Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1
.pdf
A2 B2 C2 і горизонтальною лінією C2 C2 - це кут нахилу площини Г до
горизонтальної площини проекцій.
На основі 3-ї основної задачі можна визначити кути нахилу площини загального положення до площин проекцій, а також відстань від точки до площини, від прямої до площини та між двома паралельними площинами.
На рис. 6.12 показано визначення відстані від точки К(К1, К2) до площини Г( АВС). Для цього разом з переміщенням трикутника АВС в положення A B C перемістили і точку К так, щоб не порушилось розташування точки К щодо трикутника АВС. Так, точка K1 знайдена як точка
перетину дуг двох кіл: K1 A1 = К1А1, K1 C1 = К1С1. Фронтальна проекція K2 точки К знайдена у перетині лінії зв’язку K1 K2 та горизонтальної лінії K2 K2 . Перпендикуляр, проведений від точки K2 до проекції
A2 B2 C2 трикутника АВС, становить дійсну величину відстані від точки
Кдо площини Г( АВС).
Задача 4. Перетворити креслення так, щоб площина ( DEF) стала площиною рівня (рис. 6.13).
Площину загального положення неможливо перевести одним переміщенням у положення площини рівня. Це зумовлено особливостями способу плоско паралельного переміщення. Тому площину спочатку слід перетворити на проекціювальну, перемістивши її щодо однієї із площин проекцій, як це зроблено у задачі 3, а потім другим переміщенням щодо другої площини проекцій привести її у положення площини рівня.
Проведемо у площині , наприклад, фронталь f(f1, f2) і перемістимо DEF( D1E1F1, D2E2F2) паралельно площині проекцій П2 так, щоб фрон-
таль f стала вертикальною: 12 F 2
Е2Е1, 12 F 2 =12F2. На відрізку 12 F 2 фронталі будуємо D2 E2 F2 , конгруентний D2E2F2 : E2 F2 = E2F2, 1 2 E2 = 12Е2; F2 D2 = D2F2, D2 E2 = D2E2. За такого положення трикутника D E F на площину проекцій П1 він спроекціюється у відрізок D1 E1 прямої лінії. Точки D1 , E1 , F1 знаходимо як точки перетину відповідних вертикальних
ліній зв’язку з горизонтальними прямими, по яких пересуваються горизонтальні проекції вершин D, E, F. Як бачимо до складу задачі 4 входить як її перша складова частина задача 3.
Далі проекцію D1 E1 F1 трикутника переміщуємо паралельно пло-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
щині проекцій П1 у положення |
E |
|
|
F . Для цього на вільному місці про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
водимо відрізок прямої, перпендикулярної до лінії E2 E1 |
і наносимо на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нього точки D |
|
, E |
, F |
так, щоб |
|
D |
F |
= D |
F , |
E |
F |
= E |
F . Проекції |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 , E2 , F2 |
вершин трикутника DEF знаходимо як точки перетину ліній |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зв’язку D |
D |
2 |
, |
|
E E |
2 |
, F F з горизонтальними прямими, по котрих пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
суваються фронтальні проекції трикутника DEF. Сполучивши точки
D2 , E2 , F2 |
ві- |
|
D |
2 |
F2 |
|
F2 |
|
|
f2 |
|
|
|
|
|||||
дрізками пря- |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мих, маємо |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
трикутник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 E2 F2 , |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
F2 |
|
|
E2 |
|
|
який є неспот- |
|
|
1 |
|
|
E2 |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||
вореною про- |
|
|
|
|
|
|
|
||
E1 |
|
D2 |
|
|
D2 |
|
|
||
екцією вихід- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
||
ного трикут- |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ника DEF. Та- |
f1 |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
F1 |
|
|
||
ким чином, на |
|
11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D1 |
F1 |
E1 |
|||
основі задачі 4 |
|
D1 |
D1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
можна знайти |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неспотворену |
|
|
|
|
|
Рис. 6.13 |
|
|
|
проекцію будь-якої |
|
|
|
|
|
|
|
||
плоскої фігури, кути між прямими, що належать цій фігурі, центри вписа- |
|||||||||
ного в трикутник та описаного навколо нього кола і т. ін. |
|
|
|||||||
6.5 Обертання навколо ліній рівня |
|
|
|
|
|
||||
Якщо вісь обертання паралельна якійсь площині проекцій, то це – спосіб обертання навколо ліній рівня. У цьому разі кола обертання проекціюються у відрізки прямих ліній, перпендикулярних до проекції осі обертання на ту площину, якій ця вісь паралельна. Цей спосіб найчастіше вживається для приведення плоскої фігури у положення площини рівня обертанням її навколо горизонталі чи фронталі, що належать цій фігурі. За допомогою цього способу доцільно визначати неспотворені проекції плоских фігур та дійсні величини плоских кутів.
Для приведення плоскої фігури у положення площини рівня достатньо повернути лише одну яку-небудь точку її, оскільки всі точки, що належать осі обертання, залишаються нерухомими. Коли плоска фігура стає паралельною площині проекцій, радіус обертання будь-якої точки її теж стає паралельним тій самій площині проекцій і проекціюється на неї без спотворення – у натуральну величину. Саме на цьому факті ґрунтується побудова проекції повернутої точки.
На вихідному епюрі визначають способом прямокутного трикутника дійсну довжину радіуса обертання точки і відкладають його від центра обертання перпендикулярно до осі обертання. Детальніше суть способу розглянемо на конкретних прикладах.
Нехай задана точка А обертається навколо лінії рівня, наприклад, горизонталі h (рис. 6.14 зліва). Точка А рухається по колу, площина якого перпендикулярна до горизонталі h і проекціюється на площину П1 у пряму, що перпендикулярна до проекції h1 горизонталі h. Центр О кола знаходиться в основі перпендикуляра, якого проведено від точки А до осі h. АО
– радіус кола – радіус обертання точки А. Його горизонтальна проекція –
А1О1.
Коли точка А, обертаючись навколо осі h, суміщується з горизонтальною площиною, що проходить через вісь h (положення Ā), її радіус обертання ОА стає паралельним площині П1 і проекціюється на неї без спотворення у відрізок О1Ā1. Точка А може бути повернута в протилежному напрямі до положення Ā . Тоді її горизонтальна проекція буде у точці Ā 1. На рис. 6.14 справа показано обертання точки А(А1, А2) навколо горизонталі h(h1, h2) на комплексному кресленні. Радіус обертання ОА(О1А1, О2А2)
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
A |
|
|
|
h |
|
A' |
|
|
h2 |
O |
|
|
O2 |
|
|
|
|
|
A0 |
||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A1 |
A' |
A1 |
|
R |
|
h1 |
1 |
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
h |
O1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
Рис. 6.14 |
|
|
точки А – це перпендикуляр, проведений із точки А на вісь h. Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину радіуса обертання R (А1А0 А1О1, А1А0 = ZA – Zh) і відкладаємо його від точки О1 перпендикулярно до h1. Отримуємо точку Ā1 – проекцію повернутої точки А.
Обертання навколо ліній рівня доцільно використовувати для визначення неспотворених проекцій (натуральних величин) плоских фігур, відстаней від точки до прямої та між паралельними прямими. За допомогою цього способу можна визначати відстані між мимобіжними прямими та від точки до площини. Але таке застосування способу у навчальній літературі не трапляється. Та найбільш ефективно цей спосіб застосовується для визначення натуральних величин кутів між двома прямими, між прямою і площиною та між двома площинами.
Застосування способу для розв’язування названих задач покажемо на конкретних прикладах.
Приклад 6.1. Визначити неспотворену проекцію трикутника АВС
(рис. 6.15)
У площині трикутника АВС через вершину В(В1, В2) проводимо горизонталь h(h1, h2). Трикутник обертаємо навколо горизонталі h до положення, коли він стане горизонтальним. Точки В і 1(11, 12) (1 АС) залишаються нерухомими. Отже, достатньо повернути лише точку А(А1, А2). Способом прямокутного трикутника визначаємо дійсну довжину О1А0 радіуса обертання (А1А0 О1А1, А1А0 = ZA – Zh) і відкладаємо його від точки О перпендикулярно до проекції h1 горизонталі h. Маємо горизонтальну проекцію Ā1 оберненої точки Ā. Сполучаємо точку Ā1 з нерухомими точками В1 та 11. Вершина С(С1, С2) під час обертання трикутника обертається по своєму колу, дуга якого зобразилась у відрізок С1 C 1 h1. Сполучивши точку C 1 з точкою В1, дістаємо неспотворену проекцію Ā1В1 C 1 трикутника АВС.
|
|
A2 |
|
C2 |
|
h2 |
12 |
B2 |
|
|
A1 |
|
A0 |
B1 |
|
C1 |
O1 |
|
11 |
C1 |
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
A1 |
|
|
Рис. 6.15 |
Відстань |
D2 |
l2 |
|
||
|
|
12 |
|
|
O2 |
|
f2 |
l2 |
|
|
|
K2 |
R |
D2 |
|
||
|
D0 |
|
|
|
D1 |
|
|
l1 |
K1 |
f1 |
11 |
Рис. 6.16
Приклад 6.2. Визначити дійсну величину відстані від точки К до прямої l (рис. 6.16).
У площині Г(К; l) проводимо фронтальf(f1, f2) через точку К(К1, К2) і обертаємо навколо цієї фронталі пряму l(l1, l2), точніше, будь-яку точку її, наприклад, точку D(D1, D2). Для цього способом прямокутного трикутника визначаємо дійсну величину О2D0 радіуса OD(O2D2) обертання точки D (D2D0 O2D2, D2D0 = Yf – YD) і відкладаємо його від точки О2 перпендикулярно до f2, дістаємо фронтальну проекцію D 2 повернутої точки D . Сполучаємо точку D 2 з проекцією 12 нерухомої точки 1 прямої l. Маємо фронтальну проекцію l 2 повернутої прямої l. Перпендикуляр, проведений із то-
чки К2 на пряму l 2 визначає дійсну величину відстані від точки К до прямої l.
Приклад 6.3. Визначити дійсну величину кута між прямими a i b (рис.6.17).
У площині (a; b) проводимо фронталь f(f1, f2) і обертаємо навколо неї площину до фронтального положення. Для цього достатньо повернути лише точку А(А1, А2) перетину прямих a i b, оскільки точки 1(11, 12) і 2(21, 22), через які проходить вісь обертання f, нерухомі.
Проекція Ā2 побудована аналогічно тому, як побудована точка D 2 на
рис. 6.16 (А2А0 О2А2, Ā2О2 = О2А0). Точку Ā2 сполучаємо з точками 12 і 22. Відрізки Ā212 і Ā222 - це фронтальні проекції відрізків повернутих прямих
a i b. Кут = ā2;^ b - це дійсна величина кута між прямими a i b. Визначення натуральних величин кутів між мимобіжними прямими,
між прямою і площиною, а також між двома площинами може бути зведено до визначення кута між двома прямими, що перетинаються. Приклад
6.4. Визначити дійсну величину кута між мимобіжними прямими m(m1,
m2) і n(n1, n2) (рис. 6.18).
Мірою кута між мимобіжними прямими є кут між прямими, що перетинаються і паралельні даним мимобіжним. Тому через будь-яку точку, наприклад, К(К1, К2) прямої n проводимо пряму с(с1, с2) паралельну прямій m і визначаємо дійсну величину кута між прямими n i c, як це зроблено на рис. 6.17.
Для цього у площині (n; с) проводимо горизонталь h(h1, h2) і обер
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
f2 |
a2 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
0 |
12 |
|
|
22 |
h2 |
|
|
|
|
|
||||
|
O2 |
b2 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
22 |
n |
|
c2 |
|
|
|
2 |
b2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
A2 |
|
|
|
|
|
K |
|
1 |
|
|
|
m1 |
|
|
1 |
|
|
11 |
|
21 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
c1 |
|
|
a1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
11 |
|
|
O1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
n1 |
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
K |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.17 |
Рис. 6.18 |
таємо точку К навколо неї так, щоб площина |
стала горизонтальною: |
К1К0 = Zh – Zk, K1K0 O1K1, O1 К 1 =O1K0. Точку K 1 сполучаємо з нерухомими точками 1(11) і 2(21). Кут 11 K 121 становить дійсну величину кута між прямими m і n.
Приклад 6.5. Визначити дійсну величину кута між прямою l(l1, l2) і
площиною (a; b) (рис. 6.19). |
|
Кут між прямою l і площиною |
вимірюється кутом між цією |
прямою і її ортогональною проекцією l |
на дану площину (рис. 9.6 зліва). |
Але кут між прямою і площиною у загальному випадку доцільно визначати за допомогою кута 
між прямою l і перпендикуляром АА
до даної пло-
щини, який у сумі із шуканим становить 90 .
Тому через будь-яку точку, наприклад, С(С1, С2) прямої l проводимо перпендикуляр n(n1, n2) до площини (n1 h1, n2 f2) (h 
, f 
) і визначаємо дійсну величину кута між прямою l і перпендикуляром n обертанням його навколо горизонталі h (h 1, h 2) як це виконувалось у попередніх прикладах. Кут 
між відрізками 41 C 1 і 51 C 1 становить дійсну величину кута між прямою l і перпендикуляром n. Доповнимо цей кут до 90 , тобто через точку C 1 проведемо пряму, перпендикулярну до сторони 51 C 1 кута . Кут між проведеною прямою і відрізком 41 C 1 становить кут між прямою l і площиною .
A |
|
a2 |
|
12 |
b2 |
|
|
|
l2 |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
||
l |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
h'2 |
|
|
3 |
|
|
42 |
n |
52 |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lГ |
HГ |
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
b1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
||
|
|
21 |
h1 |
1 |
1 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l1 |
+ |
= 90 |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
l1 |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
51 |
h 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.19
Приклад 6.6. Визначити дійсну величину кута між двома площинами
(m
n) і (h; f) (рис. 6.20).
|
|
|
l |
|
k2 |
|
|
|
|
2 |
52 |
|
|
|
q2 |
32 |
|
f |
|
|
m |
|
|
2 |
|||
2 |
42 |
|
||||
|
|
|
|
|||
p |
|
n2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
h2 |
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D0 |
|
|
|
m1 |
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
D1 |
R |
||
1 |
q |
3 |
|
|
||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
5 |
k1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
21 |
p |
41 |
O1 |
|
|
|
|
1 |
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
h1 |
|
|
|
|
l1 |
|
||
|
|
|
|
D1 |
|
|
|
Рис. 6.20 |
|
|
|
|
|
Двогранний кут між двома площинами вимірюється лінійним кутом між двома прямими лініями перетину заданих площин з третьою площиною, перпендикулярною до заданих. Але визначати величину кута між площинами за такою схемою досить складно. Значно простіше його можна визначити за допомогою кута між двома перпендикулярами, проведеними до даних площин із будь-якої точки простору.
Із довільної точки D(D1, D2) простору проводимо два перпендикуля-
ри до заданих площин: l
(m || n) і k
(h; f) (l1 p1, l2 q2; k1 h1, k2 f2). А далі визначаємо дійсну величину кута між перпендикулярами k і l, оберну-
вши їх навколо горизонталі 45(4151, 4252) до горизонтального положення. Точка D 1 – це горизонтальна проекція повернутої точки D. Сполучаємо точку D 1 з нерухомими точками 41, 51. Кут між відрізками 41 D 1 і 51 D 1 становить кут між площинами і . Якщо доповнити кут до 180 , то отримаємо другий кут між площинами. У даному випадку він тупий. Тому слід прийняти за кут між площинами гострий кут .
6.5.1 Спосіб обертання навколо слідів площини (суміщення)
Плоскі фігури можна обертати навколо слідів (як нульових ліній рівня) площини, котрій належать ці фігури, наприклад, для визначення дійсних величин кутів між прямими або для побудови неспотворених зобра-
жень плоских фігур. У цьому разі плоска фігура обертається навколо сліду площини, якій належить задана фігура, до суміщення її з якоюсь площиною проекцій. Площина вважається суміщеною з площиною проекцій, якщо побудовано суміщений з цією площиною слід заданої площини. В літературі таке обертання дістало назву суміщення. Розглянемо декілька прикладів.
На рис. 6.21 показано суміщення площини Г(f0, h0) з горизонтальною площиною проекцій обертанням її навколо горизонтального сліду h0. На фронтальному сліді взято точку 1(11, 12) і обертанням навколо сліду h0( h10 )
побудовано її суміщене положення 1 1. Для цього за допомогою прямокутного трикутника О11110 визначено дійсну довжину О110 радіуса обертання точки 1 і за допомогою циркуля відкладено його на перпендикулярі 11О1
до сліду |
h 0 . Маємо точку 1 . Цю точку можна побудувати інакше. Через |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
точку 11 провести перпендикуляр до сліду h10 |
і на ньому зробити засічку |
|
||||||||||||
радіусом Гх12 із центра Гх. Через точки Гх і 11 |
проведено суміщений з пло- |
|||||||||||||
щиною П |
1 |
фронтальний слід f 0 . На рис. 6.21 показаний кут α – це дійсна |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величина кута між слідами f0 i h0 площини Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
На рис. 6.22 показано визначення |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
дійсної величини кута між слідами пло- |
|
|
12 |
|
|
|
f2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
щини Δ(f0, h0). Цей приклад відрізняється |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
від попереднього лише тим, що кут між |
|
|
11 |
0 |
|
0 |
|
|||||||
слідами площини |
тупий. Обернемо |
x |
|
f1 |
|
h2 |
|
|||||||
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
площину |
|
навколо фронтального сліду |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
||||
f0(f 02 ) до суміщення з фронтальною пло- |
|
|
O |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
h1 |
0 |
|
|
|
щиною проекцій П2 |
Для цього на сліді |
f |
11 |
|
|
|
||||||||
h |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
(h1 |
, h 2 ) візьмімо довільну точку 1(11, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12) і обернемо її навколо сліду f0(f 02 ) до |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
суміщення з площиною П2. Відрізок Гх11 – |
Рис. 6.21 |
|
|
|
|
|
||||||||
це неспотворена проекція відрізка Гх1(Гх11 = Гх1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
У суміщеному положенні цей відрізок не змінює своєї довжини (Гх 12 |
= |
|
||||||||||||
Гх1). Проекція 12 точки 1 переміщується перпендикулярно до f0(f 02 ). Тому із точки Гх як із центра проводимо дугу кола радіусом Гх11 до перетину з
перпендикуляром 12 |
|
до сліду f0. Як видно із рис. 6.22 дуга може бути |
1 |
||
|
2 |
|
проведеною за годинниковою стрілкою чи проти неї. Отже суміщених положень сліду h0 може бути два (на рис. 6.22 показано суцільною тонкою і
штриховою). Кут між f 02 і h 20 і є дійсною величиною кута між слідами площини Г.
|
Лінії рівня площини, по- |
h 0 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f20 |
|||
даної своїми слідами, у суміще- |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ному положенні залишаються |
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
паралельними відповідним слі- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дам площини. На рис. 6.23 пока- |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
зано суміщення площини Δ(f0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h0) з фронтальною площиною |
|
|
h1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
проекцій П2. Суміщений слід h 20 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
побудований за допомогою точ- |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ки 1(11, 12), взятої на сліді h0(h10 , |
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h 0 ), як це було побудовано на |
|
|
|
Рис. 6.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 6.21, 6.22. Через точку 1 h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
у площині |
проведена фронталь f(f , f |
), а через точку 2 |
f0(2 |
1 |
f 0 |
, 2 |
2 |
f 0 ) – |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||
горизонталь h(h1, h2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
У суміщеному положенні площини через точку 12 |
проведено сумі- |
||||||||||||||
щене положення f |
2 |
фронталі паралельно фронтальному сліду f0 площини |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δ( f 2 |
f2), а через точку 22 – суміщене положення h 2 |
горизонталі паралель- |
||||||||||||||
но суміщеному положенню h 0 горизон- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тального сліду площини ( h 2 |
h 20 ). |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
Слід ще раз звернути увагу на те, |
h2 |
|
h |
|
|
f |
|
||||||||
|
|
|
f2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
що спосіб суміщення є лише різнови- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
f2 |
||||||
дом обертання навколо ліній рівня. Різ- |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ниця полягає лише в тому, що у сумі- |
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x12 |
|
|
|
0 |
h 0 |
|||||||||
щенні використовуються площини, по- |
|
|
|
|
|
f |
||||||||||
дані слідами, тобто нульовими лініями |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
21 |
|
11 |
|
|
|
|
|||||||
рівня, для яких завжди збігаються гори- |
|
x |
|
|
|
|
f1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
зонтальна проекція фронталі з фронта- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
льною проекцією горизонталі. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
h1 |
||||||
|
Наведемо приклад розв’язання, |
|
|
|
|
|
2 |
h1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
певним чином, зворотної задачі, в якій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
за заданим неспотвореним зображенням |
|
|
Рис. 6.23 |
|
|
|||||||||||
A1 |
B1 C1 |
трикутника ABC, що належить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
площині (f0, h0), необхідно побудувати його горизонтальну та фронталь-
|
|
|
|
|
|
трикутника і сліди f0(f 0 |
|
|
ну проекції. Отже, задано зображення |
A |
1 |
B C |
, |
||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
f 02 ) та h0(h10 , h 02 ) площини. Спочатку будуємо суміщене з площиною П1 зображення f10 фронтального сліду заданої площини. Для цього на сліді f0 беремо точку 1(11, 12) (11 f10 , 12 f 02 ) і обертаємо її навколо горизонталі h0 до суміщення з площиною П1, як це було виконано у попередніх прикла-
дах: 11 |
|
h10 , Гх |
|
= Гх12. Далі зворотним обертанням навколо горизонталі |
1 |
1 |
|||
|
1 |
1 |
||
h0(h10 ), будуємо горизонтальну проекціюА1 вершини А заданого трикутни-
ка. Через вершину A1 |
суміще- |
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ного трикутника проводимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
допоміжну горизонталь A1 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
площини |
( A1 21 |
|
0 |
). Че- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
||||||
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
рез точку 21 проводимо відрі- |
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||
зок прямої, перпендикулярної |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
, до перетину з проекцією |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
||||||||||||
до h1 |
x12 |
|
|
|
|
f1 |
|
h2 21 |
11 |
|
|||||||||||||||||
f 0 ( 2 |
2 |
|
h |
0 ), а потім за лінією |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
C1 |
|
|
|
|
|||||
зв’язку знаходимо фронтальну |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
проекцію 22 точки 2 і через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
проекції 21 |
і 22 проводимо від- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
повідно горизонтальну і фрон- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
0 |
||||||||||||
тальну проекції допоміжної |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
0 |
|
f1 |
|||||||||||||||
горизонталі, якій належить ве- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ршина А заданого трикутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
За лініями зв’язку будуємо |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|||||||||||
проекції А1 |
і А2 |
вершини А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A |
1 |
A |
|
|
h 0 , A A |
2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
||||
|
1 |
|
1 |
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Cторони A1 |
B1 |
і A1 C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
трикутника A1 B1 |
C1 |
продовжуємо |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.24 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
до перетину з горизонтальним |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
слідом h0 площини . Маємо точки 3(31) і 4(41). Під час зворотного обер- |
|||||||||||||||||||||||||||
тання площини ці точки залишаються нерухомими. За лініями зв’язку зна- |
|||||||||||||||||||||||||||
ходимо їхні фронтальні проекції 3 |
2 |
і 4 |
2 |
(3 |
2 |
h |
0 |
, 4 |
2 |
h 0 ). Проекції А |
1 |
і А ве- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||
ршини А сполучаємо відповідно з проекціями 31, 41 та 32, 42. Потім за ліні- |
|||||||||||||||||||||||||||
ями зв’язку будуємо проекції B1, B2 |
та C1, C2 |
вершин В і С: В1 |
А131, |
|
|||||||||||||||||||||||
В2 А232; С1 А141, С2 А242. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Як видно з рис. 6.24, варіантів побудов проекцій А1, А2, В1, В2, С1, С2 |
||||||||||||||||||||||||
вершин трикутника АВС може бути декілька як за послідовністю цих по- |
|||||||||||||||||||||||||||
будов, так і за допоміжними прямими, які використовуються для побудов, |
|||||||||||||||||||||||||||
тобто кожна з вершин |
АВС може бути побудована за допомогою горизо- |
||||||||||||||||||||||||||
нталі, фронталі чи будь-якої прямої загального положення площини . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6.6 Спосіб допоміжного проекціювання |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Спосіб допоміжного проекціювання полягає у такому перетворенні креслення, коли поданий на епюрі Монжа об’єкт проекціюється із якогось центра на одну із площин проекцій вихідного креслення або на допоміжну площину, яка вибирається певним чином. Центр допоміжного проекціювання може бути власним або невласним. Якщо центр проекціювання вибирають у власній точці, то проекціювання називається центральним, а якщо у невласній, то – паралельним. Якщо паралельні між собою проекці-