74

Глава 2.3. Плоско – параллельное движение твердого тела

2.3.1.Определение плоско – параллельного движения твердого тела; уравнения этого движения.

Плоско – параллельным или плоским называется такое движение тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например, катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипношатунном механизме и др. Вращение тела вокруг неподвижной оси тоже представляет собой плоско – параллельное движение.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью П, параллельной неподвижной плоскости Q (рис. 2.13).

75

Рис. 2.13

При плоско – параллельном движении все точки тела, лежащие на прямой МК, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить движение сечения этого тела или плоской фигуры S в плоскости П.

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какогонибудь проведенного в этой фигуре отрезка АВ (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Всвою очередь, положение отрезка АВ можно определить, зная координаты

хА, уА точки А и угол φ , который этот отрезок образует с осью Ох.

Точку А будем называть полюсом, а угол φ – углом поворота тела.

При движении тела величины хА, уА и φ будут изменяться с течением времени. Чтобы знать положение фигуры S в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

76

хА = хА (t); уА = уА (t); φ = φ (t),

которые представляют собой уравнения плоско – параллельного движения

тела.

Первые два уравнения характеризуют движение полюса А в плоскости П, а третье – вращательное движение тела вокруг полюса А.

2.3.2.Теорема о разложении плоско – параллельного движения на поступательное и вращательное

Теорема. Любое плоско – параллельное движение тела из одного положения в другое можно представить состоящим из двух движений: предварительного поступательного и дополнительного вращательного вокруг некоторой произвольной точки, называемой полюсом. При этом дополнительное вращательное движение не зависит от выбора полюса.

Доказательство.Пусть положение 1 тела определяется отрезком АВ, а положение 2 – отрезком А1В1 (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Возьмем за полюс точку А. Переместим тело в положение А1В2 поступательно (А1В2 || АВ), а затем повернем его вокруг точки А1 на угол φ1 до совмещения с А1В1 .

Возьмем за полюс точку В. Переместим тело в положение А2В1 поступательно (А2В1 || АВ), а затем повернем его вокруг точки В1 на угол φ2 до совмещения с А1В1.

77

Дополнительное вращательное движение тела не зависит от выбора полюса. Из рис. 2.15 видно, что φ1 = φ2 и направление вращения в обоих случаях одинаково.

2.3.3.Инвариантность (независимость) угловой скорости и углового ускорения твердого тела от выбора полюса

Рассмотрим еще раз рис. 2.15, заменив угол φ1 на φ1 и угол φ2 на φ2 , считая t2 – t1 = t .

Возьмем за полюс точку А

ω2 = ω1 = ω ; ε1 = ε2 = ε

Итак, угловая скорость и угловое ускорение тела при плоско – параллельном движении не зависят от выбора полюса.

2.3.4.Определение скоростей точек тела при плоско – параллельном движении

Плоско – параллельное движение можно представить состоящим из двух движений – поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса.

Покажем, что скорость любой точки тела геометрически складывается из скоростей, которые она получает в каждом из этих движений.

Рассмотрим движение тела (фигуры S) в системе координат Оху (рис. 2.16): Ах1у1 – подвижная система координат, движущаяся поступательно вместе с полюсом А.