11

Лабораторная работа №5

Исследование характеристик и параметров аналоговых фильтров

Цель работы: усвоение теоретического материала по аналоговым фильтрам и приобретение практических навыков проектирования аналоговых фильтров в среде MATLAB.

Общие сведения

Фильтр – устройство, пропускающее сигналы в определённой полосе частот и задерживающее в остальных частотах.

Различают следующие типы фильтров:

• ФНЧ – фильтры нижних частот (low-pass filter), пропускающие частоты меньше некоторой частоты среза ω₀;

• ФВЧ – фильтры верхних частот (high-pass filter), пропускающие частоты больше некоторой частоты среза ω₀;

• ПФ – полосовые фильтры (band-pass filter), пропускающие частоты в некотором диапазоне ω₁ ... ω₂ (могут характеризоваться средней частотой и шириной полосы пропускания );

• РФ – режекторные фильтры (band-stop filter), другие возможные названия – заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр. Режекторные фильтры пропускают на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне ω₁ ... ω₂ (могут характеризоваться средней частотой и шириной полосы задерживания ).

Идеальная форма K(f) – амплитудно-частотной характеристики фильтра (АЧХ) – прямоугольная, физически не реализуемая. На практике для приближения формы АЧХ фильтра к прямоугольной используют ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ.

Вначале рассчитывают фильтры-прототипы.

Основные типы аппроксимирующих фильтров-прототипов и их характеристики представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Аппроксимирующие фильтры-прототипы.

Тип фильтра, K(ω)	АЧХ	ФЧХ	Нули и полюсы
Баттерворта
Чебышева I-го рода
Чебышева II-го рода
Эллиптический
Бесселя

Пояснения к таблице 5.1:

• приведенные АЧХ, ФЧХ, нули и полюсы соответствуют фильтрам 5-го порядка;

• ω₀ – частота среза (ω₀=1рад/с), n – порядок фильтра, ε – величина пульсации АЧХ в полосе пропускания (задерживания), T_n – полином Чебышева n-го порядка, ε и L – параметры, определяющие величину пульсации в полосах пропускания и задерживания, d_k – коэффициенты полинома знаменателя;

• * – полюсы, 0 – нули;

• на графиках АЧХ и ФЧХ горизонтальная ось в рад/с.

Все приведенные фильтры являются фильтрами-прототипами, представляющими собой ФНЧ с частотами среза равными 1 рад/с.

Для получения из фильтра-прототипа фильтра заданного вида с требуемыми параметрами в MATLAB имеются четыре функции. Принцип составления их имён следующий: сначала идёт сокращение lp, означающее, что исходным является ФНЧ (low-pass), потом следует символ преобразования 2 и в конце стоит обозначение типа результирующего фильтра:

• lp2lp – изменение частоты среза ФНЧ (low-pass);

• lp2hp – преобразование ФНЧ в ФВЧ (high-pass);

• lp2bp – преобразование ФНЧ в полосовой фильтр (band-pass);

• lp2bs – преобразование ФНЧ в режекторный фильтр (band-stop).

Все эти функции могут преобразовывать фильтры, заданные двумя способами – в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи, либо в пространстве состояний. Различаются эти два варианта по числу входных и выходных параметров (таблица 5.3).

В таблице 5.2 приведены функции MATLAB для расчёта аппроксимирующих фильтров-прототипов.

Таблица 5.2 – Функции MATLAB для расчёта фильтров-прототипов.

№ п/п	Тип фильтра	Функция MATLAB
1.	Баттерворта	[z, p, k] = buttap(n);
2.	Чебышева I-го рода	[z, p, k] = cheb1ap(n, Rp);
3.	Чебышева II-го рода	[z, p, k] = cheb2ap(n, Rp);
4.	Эллиптический	[z, p, k] = ellipap(n, Rp, Rs);
5.	Бесселя	[z, p, k] = besselap(n);

В таблице 5.2 приняты следующие обозначения:

n – порядок фильтра;

Rp – уровень пульсации в полосе пропускания в децибелах;

Rs – уровень пульсации в полосе задерживания в децибелах.

Функции MATLAB для преобразования фильтра-прототипа в фильтр заданного типа представлены в таблице 5.3.

Таблица 5.3 – Функции преобразования фильтра-прототипа к заданному типу фильтра.

Тип фильтра	Формула замены s для функции передачи	Функция MATLAB
ФНЧ		lp2lp: [bl, al] = lp2lp(b, a, ω0); [Al, Bl, Cl, Dl] = lp2lp(A, B, C, D, ω0);
ФВЧ		lp2hp: [bl, al] = lp2hp(b, a, ω0); [Al, Bl, Cl, Dl] = lp2hp(A, B, C, D, ω0);
полосовой	; ;	lp2bp: [bl, al] = lp2bp(b, a, ω0, Bw); [Al, Bl, Cl, Dl] = lp2bp(A, B, C, D, ω0, Bw); ω0 и Bw – в радианах в секунду
режекторный	; ;	lp2bs: [bl, al] = lp2bs(b, a, ω0, Bw); [Al, Bl, Cl, Dl] = lp2bs(A, B, C, D, ω0, Bw);

Пояснения к таблице 5.3. Входными параметрами функций преобразования являются описания фильтра в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи b, a или в пространстве состояний – A, B, C, D. Частота среза ω₀ (для ФНЧ и ФВЧ) или средняя частота ω₀ (для полосового и режекторного фильтров) и Bw – ширина полосы пропускания (для полосового) или ширина Bw полосы задерживания (для режекторного).

Возвращаемый результат: (bl, al) или (Al, Bl, Cl, Dl) – пересчитанные параметры фильтра.

Функции matlab для расчета аналоговых фильтров

Для расчета аналоговых фильтров необходимо выполнить две основные операции:

• рассчитать ФНЧ – прототип;

• преобразовать ФНЧ – прототип к нужному типу фильтра с заданными частотами среза.

Эта последовательность действий оформлена в виде следующих функций MATLAB (таблица 5.4).

Таблица 5.4 – Функции MATLAB расчета аналоговых фильтров.

Тип фильтра	Функция MATLAB
Баттерворта	butter(n, ω0, type, ‘s’)
Чебышева I-го рода	cheby1(n, Rp, ω0, type, ‘s’)
Чебышева II-го рода	cheby2(n, Rs, ω0, type, ‘s’)
Эллиптический	ellip(n, Rn, Rs, ω0, type, ‘s’)
Бесселя	besself(n, ω0, type)

Значения параметров ω₀, type в зависимости от типа фильтра представлены в таблице 5.5.

Таблица 5.5 – Значения параметров ω₀, type.

Тип фильтра	ω0	type
ФНЧ	скаляр	отсутствует
ФВЧ	скаляр	‘high’
полосовой	вектор [ω1 ω2]	отсутствует
режекторный	вектор [ω1 ω2]	‘stop’

Выбор порядка фильтра

Указанные в таблицах 5.2 – 5.5 функции расчета фильтров требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза. Однако, исходными данными при разработке фильтров, как правило, являются другие параметры:

• частотные границы полос пропускания (ω_p) и задерживания (ω_s);

• допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания (Rp);

• минимально необходимое затухание в полосе задерживания (Rs).

В MATLAB имеются однотипные функции, позволяющие рассчитать минимально необходимый порядок фильтра по требованиям, предъявляемым к фильтру. Функции имеют следующий вид:

[n, ω_n] = buttord(ω_p, ω_s, Rp, Rs, ‘s’) (5.1)

[n, ω_n] = cheb1ord(ω_p, ω_s, Rp, Rs, ‘s’) (5.2)

[n, ω_n] = cheb2ord(ω_p, ω_s, Rp, Rs, ‘s’) (5.3)

[n, ω_n] = ellipord(ω_p, ω_s, Rp, Rs, ‘s’) (5.4)

Входные параметры: Rp, Rs – в децибеллах; ‘s’ – признак аналогового фильтра; ω_p ω_s – задают границы полос пропускания и задерживания:

• для ФНЧ: ωp, ωs – числа, ωp < ωs;

• для ФВЧ: ωp, ωs – числа, ωp > ωs;

• для полосового: ω_p, ω_s – двухэлементные векторы, ω_s(1) < ω_p(1) < ω_p(2) < ω_s(2);

• для режекторного: ω_p, ω_s – двухэлементные векторы, ω_p(1) < ω_s(1) < ω_s(2) < ω_p(2).

Возвращаемые величины:

n – минимально необходимый порядок фильтра;

ω_n – частота среза.

Полученные параметры n и ω_n должны использоваться при вызове функции расчета фильтра.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. При домашней подготовке:

• проработать рекомендуемую литературу;

• выполнить индивидуальное задание с комментариями и выводами;

• письменно ответить на контрольные вопросы;

• оформить отчет по лабораторной работе;

Во время занятия:

• продемонстрировать на компьютере результаты выполнения индивидуального задания;

• получить допуск к защите лабораторной работы;

• защитить лабораторную работу;

• уточнить индивидуальное задание на следующую лабораторную работу.

Индивидуальное задание к лабораторной работе №5

Варианты индивидуальных заданий представлены в таблице 5.6.

В соответствии с индивидуальным заданием необходимо спроектировать аналоговый фильтр. Рекомендуется следующая последовательность расчета:

• рассчитать минимально необходимый порядок фильтра согласно функций 5.1 – 5.4, при этом принять Rp = 20 Дб, Rs = 0.5 Дб;

• рассчитать параметры фильтра-прототипа, взяв необходимую функцию из таблицы 5.2;

• рассчитать требуемые параметры фильтра согласно индивидуального задания, таблица 5.6, взяв необходимую функцию из таблицы 5.3;

• привести нули и полюсы фильтра к виду функции передачи, а также к пространству состояний, используемые функции: tf2zp, tf2ss, zp2tf, zp2ss, ss2tf, ss2zp;

• проверить результаты рассчитанного фильтра путём расчёта его параметров по функциям таблицы 5.4;

• построить АЧХ и ФЧХ рассчитанного фильтра и фильтра-прототипа, ФЧХ должна выводиться в градусах, должен отсутствовать «скачек» при изменении частоты от -180⁰ до 180⁰, рекомендуемые функции – freqs, angle, unwrap.

Таблица 5.6 – Варианты индивидуальных заданий

№ п/п	Вид фильтра	Частоты срезов (Гц)
1	Верхних частот	10
2	Нижних частот	120
3	Полосовой	10/120
4	Режекторный	10/120
5	Верхних частот	15
6	Нижних частот	130
7	Полосовой	15/130
8	Режекторный	15/130
9	Верхних частот	20
10	Нижних частот	140
11	Полосовой	20/140
12	Режекторный	20/140
13	Верхних частот	25
14	Нижних частот	150
15	Полосовой	25/150
16	Режекторный	25/150
17	Верхних частот	30
18	Нижних частот	160
19	Полосовой	30/160
20	Режекторный	30/160
21	Верхних частот	40
22	Нижних частот	180
23	Полосовой	40/180
24	Режекторный	40/180