 1.20б).

Другим опытным путем определения центра тяжести является способ взвешивания. Тело сначала взвешивается, а затем одним концом подвешивается на нити, причем другой конец кладется на площадку весов К Рис. 1.21. Весы показывают величину давления на эту площадку или величину нормальной ее реакции N. Длина l измеряется.

Рис. 1.21

Положение центра тяжести определяется из уравнения равновесия тела

где G – вес тела.

1.5.5.2 Симметрия Если однородное тело имеет центр симметрии или ось симметрии, то центр

тяжести тела лежит соответственно в центре симметрии или на оси симметрии.

1.5.5.3 Разбиение Положение центра тяжести тела сложной формы определяется после

разбиения его на простейшие части, центры тяжести которых известны.

1.5.5.4 Дополнение (метод отрицательных масс)

Этот случай является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим пустые полости, в которых нет массы. Центр тяжести тела с полостями можно определить, если известен центр тяжести тела без полостей и центры тяжести заполненных полостей.

36

1.5.5.5 Интегрирование Если однородное тело разделить на частицы с бесконечно малой площадью

или длиной, то из ранее полученных формул можно получить путем замены сумм интегралами следующие формулы

Этот способ используется для однородных тел, имеющих правильную геометрическую форму. Центры тяжести некоторых однородных тел даны в таблице 1.1.

38

1.6.Трение скольжения и трение качения

1.6.1.Предварительные замечания

Трением называется сопротивление возможному или действительному перемещению соприкасающихся тел, возникающее в месте их соприкосновения.

По кинематическим признакам различают трение скольжения и трение качения (трение 1-го и 2-го рода).

Трение подошв человека о землю, на чем основана возможность его передвижения, является примером трения скольжения. Примером трения качения является трение при перекатывании колес вагона по рельсам.

Многие обычные способы передвижения были бы совершенно невозможны при отсутствии трения.

Трение – следствие многих причин, но основными из них являются две. Вопервых, поверхности тел всегда неровны, и зазубрины одной поверхности цепляются за шероховатости другой. Это так называемое геометрическое трение. Во-вторых, трущиеся тела близко соприкасаются друг с другом, и на их движение оказывает влияние взаимодействие молекул (молекулярное трение).

1.6.2 Законы Кулона

Шарль Кулон (1736 – 1806) установил основные приближенные законы для сухого трения скольжения при покое. Эти законы справедливы, когда поверхности тел не вдавливались друг в друга, а их шероховатость была не слишком велика.

Законы Кулона можно установить с помощью прибора, схема которого дана на рис. 1.22.

39

Рис. 1.22

На этом приборе, изменяя вес тела Р, можно изменить нормальное давление между трущимися плоскостями. Изменяя же вес гири Q можно изменять тяговую (сдвигающую) силу Т (Т = Q), которая стремится двигать тело вдоль горизонтальной поверхности другого тела, являющегося связью.

Если силу Т увеличивать, то по условию равновесия возникает сила трения Fтр , причем FTP T . Можно достичь положения, когда сила Т выведет тело из равновесия и оно будет скользить по горизонтальной плоскости. В предельном положении равновесия сила трения становится максимальной и не может уравновесить силу Т при ее дальнейшем увеличении.

Сформулируем законы Кулона для трения скольжения.

Первый закон. Сила трения скольжения равна сдвигающей силе и заключена между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия.

.(условие отсутствия скольжения тела); Второй закон. Максимальная сила трения скольжения при прочих условиях

не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей.

Из этого закона следует, что для того, чтобы сдвинуть, например, кирпич, надо приложить одну и ту же силу независимо от того, какой гранью он положен на поверхность – широкой или узкой.

Третий закон. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления тела на опорную поверхность

= f N (условие начала скольжения тела);

N P ; N = Р,

где N - нормальная реакция опорной поверхности; P давления тела на эту поверхность (вес тела).

Безразмерный коэффициент f называют коэффициентом трения скольжения или коэффициентом трения 1-го рода.

Четвертый закон. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей (степени шероховатости, влажности, температуры и других условий).

Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий устанавливается экспериментально.

Приведем значения коэффициента трения скольжения для некоторых материалов

Указанные выше данные содержат лишь приближенную оценку коэффициентов трения скольжения и поэтому пригодны лишь для приближенных технических расчетов.

Законы Кулона приближенно справедливы при скольжении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью. При этом коэффициент трения зависит от относительной скорости скольжения. Для большинства материалов он уменьшается с увеличением этой скорости. В приближенных технических расчетах обычно считают, что коэффициент трения скольжения не зависит от относительной скорости скольжения тела.

41

1.6.3 Угол и конус трения Если твердое под действием внешних сил тело находится на шероховатой

поверхности в предельном состоянии равновесия, когда сила трения достигает своего максимального значения Fтр =Fтр/мах при данном значении реакции (рис. 1.23).

Рис. 1.23

В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол = тр . Угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции, называется углом трения.

тр (Rmax , N ); Rmax Fтр/ max N

равен коэффициенту трения, tg тр f .Конус с вершиной в точке приложения нормальной реакции шероховатой поверхности, образующая которого составляет угол трения с этой нормальной реакцией, называется углом трения. Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения круговой.

Конус трения интересен тем, что ограниченная им область определяет область равновесия тела. Если линия действия равнодействующих активных сил проходит внутри конуса трения, то эта сила не сдвигает тело, как бы она ни была велика. Если же линия действия равнодействующих активных сил расположена вне конуса трения, то эта сила сдвинет тело, как бы мала она не была.

42

1.6.4 Трение качения

Если тело имеет форму цилиндрического катка и под действием активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте их соприкосновения возникают силы реакции, препятствующие как скольжению, так и качению катка. Примерами таких катков являются различные колеса, например, колеса локомотивов, электровозов, вагонов, автомашин и т. д. (Рис. 1.24)

Рис. 1.24

Пусть к оси катка веса Р, находящегося на горизонтальной плоскости, приложена горизонтальная сила Т . Соприкосновение катка с плоскостью изза их деформации происходит не вдоль образующей цилиндра, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке ВС. Точка приложения реакций N и FTP будет находиться в некоторой точке Е этой площадки.

Из условий равновесия катка имеем

Т FTP 0 ; N P 0 ; N Tr 0 .

На каток действуют две уравновешенные пары сил Т, FTP , N , P ~ 0. Пара T , FTP стремится привести каток в движение; пара N , P препятствует

движению.

Момент пары P, N называется моментом сопротивления качению. Установлены следующие приближенные законы трения качения:

43

Первый закон. Максимальный момент пары сил, препятствующий качению, в широких пределах не зависит от радиуса катка.

Второй закон. Максимальный момент сопротивления качению пропорционален силе нормального давления катка на опорную плоскость и достигается в момент выхода катка из положения равновесия

Ммах = N·δ ; δ = δмах .(условие начала качения катка). Коэффициент δ называют коэффициентом трения качения или

коэффициентом трения 2-го рода. Он имеет размерность длины.

Коэффициент трения качения равен плечу пары сопротивления качению при предельном равновесии катка .

Третий закон. Коэффициент трения качения зависит от материала катка, опорной плоскости, а также от физического состояния их поверхностей.

В момент начала качения катка (выхода катка из положения равновесия)

Т = Тмах ; δ = δмах ; N·δмах – Тмах ·r = 0 ; N = Р.

Коэффициент трения качения устанавливается экспериментально. Приведем значения коэффициентов трения качения для некоторых

материалов:

Коэффициент трения качения при качении можно считать не зависящим от угловой скорости катка и его скорости скольжения по плоскости.

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформируемых материалов катка и плоскости.

Вычислим тяговую силу, необходимую для начала скольжения тела и для начала качения катка радиуса r одинакового веса Р по горизонтальной плоскости

ТСК ТМАХСК fN fP ;

требуется значительно меньшая сила, чем для начала скольжения тела одинакового веса по горизонтальной плоскости. С точки зрения затрат энергии выгодно скольжение заменять качением. Изобретение колеса примерно 5000 лет назад явилось огромным достижением человечества по пути борьбы с трением.

45

1.7. Решение задач по статике

Задача 1.1 (рис. 1.25а)

Найти реакции связей изогнутой балки АВС, находящейся под действием плоской системы сил . Вычисление реакций выполнить при a = 1,2 м, b = 2,4 м, l = 1,8 м, α = 30o, P1 = 8 кН, P1 = 6 кН, M = 8 кНм.

рис. 1.25

Решение Освободим балку от связей и приложим к ней реакции связей. На рис.

1.25б RAx , RAy – составляющие реакции шарнира А. RД – реакция выступа стены ( RД ВС).

Разложим силы Р1 и RД на составляющие вдоль осей координат

(P1 cos )a M 0

После решения составленной системы уравнений получаем

46

Задача 1.2 (рис. 1.26а)

Определить реакции изогнутой балки АВС, находящейся под действием плоской системы сил . Вычисление реакций выполнить при l = 1 м, α = 60о, Р = 20 кН, М = 25 кНм (момент пары сил), q = 3 кН/м (интенсивность равномерно распределенной нагрузки).

рис. 1.26

Решение Освободим балку от связей и приложим к ней реакции связей. На (рис.

1.26б) RAx и RAy – составляющие реакции заделки вдоль осей координат, mA

– момент заделки (момент пары сил).

Заменим равномерно-распределенную нагрузку на участке ВС равнодействующей силой Q , причем Q q 2l 6кН .

Разложим силы P и Q на составляющие вдоль осей координат

47

Задача 1.3 (рис. 1.27а)

К изогнутой балке АВСД приложены силы Р1 = 5 кН, Р2 = 4 кН и пара сил с моментом М = 8 кНм . Размеры a = 1,5 м, в = 1,8 м, h = 1,2 м, α = 30o.

Определить реакции балки.

рис. 1.27

Решение (рис. 1.27б)

Освободим балку от связей, приложим к ней реакции связей. На (рис. 1.27б) RAx , RAy – составляющие реакции шарнира А, RД – реакция подвижного шарнира Д. Заметим, что реакция RД направлена перпендикулярно плоскости, по которой могут перемещаться катки тележки шарнира Д.

Разложим силы Р1 и RД на составляющие вдоль осей координат:

Решаем эту систему уравнений и находим неизвестные величины:

48

Задача 1.4 (рис. 1.28а)

Определить реакции связей плиты АВСД, находящейся под действием плоской системы сил. Невесомый стержень СЕ образует угол α с горизонталью. Вычисление реакций выполнить при заданных размерах a = 1,6 м, b = 1,2 м, h = 1,2 м, α = 60о, Р1 = 15 кН, Р2 = 10 кН, М = 8кНм..

рис. 1.28

Решение (рис. 1.28б)

Освободим плиту от связей, приложим к ней реакции связей. На схеме показаны: RAx , RAy – составляющие реакции шарнира А, RC – реакция

подвижного шарнира С, направленная вдоль стержня СЕ. Силу Р2 разложим на составляющие

Р2 Р2х Р2 у .

Уравнения равновесия плиты имеют вид

49

Задача 1.5 (рис. 1.29а)

Найтиположениецентратяжестипластинкипредставленнойна рис. 1.29а. Размерыданывсантиметрах.

рис. 1.29

Разделим пластинку на фигуры рис. 1.29б , центры тяжести которых известны – площади этих фигур и координаты их центров тяжести: -прямоугольник со сторонами 30 и 40, S1 =30 40=1200см2 ; х1=15см; у1

=20см;

прямоугольный треугольник с основанием 50см и высотой 40см, S2

=0.5 50 40=1000см2 ; х2=30+50/3=46.7см; у2 =40/3=13.3см;

половина круга окружности радиуса R=20см, S3 =0.5 R2 =0.5 202

=628см2 ; х3=4 R/3 =8.5см; у3 =20см.

Определяем координаты центра тяжести пластинки (площадь половины круга считаем отрицательной)

где S - площадь всей пластины; SK- площади ее частей (к=1,2,3).

50

Задача 1.6 (рис. 1.30а)

ОднородныйбрусопираетсявточкеАнанегладкийгоризонтальный полиудерживаетсявточкеВверевкой. Коэффициенттрениябрусаополравенf. Прикакомугле наклонаверевкикгоризонтубрусначнетскользитьпополу?

Угол , образуемыйбрусомиполом, равен45 .

рис. 1.30

Решение (рис. 1.30б)

Освободим брус от связей и приложим к нему реакции связей. На рис. 1.30б TB – реакции веревки в точке В, NА– реакция пола, FА– сила трения бруса о пол. Учитывая, что сила трения бруса о пол связана с реакцией пола соотношением- FА = NА f , составим уравнения равновесия бруса.

Условия равновесия бруса имеют вид

где l- длина стержня АВ Из решения системы уравнений находим

53

приложены в вершинах прямоугольного параллелепипеда со сторонами5, 3 и 4м.

Обозначим углы , , , как показано нарис. 1.32. В ходе решения понадобятся значения синусов и косинусов этих углов, которые определим ниже.

Находимпроекции главного векторанаоси координат

Определяем значения проекций главного вектора:

R R2x R2y R2z .

Подставляемчисленныезначениявеличинвэтиуравненияиопределяем числовые значения проекций главного вектора, которые равны:Rx = -6.8 кН; Ry = 3 кН; Rz = -1.5 кН; R = 7.6кН.

ПроекцииглавногомоментаM0 наосикоординат и величина этого момента определяются по формулам

54

М0 М 2x М 2y М 2z .

После подстановки численных значений, получим Mx = -7.5 кНм; My = -5.1 кНм; Mz = 27.4 кНм; M0 = 28.9 кНм.

Задача1.9 (рис. 1.33)

Брус прямоугольного сечения жестко заделан одним концом в вертикальную стену и нагружен на другом конце силой Р и парой сил с моментом М, (рис. 1.33а). Определить составляющие реакции заделки. Весом бруса пренебречь.

рис. 1.33

При действии на брус заданной силы Р и пары сил с моментом М в сечении бруса, совпадающем со стеной, возникнут силы, действующие со стороны стенки на брус. Эти силы после их приведения к центру 0 будут состоять из силы R0 (главного вектора) и пары сил с моментом MО. Силу R0 разложим на составляющие X0, У0, Z0; пару сил с моментом MO разложим на составляющие пары с моментами Мх, МУ, и Мz (рис. 1.33б ). Брус под действием сил, показанных на рис. 1.33б , будет находится в равновесии. При определении моментов силы Р относительно осей Х,У и Z- сначала разложим силу Р на составляющие, параллельные координатным осям, а затем

55

воспользуемся теоремой Вариньона. При составлении уравнений моментов учтем свойства пары сил: сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой оси равна проекции на эту ось вектора, изображающего момент пары; сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю.

Составим уравнения равновесия бруса:

Длязаданныхисходныхданных: Р = 100 Н; М = 200 Нм; = =60 ;=45 получаемследующиезначения реакций заделки: X0 = -50 Н; Y0 = 70.7

Н; Z0 = -50 Н; R0 = 100Н, Mx = -75 Нм; My = 200 Нм; Mz = 75 Нм; M0=226.4Нм.

56

Ч а с т ь 2 К И Н Е М А Т И К А

Глава 2.1. Кинематика точки 2.1.1.Предварительные замечания

Движением называется изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

Жестко связанная с телом система координат, по отношению к которой изучается движение данного тела или точки, называется системой отсчета. Тело, с которым жестко скреплена система отсчета, называется телом отсчета.

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Время принято считать одинаковым во всех системах отсчета и отображать скалярной, непрерывно изменяющейся величиной.

В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Другие переменные величины (расстояния, скорости и т.д.) рассматривают как функцию времени t. Отсчет времени ведется от некоторого момента (t = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются.

Кинематически задать движение или закон движения тела – это значит задать положение данного тела или точки относительно некоторой системы отсчета в любой момент времени.

Кинематика строится на законах геометрии. Никаких других дополнительных законов или аксиом для кинематического изучения движения не требуется.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы на основании известного закона движения данного тела (или точки) определить все кинематические величины, характеризующие как движение тела в целом, так и движение каждой из его точек в отдельности (траектории, скорости, ускорения и т.д.). Для решения этой задачи необходимо, чтобы непосредственно был задан или закон движения данного тела, или же закон движения другого тела, кинематически связанного с данным телом.

57

Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как определение основных кинематических зависимостей необходимо для изучения движения тел под действием приложенных сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное решение, например, при передаче движения в механизмах. По этим причинам под влиянием запросов развивающегося машиностроения и произошло выделение кинематики в самостоятельный раздел механики (в начале второй половины девятнадцатого века).

Термин "кинематика" предложен французским ученым и философом Андре – Мари Ампером (1775 – 1836 гг.).

2.1.2.Три способа задания движения точки.

Рассмотрим точку М, которая движется относительно системы координат Охуz по траектории АВ (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Положение этой точки в любой момент времени можно определить с помощью радиус-вектора r от начала координат до самой движущейся точки; r OM . При движении точки изменяется направление и величина радиус-вектора r в течение времени t; следовательно

Уравнение (1.1) называется векторным уравнением движения точки.

58

Положение точки М можно установить при помощи ее декартовых координат (х, у, z), изменяющихся в течение времени (рис. 2.1 ).

Равенства (2.2) называются уравнениями движения точки в координатной форме.

Зависимость между векторным и координатным способами задания движения точки имеет вид

r xi yj zk , (2.3)

где i , j,k - единичные векторы (орты) координатных осей. Остается рассмотреть естественный способ задания движения точки.

Примем траекторию точки за криволинейную координатную ось. Положение точки на траектории можно однозначно определить при помощи криволинейной (дуговой) координаты s, которая равна расстоянию от некоторой произвольной

называемой уравнением движения точки в естественной форме.

Чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо знать: траекторию точки; начало отсчета с указанием положительного и отрицательного направления отсчета; закон движения точки вдоль траектории в виде s = s (t).

2.1.3.Вектор скорости точки

Пусть движущаяся точка в моменты времени t и t1 находится в положениях М и М1, которым соответствуют радиус-векторы r и r1 (рис. 2. 2).

59

Рис. 2.2

Перемещение точки за промежуток времени t = ti – t определяется вектором MM1 r r1 r , который называется вектором перемещения точки.

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени называется средней векторной скоростью точки

VCP rt .

Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина, к которой стремится средняя векторная скорость точки при стремлении промежутка времени к нулю

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени

Так как предельным направлением секущей ММ1 является направление касательной, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории в сторону ее движения.

2.1.4.Вектор ускорения точки

Пусть движущаяся точка в момент времени t и t1 находится в положениях М и М1 и имеет в этих положениях соответственно скорости V и V1 (рис. 2.3).

60

Рис. 2.3

За промежуток времени t = ti – t скорость получает приращениеV V1 V ; вектор V направлен в сторону вогнутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени называется средним векторным ускорением точки

аСР Vt .

Ускорением точки в данный момент времени называется векторная величина, к которой стремится среднее векторное ускорение точки при стремлении промежутка времени к нулю

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости точки по времени или второй производной от радиус-вектора точки по времени

Установим, как располагается вектор а по отношению к траектории точки. Вектор среднего ускорения точки аCP направлен в сторону вогнутости

траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в точке М1 ( аCP лежит в плоскости

τ М τ 1). В пределе, когда точка М1 стремится к точке М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости.

61

Таким образом, вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

2.1.5.Скорость точки при координатном способе задания ее движения

Разложим радиус-вектор r движущейся точки М (х, у, z) на составляющие вдоль осей координат (рис. 2.4)

Рис. 2.4

r xi yj zk . (2.7)

Найдем вектор скорости точки

Из сравнения выражений (2.8) и (2.9) находим проекции скорости точки на оси координат

Проекции скорости точки на оси координат равны производным от соответствующих координат точки по времени.

По этим проекциям находим величину и направление вектора скорости точки

62

2.1.6.Ускорение точки при координатном способе задания ее движения Найдем вектор ускорения точки

Из сравнения выражений (2.11) и (2.12) находим проекции ускорения точки на оси координат

Проекции ускорения точки на оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

По этим проекциям находим величину и направление вектора ускорения точки

2.1.7.Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Дана траектория точки и закон движения точки вдоль ее траектории в виде

s= s (t).

Вмомент времени t и t1 движущаяся точка занимает положения М и М1, которым соответствуют криволинейные координаты s и s1 (рис. 2.5).

63

Рис. 2.5

Средняя алгебраическая скорость точки за промежуток времени t = ti – t

Алгебраическая скорость точки определяется по формуле

Итак, алгебраическая скорость точки в данный момент времени равна производной от криволинейной координаты точки по времени

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая всегда известна.

Если V > 0, то вектор V направлен в положительном направлении отсчета криволинейной координаты s; если V < 0, то в отрицательном.

Таким образом, алгебраическая скорость точки определяет одновременно и величину (модуль) вектора скорости и сторону, в которую он направлен.

2.1.8.Подвижная естественная система координат. Определение ускорения точки при естественном способе задания ее

движения