66

Касательная и нормальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, то есть а аn (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Вектор ускорения a изображается диагональю прямоугольника, построенного на составляющих а и аn (рис. 2.7).

Глава 2.2. Простейшие движения твердого тела 2.2.1.Определение поступательного движения твердого тела; уравнения этого

движения

В кинематике, как и в статике, все тела рассматриваются как абсолютно твердые. Это означает, что расстояние между двумя точками остается постоянным во все время движения.

Поступательным называется такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющей две любые точки тела, перемещается параллельно самому себе.

Поступательным является движение спарника А1А2 (рис. 2.8).

67

Рис. 2.8

Спарник приводится в движение двумя равными и параллельными кривошипами О1А1 и О2А2 .

При поступательном движении тела его точки могут двигаться по любым траекториям.

Отнесем движение тела к неподвижной системе координат Охуz (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Произвольную точку А тела примем за начало подвижной системы координат Ах1у1z1 , оси которой жестко скреплены с телом и параллельны осям Ахуz. При поступательном движении тела параллельность осей сохраняется.

Векторное уравнение точки А имеет вид

rA rA (t) (2.20)

В системе координат Охуz уравнения движения точки А приобретает вид

хА = хА (t); уА = уА (t); zА = zА (t) (2.21)

Уравнение (2.20) или уравнения (2.21) определяют для любого момента времени положение точки А и подвижной системы координат Ах1у1z1 , а следовательно, и положение тела, так как тело жестко скреплено с этой системой координат.

Уравнение (2.20) является уравнением поступательного движения тела в векторной форме, а уравнения (2.21) представляют собой уравнения поступательного движения тела в координатной форме.

68

2.2.2. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в любой момент времени соответственно геометрические равные скорости и ускорения.

Доказательство.

Для произвольной точки В тела имеем (рис. 2.9)

откуда VB VA (2.24)

Заметим, что ddtBA 0 , так как BA const .

При дифференцировании по времени равенства (2.24) получим

поступательного движения тела.

Поступательное движение тела вполне определяется движением какойнибудь одной точки. Следовательно, изучение кинематики поступательного движения тела сводится к изучению кинематики точки.

69

2.2.3.Определение вращательного движения твердого тела; уравнения этого движения.

Вращательным называется такое движение тела, при котором все точки некоторой прямой этого тела остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через неподвижные точки тела, называется осью вращения. Все точки тела, не принадлежащие оси вращения, описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны к этой оси.

Проведем через ось вращения тела Оz неподвижную полуплоскость Q и подвижную полуплоскость П, жестко скрепленную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Положение тела в любой момент времени однозначно определяется взятым с соответствующим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который называется углом поворота тела.

Угол φ будем считать положительным, если он отложен от неподвижной полуплоскости в направлении против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Оz ; в противном случае этот угол считается отрицательным.

Измеряется угол φ всегда в радианах.

70

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, достаточно задать

Это уравнение выражает закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

2.2.4. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Угловая скорость тела равна производной по времени от угла поворота тела

Знак угловой скорости определяет направление вращения тела. При вращении тела против часовой стрелки ω > 0.

Размерность угловой скорости ω [ сек -1] . В технике скорость равномерного вращения определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n [ об/мин] .

Величины ω и n связаны формулой

Вращение тела будет ускоренным, если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, если разные знаки.

Размерность углового ускорения ε [ сек -2] .

2.2.5. Равномерное и равнопеременное вращательное движение твердого тела

72

Пусть вращение тела задано уравнением

φ = φ (t).

Уравнение движения точки М вдоль ее траектории имеет вид

S = M0M = R φ = R φ(t).

Линейная или окружная скорость точки

Вектор скорости точки направлен по касательной к описываемой этой точкой окружности или перпендикулярно плоскости П, проходящей через ось вращения и данную точку (V пл. П).

Линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Для определения ускорения точки воспользуемся формулами

траектории (в сторону вращения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная составляющая аn всегда направлена по радиусу МО к оси вращения (рис 2.11).

73

Ускорения точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют один и тот же угол с радиусами описываемых ими окружностей.

2.2.7. Векторные выражения для скоростей и ускорений точек вращающегося твердого тела

Возьмем точку М тела, определяемую радиус – вектором относительно полюса О, взятого на оси вращения (рис. 2.12). Для величины вектора скорости точки М имеем

Рис. 2.12

V V (r sin ) r sin( , r ) r .

Очевидно, что V r .

Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус – вектор точки при полюсе, взятом на оси вращения.

Вектор ускорения точки