Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.73 Mб
Скачать

площини проекцій (рис. 3.6) дорівнює куту нахилу площини

 

до площини

П1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слід зауважити, що лінія найбільшого нахилу площини може бути її

визначником, тобто площина може бути задана на кресленні відповідною

лінією

найбільшо-

 

 

 

 

 

 

 

го нахилу.

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Лінії

рівня

часто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 °

 

 

 

використовуються

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2

для

розв’язування

 

 

32

h2

 

 

 

 

 

 

 

різноманітних

за-

 

 

 

 

 

A2

 

дач. Їх, наприклад,

 

 

 

 

 

 

 

зручно

використо-

x1 2

f1 °=h2 °

 

22

 

 

11

вувати для побудо-

 

42

31

 

 

 

ви точок у пло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щині.

На рис.

3.7

 

 

 

 

 

 

f1

показано три мож-

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

A1

 

ливі

 

схеми

побу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h1

 

 

 

 

 

 

 

дови

фронтальної

 

 

 

 

 

 

 

проекції А2

точки

 

 

 

21

h1

°

 

А,

що

належить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

площині Σ(f0; h0),

 

 

 

 

 

 

 

за її заданою гори-

 

 

 

 

 

 

 

зонтальною проекцією:

 

 

Рис. 3.7

 

 

 

за допомогою

 

 

 

 

 

 

 

 

прямої загального положення 12(1121, 1222), горизонталі h(h1, h2) або фронталі f(f1, f2).

Площини, які було розглянуто на всіх попередніх ілюстраціях, не

перпендикулярні до жодної із площин проекцій. Такі площини називаються площинами загального положення. Проекції площин загального положення збігаються з полями відповідних площин проекцій. Тому некоректно говорити про проекції конкретних площин загального положення при розв’язуванні задач, пов’язаних із ними. Тут доцільно говорити про проекції визначника, яким задається площина.

Якщо площина задається слідами, то кут між її слідами може бути гострим чи тупим. Якщо площина загального положення утворює однакові кути з площинами П1 та П2, то її фронтальний і горизонтальний сліди на кресленні утворюють однакові кути з віссю х12, зокрема, можуть збігатися, а профільний слід нахилений до осі y3 під кутом 45 .

 

3.5 Площини, що перпендикулярні та паралельні площинам

 

проекцій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крім площин загального положення є площини , які перпендикулярні

до однієї площини проекцій (проекціювальні площини), а також площини,

що перпендикулярні до двох площин проекцій (площини рівня). Ці пло-

щини ще називають площинами окремого положення.

 

 

 

 

Проекція площини, перпендикулярної до якоїсь площини проекцій, -

це пряма лінія, яка збігається зі своїм слідом на відповідній площині прое-

кцій. Тому така проекція площини називається відповідним слідом-

проекцією. Площина окремого положення може бути задана будь-яким ви-

значником (як на рис. 3.1), але найдоцільніше її задавати слідом-

проекцією.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площина,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

яка

перпендику-

 

 

 

 

D

 

 

 

G2

H2

 

 

 

 

 

B2

 

 

2

 

 

 

 

 

лярна до

горизо-

 

 

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нтальної

площи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ни проекцій,

на-

A2

 

C2

 

 

 

F2

 

I2

 

зивається

горизо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нтально

проек-

 

 

 

 

 

 

E1

 

G1

H1

ціювальною.

Го-

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

ризонтальна

про-

a

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

F1

 

I

 

екція

такої

пло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

D1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щини – пряма лі-

Г( АВС)

 

 

( 1 )

 

(D,E,F)

 

( GHI)

 

нія, що збігається

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з її горизонтальним

Рис. 3.8

 

Рис. 3.9

 

Рис. 3.10

 

слідом, і називається

 

 

 

 

 

 

 

 

 

горизонтальним слідом-проекцією (рис. 3.8). Дві інші проекції горизонта-

льно проекціювальної площини збігаються з полями площин проекцій П2 і

П3. На кресленні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

така площина може

K2

L2

M

 

N2

 

 

 

 

R2

бути

задана

одним

2

 

 

Q2

 

S2

 

 

 

 

 

 

 

слідом-проекцією

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 3.8, б).

 

 

L1

 

 

 

P

 

 

 

T2

 

Площина, що

 

 

 

 

2

 

 

S1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярна

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

 

 

 

до

фронтальної

 

 

N1

Q1

 

T1

K1

 

 

 

 

площини

проекцій

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називається

фрон-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тально проекціюва-

(M; KL)

 

(NP; QP)

 

(R, S, T)

льною. Її фронталь-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на проекція – пряма,

Рис. 3.11

 

 

Рис. 3.12

 

Рис. 3.13

тобто фронтальний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слід-проекція, дві інші проекції збігаються з полями площин проекцій П1,

П3 (рис. 3.9).

На

рис.

3.10

представлена

профільно

проекціювальна

площина. Вона містить у собі відрізок GH(G1H1, G2H2) перпендикулярний до профільної площини проекцій П3.

Площина, яка перпендикулярна до фронтальної та профільної площин проекцій, називається горизонтальною площиною (площина (М, КL), рис. 3.11). Її проекції на площинах П2 і П3 – горизонтальні прямі лінії, горизонтальна проекція збігається з полем площини проекцій П1.

Фронтальна площина (рис. 3.12) – це площина , яка паралельна фронтальній площині проекцій, а отже перпендикулярна до площин проекцій

П1 і П3, (площина (NP; PQ) на рис. 3.12).

 

 

 

Профільна

площина – це

 

 

 

 

площина, яка паралельна профі-

 

G

H2

I2

 

2

льній

площині

проекцій (пло-

 

 

 

l2

 

 

щина

(R, S, T), рис. 3.13).

 

 

 

 

m2

 

 

 

Проекція

будь-якої фігу-

 

 

 

 

A2

 

 

ри, розташованої у площині рів- Г2

 

 

 

l1

G1

 

 

 

 

 

 

 

ня, проекціюється без

спотво-

 

 

 

I1

рення

на відповідну

площину

 

 

 

A

m1

 

 

проекцій.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

H1

 

 

Усі фігури, що розташова-

 

 

 

 

 

 

 

 

ні у площині окремого поло-

 

 

 

 

ження, проекціюються на відповідні

 

Рис.3.14

 

 

сліди-проекції цієї площини (рис. 3.14).

Запитання для самоперевірки

1 Якими геометричними елементами визначається площина у прос-

торі?

2 Що називають визначником площини?

3 Яким чином площина може бути поданою на кресленні?

4 У якому положенні щодо площин проекцій можуть перебувати площини, як називаються площини, які перебувають у різних положеннях щодо площин проекцій?

5Назвіть властивості креслень площин.

6За яких умов точка належить площині?

7За яких умов пряма належить площині?

8Що таке головні лінії площини, скільки їх, як називається кожна із

них?

4 ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ, ДВОХ ПЛОЩИН

Пряма і площина можуть бути паралельними , перетинатися у тому числі і під прямим кутом. Дві площини також між собою можуть бути паралельними або перетинатися, зокрема, і під прямим кутом.

4.1 Пряма паралельна площині

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій що належить цій площині, або їй паралельній. Наприклад, через точку

 

B2

 

 

m2

 

 

22

 

 

 

 

 

f20

 

 

 

A2

2

 

 

 

 

 

 

 

k2

 

 

 

 

 

 

C2

 

M2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2

M2

 

 

 

 

 

 

l2

 

 

12

21

0

0

 

 

 

 

 

f1

h2

 

l1

 

 

 

11

 

0

 

 

C1

M1

 

 

h1

 

 

 

 

 

 

M1

k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1

m1

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3

М(М1, М2) необхідно провести пряму l, паралельну площині Γ( АВС) (рис. 4.1). Задача має безліч розв’язків. Тому проводимо через точку М будь-яку пряму l(l1, l2), паралельну, наприклад, стороні АС(А1С1, А2С2) трикутника

АВС (l1 || A1C1, l2 || A2C2).

Якщо задана площина проекціювальна, то відповідну проекцію прямої необхідно проводити паралельно сліду-проекції цієї площини. На рис. 4.2 через точку M(М1, М2) проведена пряма k(k1, k2), паралельна фронтально проекціювальній площині Σ(Σ2): k2 || Σ2. Горизонтальна проекція k1 прямої k може бути розташованою як завгодно. Якщо одна із проекцій, наприклад, m1, прямої m уже задана і необхідно побудувати іншу її проекцію за умови, що вона паралельна площині Γ(h ; f ) (рис. 4.3), то у заданій площині слід побудувати якусь пряму, горизонтальна проекція якої паралельна заданій проекції шуканої прямої. На рис. 4.3 у заданій площині Γ(h ; f ) проведена пряма 12(1121, 1222), горизонтальна проекція 1121 якої паралельна заданій проекції m1 прямої m. Фронтальна проекція m2 прямої m проведена паралельно проекції 1222 прямої 12 Γ.

4.2 Площини взаємно паралельні

Дві площини паралельні між собою, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини.

 

На рис. 4.4 через точку A(A1, A2) проведена площина Δ(m, n) парале-

льно площині Г(d, k): d1||m1, d2||m2; k1||n1, k2||n2.

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 4.5 через точку С(С1, С2) проведена площина Θ(a; b) парале-

льно фронтально проекціювальній площині

(

2).

 

 

 

 

 

На рис. 4.6

через

d2

 

A2

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

точку

D(D1,

D2)

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

m2

 

2

 

C2

 

D

 

проведена площи-

 

 

 

n2

 

12

22

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на Ψ(q; r) парале-

 

 

k2

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

льно

заданій пло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щині

Δ(c||d).

У

k1

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

цьому разі у пло-

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

D1

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

щині

проведена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

C1

 

 

 

d1

 

 

допоміжна

пряма

 

d

 

 

 

11

c

 

 

 

12(1121, 1222), яка

 

 

1

A1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перетинає

прямі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(c1, c2) і d(d1, d2),

 

(m, n) (k, d)

(a, b)

(

2)

(q, r)

(c, d)

а через точку D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проведено дві прямі

 

 

Рис. 4.4

 

 

 

Рис. 4.5

 

 

Рис. 4.6

q(q1, q2) і r(r1, r2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1||c1, q2||c2; r1||1121, r2||1222.

4.3 Побудова лінії перетину двох площин

Лінія перетину двох площин – це їхня спільна пряма лінія. Вона визначається двома спільними для заданих площин точками або однією спільною точкою і напрямком. Напрямок лінії перетину відомий , якщо одна із двох площин, що перетинаються, проходить через пряму, яка належить другій площині (лінія перетину збігається з цією прямою), або якщо одна із площин паралельна якійсь прямій другої площини (лінія перетину паралельна цій прямій).

Методика побудови лінії перетину двох площин залежить від розташування їх щодо площин проекцій. Можна навести чотири характерні випадки:

-обидві площини різнойменно проекціювальні (рис. 4.7);

-обидві площини однойменно проекціювальні (рис. 4.8);

-одна площина окремого положення, а друга – загального (рис.

4.9);

-обидві площини загального положення (рис. 4.10).

У першому випадку (рис. 4.7) визначення лінії перетину площин полягає у розпізнанні та позначенні її проекцій, які збігаються зі слідамипроекціями заданих площин: l1 = Ω1, l2 = 2.

Якщо обидві площини перпендикулярні до якоїсь площини проекцій, то і лінія їхнього перетину також перпендикулярна до цієї ж площини про-

екцій (рис. 4.8): Λ(Λ1) П1, Θ(Θ1) П1, Λ ∩ Θ = m П1.

У разі, коли одна із площин загального положення, а друга – окремо го, то одна із проекцій лінії їхнього перетину збігається з відповідним слі- дом-проекцією площини окремого положення. Друга проекція лінії пере

 

 

N2

 

 

P2

 

l2

M2

2

 

 

 

N1

 

 

1

 

1

P1

 

 

1

l1

1

 

 

 

 

M1

=l?

=m?

( MNP)=n?

Рис. 4.7 Рис. 4.8 Рис. 4.9

a2 b2

k2

l2

l1

a1

b1 k1

(a, b) (k, l)=MN?

Рис. 4.10

тину визначається за умови належності її площині загального положення. На рис. 4.9 показано дві площини: горизонтально проекціювальна Σ(Σ1) і загального положення Ψ( MNP). Горизонтальна проекція n1 їхньої лінії перетину збігається зі слідом-проекцією Σ1( 1=n1), а фронтальна n2 знаходиться за допомогою точок 1(11, 12) і 2(21, 22), що належать сторонам

MP(M1P1, M2P2) і MN(M1N1, M2N2) трикутника MNP.

Лінію перетину двох площин загального положення доцільно будувати за допомогою двох площин-посередників за таким алгоритмом (рис.

4.11):

1)задані площини Γ і перетинаються допоміжною площи- ною-посередником Σ;

2)будуються дві лінії перетину заданих площин з площиною-

посередником: 12 = Σ ∩ Γ, 34 = Σ ∩ Δ;

3)відмічається точка перетину побудованих ліній перетину:

М = 12 ∩ 34;

4)площини Γ і перетинаються другою площиноюпосередником Ψ;

5)будуються дві лінії перетину площини Ψ із заданими:

 

 

 

 

56 = Ψ ∩ Γ, 78 = Ψ ∩ Δ;

 

 

 

 

 

 

 

6) відмічається точка перетину побудованих ліній:

 

 

 

 

 

N = 56 ∩ 78.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пряма, що проходить че-

 

 

 

 

 

рез точки M i N, є лінією пере-

 

1

 

 

3

тину заданих площин Γ і .

 

 

 

 

 

Може виявитися, що перша

 

 

2

 

 

площина-посередник перетинає

 

 

 

 

 

 

 

4

 

задані площини по паралельним

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямим. Це може свідчити про

 

5

M

 

7

те, що площини паралельні між

 

6

 

8

 

собою, або площина-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

посередник паралельна їхній

 

 

 

 

 

лінії перетину. У такому разі

 

 

N

 

 

другу площину-посередник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слід провести не паралельно

 

 

 

 

 

першій. Якщо і -

 

 

 

Рис. 4.11

 

 

 

друга площина посередник перетинає задані

 

 

 

площини по паралельним прямим, то ці площини паралельні. Якщо ж дру-

га площина –посередник перетинає задані площини по не паралельним

прямим, то через точку перетину цих прямих проходить лінія перетину за-

даних площин паралельно прямим перетину першої площини-посередника

із заданими площинами.

 

 

 

 

 

 

 

 

Складність та точність побудови лінії перетину площин залежить від

вибору площин-посередників. Розглянемо декілька прикладів. На рис. 4.12

показано побудову лінії перетину площин Γ(a; b) і Δ(k || l). Задані площини

перетнуто горизонтальною площиною-посередником Σ(Σ2). Для підвищен-

ня точності побудови її слід проводити подалі від точки 5(51, 52) перетину

прямих a і b площини Γ. Площина Σ перетинає площину Γ по прямій

12(1121, 1222), а площину – по прямій 34(3141, 3242). У перетині проекцій

1121

і 3141

цих прямих

 

 

 

 

 

 

знайдено

горизонта-

a2

 

b2

M2

k2

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

льну

проекцію

М1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

12

 

22

 

32

42

точки М спільної для

 

 

 

 

 

N2

 

 

площин Г і

. За ліні-

52

 

 

2

 

62

72

єю зв’язку знайдена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фронтальна

проекція

5

1

 

 

71

 

М2

цієї точки (M2

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2).

 

 

 

 

 

11

 

 

61

 

 

 

 

 

 

 

2

31

l1

 

 

Далі

площини

 

 

 

 

 

 

 

1

N1

k1

 

Γ і

 

перетнуто дру-

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гою

 

 

площиною-

 

 

 

M1

 

 

посередником Ψ(Ψ2),

 

 

 

 

 

 

яку проведено через

 

 

 

Рис. 4.12

 

 

точку 5(52) перетину прямих a і b площини Г паралельно площині-

посереднику Σ(Σ2). У такому разі площина Ψ перетинає площину Г по пря-

мій 5N(51N1), яка паралельна прямій 12(1121), а площину

 

по прямій

67(6171), паралельній прямій 34(3141). У перетині цих прямих маємо точку

N(N1), за лінією зв’язку знаходимо її фронтальну проекцію N2

(N2

2).

Через точки М(М1, М2) і N(N1, N2) проводимо пряму MN. Це і є лінія пере-

тину площин Γ і .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 4.13 показано побудову лінії перетину двох площин Δ(fº, hº),

поданої слідами, та Λ( АВС). Першу горизонтальну площину-посередник

Θ(Θ2) проведено через вершину С(С2) трикутника. Вона перетинає площи-

ну

по її горизонталі h(h1, h2), яка проходить через точку 1(11, 12) пере-

тину площини Θ з фронтальним слідом f (f 2) площини Δ, а площину Λ -

по прямій 2С(21С1,

 

 

 

 

 

3

 

N

 

A2

 

22С2). У перетині

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

f20

 

 

 

 

 

 

 

прямих h та 2C ма-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ємо

точку

М(М1,

 

2

1

 

h2

M

2

C2

 

 

2

 

М2): h1 21C1 = M1,

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

f

0 h 0

 

 

 

 

 

 

B2

M2 =

2 M1M2.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Другу

 

гори-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зонтальну

площи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

ну-посередник

 

 

 

 

 

h 0

h1

 

 

 

 

21

 

Σ(Σ2)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проведено через ве-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ршину А(А2)

 

 

 

 

 

 

M1

 

C1

 

 

 

 

трикутника

 

АВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вона перетинає площину

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.13

 

 

 

по її горизонталі (не позначена),

яка

 

 

D2

 

B2

 

 

проходить через вершину А(А1, А2) па-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ралельно прямій 2С, а площину

- по

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямій 3N. У перетині цих прямих зна-

 

 

M2

 

K2

2

C2

ходимо точку

N(N1,

N2): A1N1

|| 21C1,

E2

 

12

 

 

3 N2

 

31N1 || h1, A1N1 ∩ 31N1 = N1. Фронтальна

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

проекція N2

точки N знайдена за лінією

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

зв’язку: N2

 

2. Пряма MN(M1N1, M2N2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

є лінією перетину площин

і Λ.

 

 

E1

 

11

B1

 

 

 

 

На рис.

4.14 показано

побудову

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

лінії

перетину

двох

трикутних

відсіків

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

площин загального положення. Проекції

 

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відсіків накладені одна на одну. У цьому

 

 

 

 

 

31

 

разі

площини-посередники

доцільно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1

 

C1

проводити

через сторони

трикутників.

 

 

 

 

 

A1

 

 

2

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Першу площину-посередник Σ(Σ2) про-

 

 

D1

 

 

 

 

ведено через сторону АВ(А1В1, А2В2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трикутника АВС. Сторона АВ є лінією

 

 

Рис. 4.14

 

 

 

перетину площини Σ з площиною трику тника АВС. Площину трикутника DEF(D1E1F1, D2E2F2) площина Σ перетинає по прямій 12(1121, 1222): 1 = Σ ∩ EF, 2 = Σ ∩ DF. Пряма 12 перетинає сторону АВ у точці М(М1, М2): 1121 ∩ А1В1 = М1. Проекція М2 знайдена за лінією зв’язку: M2 A2B2.

Друга площина-посередник Ψ(Ψ2) проведена через сторону АС(А1С1, А2С2) трикутника АВС. Ця площина перетинається з трикутником DEF по прямій 34(3141, 3242), а з трикутником АВС – по прямій АС. У перетині

прямих АС і 34 маємо точку N(N1, N2): 3141 ∩ А1С1 = N1, N2 = A2C2 N1N2. Лінія MN(M1N1, M2N2) – це лінія перетину площин відсіків. ЇЇ відрізок МК(М1К1, М2К2) знаходиться в межах обох відсіків. Таку побудову лінії перетину площин можна витлумачити і як побудову цієї лінії за двома точками М і N перетину сторін АВ і АС трикутника АВС з площиною трикут-

ника DEF. Таке тлумачення зустрі-

 

 

 

 

 

f2

 

чається

у деяких

підручниках

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2

 

 

посібниках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лінію перетину двох пло-

 

 

 

 

 

F2

 

щин, поданих своїми слідами, до-

 

 

 

 

 

 

 

цільно знаходити за точками пере-

 

 

 

 

 

 

 

тину слідів цих площин, якщо вони

x

f 0

h 0

F

 

не виходять за межі креслення. У

1 2

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цьому

разі

роль

площин-

 

f

0

h

0

H2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

посередників

відіграють

площини

 

 

 

 

 

 

 

проекцій, яким належать сліди

 

 

 

 

 

 

 

площин. Так, на рис. 4.15 показано

 

 

 

 

 

 

 

побудову лінії перетину двох пло-

 

 

 

 

 

H1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

h1

щин Γ(hº, fº) і Δ( h º, f º). Горизон-

 

 

 

 

 

h1

 

тальні

сліди

hº(hº1,

2)

i

 

 

 

 

 

 

 

h º( h º1, h º2) перетинаються у точці

 

Рис. 4.15

 

 

Н(Н1, Н2), а фронтальні fº(fº1, fº2) та

 

 

 

 

 

 

 

f º( f º1,

f º2) –

у точці F(F1, F2). Пряма HF(H1F1, H2F2)

є лінією перетину

площин Г і Δ, а точки H і F – це її сліди.

4.4 Перетин прямої з площиною

Задача на побудову точки перетину прямої з площиною є першою основною позиційною задачею. Точка перетину прямої з площиною – це точка, яка є спільною для прямої і площини. Вона може бути визначеною на будь-яких двох проекціях прямої і площини. Третя проекція цієї точки може бути побудованою за методикою, розглянутою у п. 1.3.

Визначення точки перетину прямої з площиною залежить від розташування прямої і площини щодо тих площин проекцій, на полях яких визначається ця точка. Можна навести чотири характерні випадки:

-пряма і площина різнойменно проекціювальні;

-площина проекціювальна, а пряма загального положення;

-пряма проекціювальна, а площина загального положення;

-пряма і площина перебувають у загальному положенні.

Упершому випадку (рис. 4.16) обидві проекції точки перетину уже є на кресленні. Визначення цієї точки зводиться до розпізнання і позначення

їїпроекцій: горизонтальна проекція М1 точки М збігається з проекцією l1 прямої l, а фронтальна знаходиться у перетині l2 прямої l та Г2 площини Г.

Удругому випадку (рис. 4.17) одна проекція точки перетину – точка перетину проекцій прямої

і площини (М2 = а2∩Λ2), а

 

l2

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

друга знаходиться за ліні-

 

a2

2

c2

 

 

 

 

22

 

 

 

M2

b

2

M

2

єю зв’язку за умови на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2

 

 

 

 

12

 

 

 

 

лежності її прямій:

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М1 а1. У цьому разі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на одній із проекцій точка

 

 

 

 

c1

 

 

b1

 

 

перетину поділяє пряму

 

 

a1

M1

11

 

 

M1

d1

l1

M1

 

 

 

на видиму і невидиму

 

 

 

 

 

 

 

 

частини. Невидиму час-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

тину, яку закриває від

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спостерігача задана пло-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щина, слід зображувати

Рис. 4.16

Рис. 4.17

 

Рис. 4.18

 

штриховою лінією.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У третьому випадку (рис. 4.18) одна з проекцій шуканої точки збігається з проекцією прямої (b2 = M2), а друга будується за умови належності її заданій площині за допомогою будь-якої прямої 12(1121, 1222), що нале-

жить цій площині: М2 1222 (12 с2, 22 d2), M1 = b1 ∩ 1121 (11 c1, 21 d1).

У четвертому випадку точку перетину прямої з площиною будують за такими міркуваннями. Точка перетину (рис. 4.19) належить прямій l і площині Г, отже вона належить якійсь прямій площини Г, що перетинається з даною прямою l. Тому у заданій площині необхідно знайти таку пряму, яка перетинається з прямою l. Перетинаються між собою тільки ті

 

 

 

 

 

 

 

B2

 

 

 

 

 

l2

 

2

 

 

 

l

 

 

3

 

12

M2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. l

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

22

1

2.

=12

A2

42

 

 

 

 

M

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

3. 12

l=M

 

l1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

M = l

 

 

31

41

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

11

1

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.19

 

 

 

 

Рис. 4.20

 

прямі, що належать одній площині. Тож через задану пряму l проводять яку-небудь допоміжну площину і будують лінію 12 перетину її із зада-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Литература Инж графика