Лабораторная работа №4

Исследование характеристик и параметров линейных систем.

Цель работы: Практические применения функций MATLAB для исследования вариантов характеристик линейных систем и способов перехода от одного предавления к другому.

Общие сведения

Существуют различные способы описания линейных систем с целью оценки их характеристик , таких как амплитудно – и фазочастотная характеристики, комплексный коэффициент передачи, условия устойчивости, импульсная характеристики и др.

На практике используют следующие способы:

- дифференциальное уравнение;

- функция передачи;

- нули и полюсы;

- полюсы и вычеты;

- пространство состояний.

Если обозначить через X(t) – входной, а через Y(t) – сигнал на выходе линейной системы, то связь между ними выражается дифференциальным уравнением вида:

(4.1.)

Таким образом, система описывается наборами коэффициентов {a_j} и {b_l}.

Если применить к уравнению (4.1.) преобразования Лапласа, получим выражения для операторного коэффициента передачи или функции передачи системы (transfer function):

(4.2.)

Здесь a_j и b_j – те же постоянные коэффициенты, что и в уравнении (4.1.).

Если разложить числитель и знаменатель функции передачи (4.2.) на множители, мы получим функцию передачи в следующем виде׃

(4.3.)

Здесь: K = b_n/a_n – коэффициент усиления (gain), z_i – нули функции передачи

(zero), p_i – полюсы функции передачи (pole).В точках нулей H (z_i) = 0, а в точках полюсов H (p_i) → ∞.

При представлении системы в виде (4.3.), она описывается набором параметров {z_i}, {p_i}, K.

Коэффициент усиления всегда вещественный, а нули и полюсы могут быть вещественными, либо комплексно-сопряженными.

Функцию (4.2.) можно представить в виде суммы простых дробей. При отсутствии кратных корней у знаменателя такое представление будет иметь вид׃

(4.4.)

Здесь p_i - полюсы функции передачи, а числа r_i называются вычетами. C₀ – целая часть функции передачи, отличная от нуля только в случае равенства степеней полиномов числителя и знаменателя (m=n).

В данном случае система описывается набором параметров {r_i}, {p_i}, C₀.

Полюсы функции могут быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары. Вычеты, соответствующие комплексно-сопряженным полюсам, также являются комплексно-сопряженными.

Если функция передачи содержит кратные полюса, разложение на простые дроби усложняется. Каждый m-кратный полюс p_i дает m слагаемых вида׃

(4.5.)

Линейную цепь можно описать пространством состояний (state space). При этом состояние системы описывается вектором S (t), а собственные колебания системы и ее реакция на входной сигнал X (t) характеризуется следующим образом׃

(4.6.)

Если размерность вектора состояний S (t) равна NS (t) – вектор-столбец, а входной X (t) и выходной Y (t) сигналы являются скалярными, то размерность параметров в этих формулах будет следующей׃

A – матрица N×N, B - столбец N×1,C- строка 1×N, D – скаляр. Если входной и/или выходной сигналы являются векторными, размерности параметров соответствующим образом меняются.

Система описывается в пространстве состояний набором параметров A, B, C, D. Для перехода от описания в пространстве состояний к функции передачи необходимо применить преобразования Лапласа к уравнению (4.5), а затем определить операторный коэффициент преобразования, то получим

Здесь I – единичная матрица N×N.

Обратное представление выполняется следующим образом.

Если m=n, из дроби выделяют целую часть, которая становится параметром D (если степень числителя меньше степени знаменателя, то D = 0).

Из оставшейся дроби, в которой степень числителя (m) гарантированно меньше степени знаменателя (n) параметры пространства состояний определяют по следующим формулам (4.6. - 4.8.)

A=(4.7.)

(4.8.) (4.9.)